放縮法技巧全總結(jié)(尖子生解決高考數(shù)學(xué)最后一題之瓶頸之精華

1、高考數(shù)學(xué)備考之放縮技巧證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進行恰當?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下幾種：一、裂項放縮例 1.(1)求n2的值 ;(2)求證 :n15 .k1 4k 21k1 k 23解析 :(1)因為2211,所以n212n14n 21(2n1)(2n 1)2n12n1k 1 4k 212 n 12n1(2)因為 114211,所以 n112 11111

2、25n 2214n 212n 1 2 n 1k 1 k23 52n 1 2n 13 3n4奇巧積累 :(1) 144211(2)1211n 24 n24n212n12n 1Cn11Cn2(n1)n(n 1)n(n1)n(n1)(3)Tr 1r1n!111112)C nrr ! (nr )!rr!r (r1)r1(rnnr(4) (11) n1111215n2 13n(n1)2(5)111(6)1n2n2n (2 n1)2n1 2nn 2(7) 2(n1n )12( nn1)(8)21111n2n12 n32 n(2n1)2n1( 2n3)2n(9)11111111k( n 1 k ),n 1

3、k k n 1 n( n 1 k) k 1 n n 1 k(10)n11(11)1222(n 1) !n !(n 1) !2( 2n 12n 1)n2n12n111nn22(11)2n2 n2n2n 111( n2)(2 n1) 2(2n1)(2 n 1)(2n 1)(2n2 )( 2n1)(2 n 11)2 n 11 2n1(12)111111n3nn2n(n 1)(n1)n(n1)n(n1)n1n111n1n111n1n12nn1n 1(13) 2n 1 22 n(31)2n33( 2n1)2n2 n12n12n32n13(14)k211(15)1nn1(n2)k!(k1)!(k2 )!(

4、k1) ! (k2) !n(n1)(15) i 2 1j 21iij(i j )( i2j2ij222112j 1)i 1j 1例 2.(1)求證 :1111713252( 2n1) 26(n 2)2( 2n 1)(2)求證 : 1111211416364n24n(3)求證 : 11 31 351356( 2n 1)2n11224246242n(4)求證： 2(n1 1)11112(2 n1 1)23n解析 :(1) 因為 11111,所以n11111111() 1()1)2(2n(2n1)(2 n1)22n12n1i 1(2i1)2232n 1232n 1(2)11111111(111416

5、364n2(122n2 )4)4n(3)先運用分式放縮法證明出 1 35(2n 1)1,再結(jié)合24 62n2n11n2nn2進行裂項 ,最后就可以得到答案(4)首先12(n1n)2,所以容易經(jīng)過裂項得到nn1n2(n1 1)111123n再證1222而由均值不等式知道這是顯然成立的，所以2(2n12n1 )n2n12n111nn2211112(2n11)23n例 3.求證 :6n11115( n 1)(2n 1)49n23解析 :一方面 :因為 114211,所以n214n 2n212n 1 2n 14n11111125k 1 k 222 n 1 2n 113 53 3另一方面: 111111

6、1111n49n 2233 4n(n 1)1n1n當 n3 時, n6n,當 n1時 ,6n11 11 ,n1(n1)( 2n1)(n4 9n21)( 2n 1)當 n2 時,6n1111 ,所以綜上有( n1)( 2n49n21)6n11115(n1)(2n 1)49n23例 4.(2008年全國一卷)設(shè)函數(shù)f (x)xx ln x . 數(shù)列 an滿足 0a1 1. an 1 f ( an ) . 設(shè) b(a1，1) ，整數(shù)k a1b .證明 : ak 1b .a1 ln b解析 :由數(shù)學(xué)歸納法可以證明an是遞增數(shù)列 ,故存在正整數(shù) mk ,使 amb ,則ak1akam ln am于是 a

7、k 1b , 否則若 am b( mk ) , 則由 0 a1amb1知a1 ln ama1 ln b 0 , ak 1 ak ak ln aka1kam ln am , 因為 kam ln am k( a1 ln b) ,m 1m 1a1 k | a1 ln b | a1(b a1 ) b例 5.已知 n, m N , x1, Sm1m 2m 3mnm ,求證 : nm 1( m 1) Sn (n 1)m 1 1 .解析 :首先可以證明 : (1 x)n1nxnm 1nm 1(n 1)m 11) m 12)m11m1n k m11)m 1 所以要證( n(n0(kk1nm 1(m 1)Sn(

8、 n1)m 11只要證 :nnn k m 1(k 1)m 1 ( m 1) k m( n 1) m 11 (n 1)m 1nm 1nm 1(n 1)m 12m 11m 1( k 1)m 1k m 1 k 1k1k 1故只要證nm 1(k1)m1(mnkmn1)m1km1,即等價于 k1)( kk 1k 1k1k m 1(k1)m 1( m1) km(k1)m 1k m ,即等價于 1m1(11) m 1 ,1m1(11)m 1kkkk而正是成立的 ,所以原命題成立 .例 6.已知annn2n,求證 : T1T2T3Tn3.42 , Tna1a2an2解析 :1243n122n4(14n )2(

9、12 n )4n1)nTn444(22 )1412(42(1 2)3所以2 n2 n2n3 2n32nT n4nn4n 144n 12n 1n 1n 2n1) 2(1 2)2 2n 143 2222(2)3 2 13( 43332n 1332 n3112 (2 2n1)(2 n1) 2 2n1 2 n 11從而 T1T2T3Tn31111111323 3 72n1 2n 12例 7.已知 x11,xnn(n2k1, kZ) ,求證 :n1(n2k, kZ )1112 (n11)( nN*)4 x2 x34 x4 x54 x2n x2n 1證明 :111112 ,因為4x2n x2n 14 (2

10、n1)(2n1)44n 214 4n22n2n2nnn1,所以1222 (n1n)4xx2nnn12 n2 n 1所以1112 (n11)(nN *)4 x2 x34 x4 x54 x2n x2n 1二、函數(shù)放縮例 8.求證： ln 2ln 3ln 4ln 3n3n5n66 ( nN*) .2343n解析 :先構(gòu)造函數(shù)有l(wèi)n x x1ln x1, 從而 ln 2ln 3ln 4ln 3nn1 11x12343 n31 ()x2 33n因為 111111111111112 33n2 34567892n2 n 13n53 3993n 13n 15n66 918 272 3n 13n6所以 ln 2

11、 ln 3ln 4ln 3nn15n3n5n62343 n366例 9.求證 :(1)2, ln 2ln 3ln n2n 2n1(n2)23n2(n 1)解析 :構(gòu)造函數(shù)f( x)ln x ,得到 ln nln n 2, 再進行裂項 ln n21111,求和后可以得到答案xnn2n 2n2n(n1)函數(shù)構(gòu)造形式 :ln xx1 , ln nn1(2)例 10.求證 : 11n11ln( n1)111232n解析 :提示 : ln( n1)ln n1n2ln n1lnn1ln 2nn11nnln xx,ln x11x函數(shù)構(gòu)造形式 :當然本題的證明還可以運用積分放縮y如圖 ,取函數(shù)f (x)1,x

12、首先 :n 1 ,從而 , 1in 1nln nln(ni)DS ABCFni xni xln x |niEnC取 i1有,11) ,Fln nln( nOABnn-inx所以有1ln 2,1ln 3ln 21ln nln( n 1),1ln( n1)ln n,相加后可以得到:23, ,1nn111ln( n1)23n1另一方面n1,從而有1in1nln nln( ni)SABDExnxln x |nin iin i取 i1有 ,1ln nln( n1),n1所以有1)111 ,所以綜上有 111ln( n1)111ln( n2n23n12n例 11.求證 : (11)(11)(11)e 和(

13、1 1 )(11 )(11 )e .2!3!n!98132 n解析 :構(gòu)造函數(shù)后即可證明例 12.求證 : (112) (123)1n( n1)2 n 3e解析 :ln n (n 1)1 23,疊加之后就可以得到答案n(n 1)1函數(shù)構(gòu)造形式 :ln( x1)23( x0)1ln(1x)3( x0)x1xx 1(加強命題 )例 13.證明 : ln 2ln 3ln 4ln nn( n1) (nN *, n1)345n14解析 :構(gòu)造函數(shù) f ( x)ln( x1)(x1)1(x1) ,求導(dǎo) ,可以得到 :f ( x)1112 x ,令 f ( x)0 有 1x2 ,令 f ( x)0 有 x2

14、 ,xx1所以 f ( x)f ( 2)0 , 所以 ln( x1)x2 ,令 xn21有 , ln n2n21所以 ln nn 1 ,所以 ln 2ln 3ln 4ln n n( n1)1)n12345n14(n N *, n例 14.已知a11,an 1(111 證明 ae2 .n2n) an2n .n解析 :an 1(11) an1(111 )a n,n( n1)2 nn(n1)2 n然后兩邊取自然對數(shù) , 可以得到 ln an1ln(111)1 )ln a nn( n2 n然后運用 ln(1x)x 和裂項可以得到答案 )放縮思路：1111a n 1(1n 2n2 n)a nln a n

15、 1ln(1n2n2 n )ln a nln an11 。于是ln a n 1ln an11 ，n2n2nn2n2n1n 1n 11111()n 111(ln ai1ln ai )()ln anln a11222.i 2i 2 in1n 2ni 1i 112即 ln anln a12ane2 .注：題目所給條件ln(1x)x （ x0 ）為一有用結(jié)論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當然，本題還可用結(jié)論 2nn(n1)(n2) 來放縮：an 1(11)a n1a n 11 (11)( an1)n(n1)n(n1)n(n1)11n1n 111，ln( an 11)ln( an1)ln(1). ln( ai 11)ln( ai 1)ln( an1) ln( a2n( n 1)n(ni(i1) 111)i2i 21)n即 ln( an1)1ln 3an3e1e2 .例 15.(2008年廈門市質(zhì)檢 )已知函數(shù) f ( x) 是在 (0,) 上處處可導(dǎo)的函數(shù) ,若 xf (x)f (x) 在 x0 上恒成立.(I)求證：函數(shù) g(x)f (x)在(0,)上是增函數(shù)；x(II)當 x10, x20時, 證明 : f ( x)f ( x)f ( xx2) ；121(III)已知不等式 l