數(shù)學(xué)全歸納教師版函數(shù)的綜合

1、第十節(jié)函數(shù)的綜合考綱解讀函數(shù)思想與方法滲透在數(shù)學(xué)各個(gè)分支，可解決數(shù)列、不等式等有關(guān)問(wèn)題.命題趨勢(shì)探究函數(shù)時(shí)中學(xué)數(shù)學(xué)最為重要的內(nèi)容，函數(shù)與數(shù)列、不等式、導(dǎo)數(shù)等均有綜合，高考強(qiáng)調(diào)在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯處命制試題，利用函數(shù)的觀點(diǎn)、思想和方法來(lái)認(rèn)識(shí)、理解、研究數(shù)列；利用函數(shù)的構(gòu)造求有關(guān)不等式恒成立問(wèn)題下參數(shù)的取值范圍或證明不等式；利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等. 高等數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào) “聯(lián)系” ，在高考試題中， 將會(huì)加大對(duì)函數(shù)的綜合的考查力度.知識(shí)點(diǎn)精講高考中考查函數(shù)的內(nèi)容主要是以綜合題的形式出現(xiàn)，通常是函數(shù)與數(shù)列的綜合、函數(shù)與不等式的綜合、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合及函數(shù)的開放性試題和信息題，求解這些問(wèn)題時(shí)，著重掌握函數(shù)的性質(zhì)，

2、把函數(shù)的性質(zhì)與數(shù)列、不等式、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通，從而找到解題的突破口，要求掌握二次函數(shù)圖像、最值和根的分布等基本解法；掌握函數(shù)圖像的各種變換形式（如對(duì)稱變換、平移變換、伸縮變換和翻折變換等）；了解反函數(shù)的概念與性質(zhì)；掌握指數(shù)、對(duì)數(shù)式大小比較的常見方法；掌握指數(shù)、對(duì)數(shù)方程和不等式的解法；掌握導(dǎo)數(shù)的定義、求導(dǎo)公式與求導(dǎo)法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及導(dǎo)數(shù)的定義、求導(dǎo)公式與求導(dǎo)法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，特別是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等.題型歸納及思路提示題型 36函數(shù)與數(shù)列的綜合思路提示利用函數(shù)與數(shù)列知識(shí)的相互聯(lián)系、相似性質(zhì)：（1）抽象函數(shù)的關(guān)系與數(shù)列遞推關(guān)系式類似.(2) 函數(shù)單調(diào)性

3、與數(shù)列單調(diào)性的相似性.（3）數(shù)列與不等式的綜合可以利用數(shù)列的形式構(gòu)造輔助函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)證明不等式，因此解決數(shù)列問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，用函數(shù)的知識(shí)或方法解決.例 2.79 設(shè)函數(shù) f x2xcosx, an是公差為的等差數(shù)列，8f a1f a2f a52a1a5 （5 , 則 f f a3）A、 0B、 12C、 1 2D、13 216816分析 本題將數(shù)列與函數(shù)結(jié)合，其解題思路是研究函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性）與數(shù)列的特征 .解析由 f x2x cosx 得 f x2 xcos x2x sin x，222令 g x2xsin x, 則 g x 在 R 上為單調(diào)遞增的奇函數(shù)，故f a1f a

4、2f a5 5 ,ga12g a22ga552ga12ga22ga520nn, 則bng b1g b2g b5b30 .設(shè)ba也為等差數(shù)列，且，下證2反證法，若 b30, 則 b1b52b30,b2b42b30, 故 b1b5 , b2b4 , b30，又 g x 是 R 上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，所以g b3g 00, g b1g b5g b5，g b2gb4g b4, 以上相加得 g b1g b2g b50與 1矛盾，故假設(shè)“ b30 ”不成立，同理“b30 ”也不成立，故 b30, 即 a3.2又?jǐn)?shù)列 an的公差為，所以 a1, a23, a45, a53 .8488423232132f a3

5、2a1a5f2.故選D.2161616評(píng)注本題構(gòu)造了單調(diào)遞增的奇函數(shù)g x , 使得解題思路茅塞頓開，較之其他解法本法更勝一籌，望同學(xué)品評(píng) .變式 1已知函數(shù) fxsin xtan x, 項(xiàng)數(shù)為2015 的等差數(shù)列an滿足 an2,，2且公差 d0, 若 f a1fa2fa20150, 則當(dāng) k時(shí)， fak0.解析因?yàn)?fxsin xtan x 在,上為單調(diào)遞增的奇函數(shù)，所以f00，又22an 為等差數(shù)列且d0，若 a10080 ，則 a1a2015a2a20142a10080 ，所以fa1fa20150, fa2fa20140, fa1007fa10090, fa10080，所以 f a1f

6、 a2fa20150 ，這與題設(shè)矛盾，同理a10080 也不成立，所以a10080 ，所以當(dāng) k1008 時(shí)， fa10080，所以 k1008 。評(píng) 注函 數(shù) fx 在 區(qū) 間 D 上 是 單 調(diào) 遞 增 的 奇 函 數(shù) ， x1, x2D, x1x20 ， 則f x1f x20 ， 同 理 ， 若 fx 在 D 上 是 單 調(diào) 遞 減 的 奇 函 數(shù) ，x1, x2D , x1x20 fx1fx20 。題型 37 函數(shù)與不等式的綜合思路提示不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題是靜態(tài)轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)，常量轉(zhuǎn)化為變量，這體現(xiàn)了函數(shù)思想，并能用函數(shù)的圖像及性質(zhì)解答.例 2.80 已知函數(shù) fx 11 x 0 ,x

7、（ 1）當(dāng) 0 a b 且 f af b 時(shí)，求證： ab1；（ 2）是否存在實(shí)數(shù)a,b ab , 使得函數(shù) y fx 的定義域和值域都是a, b ，若存在，求出 a, b 的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（ 3）若訊在實(shí)數(shù)a,b ab , 使得函數(shù) yf x 的定義域?yàn)閍, b ，值域?yàn)閙a, mbm 0 ，求 m 得取值范圍 .解析（ 1）函數(shù) fx11x0的圖像如圖233 所示， 當(dāng) 0a b 且 f a f bx時(shí)， 1111,則 11 11 , 11221 , 即11,ababababab得 ab 1.（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù) a,b ab , 使得函數(shù) yf x的定義域和值域都是a, b ，

8、1當(dāng) 0ab1時(shí)，函數(shù) fx 單調(diào)遞減，fa111a ab, fb11a,1 bab, 則當(dāng) a ba1 b,111abb，不符號(hào)題意，故舍去；2當(dāng) 0a1b 時(shí)，函數(shù) fx 在 a,1上單調(diào)遞減，在 1,b上單調(diào)遞增，故f xminf 10 與fxmina0 矛盾，故舍去;3當(dāng)1ab 時(shí)，函數(shù)f x在a, b上單調(diào)遞增，且0f x1, 與f xminb1矛盾 .綜上，不存在實(shí)數(shù)a, b ab , 使得函數(shù)yf x 的定義域和值域都是a,b（ 3）依題意，m01 當(dāng) 0ab1時(shí)，函數(shù) fx 在 a, b 上單調(diào)遞減，則f amb即,f bma1mb1a,得 ab, 與 ab 矛盾，故舍去；1m

9、a1b2 當(dāng) 0a1b 時(shí)，fx min 0 ，與 f x minma0 矛盾，舍去；3 當(dāng) 1ab 時(shí)，函數(shù) fx在 a, b 上單調(diào)遞增，則f ama即,f bmb1ma11a,故方程 1mx, 即方程 mx2x10 存在兩個(gè)大于 1的實(shí)根，滿足1xmb1bm 01 . 綜上， m的取值范圍是0,1 .14m0,得 0m14412m變式 1對(duì)于函數(shù) yf x ，若存在區(qū)間a, b ，當(dāng) xa, b 時(shí)的值域?yàn)?ka, kbk 0，則 稱 yf x為 k 倍 值 函 數(shù) . f xln x x 是 k 倍 值 函 數(shù) .則 實(shí) 數(shù) k 的 取 值 范 圍是.解析 若函數(shù) f xln x x

10、是 k 倍值函數(shù)，則f xln x xkx 在 0,上有相異實(shí)根，即 k 1ln x ，令 gxl nx x0 ,gx1l xn0，函數(shù) g x在 0,e上xxx2單調(diào)遞增，函數(shù)g x 的圖像如圖2-103所示，因此 k1ln xx0 有兩相異實(shí)根，則x0 k 11，即 1 k11，所以實(shí)數(shù) k 的取值范圍為1,11 。eee題型 38 函數(shù)中的創(chuàng)新題思路提示緊扣題目中所給的信息和對(duì)已知條件的解讀理解，將其轉(zhuǎn)化為已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，然后利用函數(shù)性質(zhì)解題 .例 2.81設(shè)函數(shù) fx的定義域?yàn)?D ,若存在非零實(shí)數(shù)l 使得對(duì)于任意 x M , MD，有xlD , 且 f xlf x , 則稱 fx 為

11、 M 上的 l 高調(diào)函數(shù) .如果定義域?yàn)?,的函數(shù) fxx2 為1,上 m高調(diào)函數(shù)，那么實(shí)數(shù)m 的取值范圍是；如果定義域?yàn)?R 的函數(shù) fx是奇函數(shù)，當(dāng) x 0 時(shí)， fxxa 2a 2 且 f x 為 R 上的 4 高調(diào)函數(shù)，那么實(shí)數(shù) a 的取值范圍是.解析解法一：由高調(diào)函數(shù)定義可知，對(duì)x1, f xmf x 恒成立，即不等式 xm2x 2 , x1,恒成立， m22mx0, 令 g x2mxm2 , 則m0,g10得 m2. 故 m 的取值范圍是 .解法二：（圖示法） .如圖 2 34（ a）所示， x m 2x2 , x1,1 m 21 2 , 即 m 1 1, 則 m 2, 故實(shí)數(shù) m

12、的取值范圍是2,恒成立，所以.函數(shù) f xx a2a 2x 0 的圖像如圖234(b) 所示，又函數(shù)f x 為 R 上的奇函數(shù)，利用對(duì)稱性作出函數(shù)f x的圖像，若f x為 R 上的 4 高調(diào)函數(shù)，則需滿足424, 得aa1. 故實(shí)數(shù) a 的取值范圍是1,1 .變式 1如果函數(shù)f x在區(qū)間 D 上有定義，且對(duì)任意 x1, x2 D , x1x2 , 都有fx1x2fx1fx2, 則稱函數(shù) fx 為區(qū)間 D 上的凹函數(shù) .22（1）已知 f xln 1exx x R , 判斷 fx是否為凹函數(shù)，若是，請(qǐng)給出證明，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）對(duì)于（ 1）中的函數(shù)fx 有下列性質(zhì)：若xa, b ，則存在

13、x0,.使得a bf bf ax0 成立 . 利用該性質(zhì)證明x0唯一；bfa（3）設(shè) A, B, C 是函數(shù) fxln(1 ex )x xR 圖像上 3 個(gè)不同的點(diǎn)，求證：ABC是鈍角三角形 .分析 根據(jù)體重所給凹函數(shù)的定義去判斷fx是否是凹函數(shù)， 利用反證法證明唯一性，利用向量的方法（向量的數(shù)量積）判定ABC 是鈍角三角形。解 析（ 1 ） 函 數(shù) fx 是 凹 函 數(shù) ， 證 明 如 下 : 設(shè) x1, x2 R 且 x1x2 ， 則x1 x2ln 1 ex1ln 1 ex2x1x2x1x2f x1f x22 fx1x22 ln 1 e 2222x1x2ln 1 ex1 1 ex2x1 x

14、2ln 1 ex1ex2ex1 x2ex1 x2ln 1 e 2ln 1 2e 2。因?yàn)?ex10, ex2x2 ，所以 ex1ex2ex1 ex2x1x20 ，且 x122e2，x1x2所以 1 ex1ex2ex1 x21 2e2ex1x2 ，所以 ln 1 ex1ex2ex1 x2 lnx1x2ex1 x21 2e 20 ，所以 fx1fx22 fx1x2x1x2f x1f x2，故 fx 是凹函數(shù)。2，即 f22（ 2）假設(shè) x , x0a, b，且 x0x0 ，使得 fbfabafx00fbfabafx0得bafx0bafx0。因?yàn)?ba ，所以 ba0，所以 fx0fx0因?yàn)?fxe

15、x11，記 g xfx1，所以 gxex01 ex1 ex1 ex1 ex所以 fx 是 a,b上的單調(diào)增函數(shù)，所以x0x0，這與 x0x0 矛盾，即 x0是唯一的。（ 3）設(shè) A x , y, B x , y,C x , y ，且 x1x2x3 ，因?yàn)?fx10，所以2x112331 ef x 是 R 上的單調(diào)減函數(shù)，所以fxfxfx3。12因?yàn)?BAx1x2 , f x1f x2， BCx3x2 , f x3f x2所以 BABCx1x2x3x2f x1f x2f x3f x2。因?yàn)?xx0, xx0, fxf x20, fxfx20,所以 BABC0 ，123213故 cos B0，且

16、B0,，所以 B 為鈍角，故ABC 為鈍角三角形。最有效訓(xùn)練題131、已知數(shù)列 an ，那么 “對(duì)任意的 nN ，點(diǎn) Pnn, an 都在直線 y 4x 3上” 是“ an為等差數(shù)列”的（）A、必要不充分條件B 、充分不必要條件C、充要條件D 、既不充分也不必要條件2、已知 a, b, c, d 成等比數(shù)列，且曲線y x22 x3 的項(xiàng)點(diǎn)是b, c ，則 ad =（）、 3B、 2C、 1D、 23、已知數(shù)列an , bn滿足 a11, 且 am , am1 時(shí)函數(shù) fxx 2bm x2m 的兩個(gè)零點(diǎn)，則b10（）A、24 B、32C 、48D 、644、已知 Fxfx11是 R 上的奇函數(shù)，

17、amf 0f1f22nnfn1f 1nN, 則數(shù)列an 的通項(xiàng)公式為（）n、 ann 1B、 annC、 ann 1D 、 ann25、 a, b 為非零向量，“ab ” 是“函數(shù) f xxabxba 為一次函數(shù)”的 （）A、必要不充分條件B、充分不必要條件C、充要條件D 、既不充分也不必要條件6、在區(qū)間0,1上任意取實(shí)數(shù) a, b ，則函數(shù) fx1 x 3axb 在區(qū)間1,1 上有且僅有一2個(gè)零點(diǎn)的概率為()A 、 1B、 1C、 7D、 384847x的一次函數(shù)ymxn ，設(shè)集合P2, 1,1,2,3 ,Q2,3 ,分別從集合、已知關(guān)于P 和 Q 中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為m 和 n ，函數(shù) y

18、mxn 時(shí)增函數(shù)的概率為.8、已知函數(shù)fxx21 x0, 則滿足不等式f1x 2f2x的 x的取值范圍是 .1 x09 、 已 知 函 數(shù) fx 在 定 義 域 0,上 是 單 調(diào) 函 數(shù) ， 若 對(duì) 任 意 x0,， 都 有f fx12 ，則 f1.x510、在直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn)，如果函數(shù)f x的圖像恰好通過(guò) k kN個(gè)格點(diǎn)，則稱函數(shù)fx 為 k 階格點(diǎn)函數(shù)，下列函數(shù)：x1 fxlog 0.5 x ；2f x1；3 fx3x 26x32 ；5sin42.其中是一階格點(diǎn)函數(shù)的有. fxxcosx411、已知函數(shù)f xlg x1 .(1)若0f 1 2x f x 1

19、, 求 x 得取值范圍；（2）若 gx 是以 2 為周期的偶函數(shù)， 且當(dāng) 0 x1 時(shí)，有 g xf x ，求函數(shù) y g x的解析式 .12、已知 fx 在1,1 上有定義， f11 ，且滿足 x, y1,1時(shí)有 fxf y2fxy，數(shù)列xn 滿足 x11 , xn 112xn 2 .1xy2xn（1）求 f0的值，并證明fx 在1,1 上為奇函數(shù)；（2）探索 fxn 1 與 f xn的關(guān)系式，并求f xn得表達(dá)式；（3）是否存在自然數(shù)m ，使得對(duì)于任意的nN ,11f1m 8 恒f x1fx2xn4成立？若存在，求出m的最大值 .。最有效訓(xùn)練題131.B解析點(diǎn) Pnn, an 在 y4 x

20、3 上，則有 an4n3 為等差數(shù)列，若an 為等差數(shù)列，則有ank nb4n3 ，故為充分不必要條件，故選B。，不一定為2.B解析因?yàn)榍€的頂點(diǎn)是1, 2，所以b 1,c2a, b, c, d，又因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以 a d b c 2 ，故選 B，3.D解析依題意有 anan 12nn 1，兩式相除得an22 ，所以，所以 an 1an 22ana1, a3 , a5 ,成 等 比 數(shù) 列 ， 因 為 a11 , a1 a22 ， 所 以 a22，所以a102 232, a11 1 232。又因?yàn)閍nan1bnb1 0 a1 0 a1 164，故選45，所以D。4.C解析因?yàn)?Fx為奇函數(shù)

21、，所以FxFx，即 fx11fx11 ，所以f1f1x2 ，22x22所以 f 1xfx2 ，knkfkf1k2 ，令 k0,1, n得所以 ffnnnn2anf 0f 1f11n1f1nf 02 n 1nf 1fnnfnn所以 ann1，故選 C。若 ab ，則有 fxxabxbaxb225.B解析a，不一定是一次函數(shù)（當(dāng) ab 時(shí)不是一次函數(shù)） ，反之成立，故選 B，6.C解析因?yàn)?a0 , 1且 fx32a 0，所以 fx在 R 上為增函數(shù)， 若 fx2xf10ab11, 12 ，對(duì)應(yīng)區(qū)域如圖在，則2-104陰上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則f10ab1211117影部分所示，故所求事件的概率P2

22、22。故選 C。1187.3解析函數(shù)的單調(diào)性只與m 有關(guān)，因此概率為3 。558.1, 21，解析函數(shù) fx的圖像如圖 2-105所示，要滿足 f1 x2f 2x，得1x22x 0 或 1x202x，解得0x21 或 1x0 ，則 x 的取值范圍是1,21。9.6 解析因 為 函 數(shù) f x在 0,上 是 單 調(diào) 函 數(shù) ， 且 對(duì) 于 x0,， 都 有ffx12 ，則fx1c（ c 為正實(shí)數(shù)） ，且 f c2，令 xc ，得xxfc1c，即 c12 ,c，1所以 f x11 ，因此 f16 。ccx510.解析根據(jù) fx為 k 階格點(diǎn)函數(shù)的定義，可知一階格點(diǎn)函數(shù)的圖像知經(jīng)過(guò)一個(gè)整點(diǎn)， fxl o g0. 5x，易知由于 f10 ,f4，2即函數(shù)經(jīng)過(guò)整點(diǎn) 1, 0, 4,，2fx1xf01,f15不符合一階格點(diǎn)函數(shù)的定義；，由知不符合定義，5fx326x 32