08級二期高等數(shù)學(xué)A卷解答 (1)_第1頁
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文檔簡介

一,完成以下各題計算累次積分解 求解一階線性微分方程解 先解 分離變量,得 令 則 代入原方程,得即 從而方程通解為 二.(10分)求曲線積分解 (1,1) L2故積分值和路徑無關(guān),從而L1 (0,0) (1,0) 三.(10分)計算曲面積分其中S為上半球面與錐面所圍區(qū)域的表面,取外側(cè).解 記則有高斯公式及對稱性,四. (10分)求解初值問題:解 齊次方程對應(yīng)的特征方程為特征根為因此齊次方程的通解為 由于0不是特征方程的根,故設(shè)非齊次方程的特解為代入原方程,比較系數(shù),得即原方程的通解為由定解條件,得 初值問題的解為 五.(每小題5分,共10分)討論下列廣義積分的斂散性. 解 因為 而無窮積分發(fā)散,由比較判別法, 無窮積分發(fā)散. 因為故而當(dāng)故 六. (10分)求冪級數(shù)的收斂半徑,收斂區(qū)間和收斂域,并求其和函數(shù).解 因此 從而 由于收斂半徑為R=2,收斂區(qū)間為即(1,3).又由于級數(shù)當(dāng)x=1收斂,當(dāng)x=3時發(fā)散,故收斂區(qū)域為1,3).七. (10分)吧函數(shù)展開成的冪級數(shù),并求其收斂域.解 令 則 其收斂域為八.(6分)研究級數(shù)的斂散性.解 因為而級數(shù)發(fā)散,故也發(fā)散,即級數(shù)不絕對收斂. 但 又函數(shù)單調(diào)下降,即關(guān)于n單調(diào)下降,于是由萊布尼茲判別法,級數(shù)收斂.因而級數(shù)條件收斂.九. (6分)設(shè)n是自然數(shù),求證:方程存在唯一正實根且當(dāng)時,數(shù)項級數(shù)收斂.證 記故

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