完整版)有關(guān)天體運(yùn)動題型的歸納與研究

1、有關(guān)天體運(yùn)動題型的歸納與研究一、基本問題例題：某人造衛(wèi)星距地面h,地球半徑為R,質(zhì)量為M，地面重力加速度為g, 引力常量為G。（1）分別用h,R,M,G表示衛(wèi)星周期T,線速度v,角速度w（2）分別用h,R,g表示衛(wèi)星周期T,線速度v，角速度w 解：（1）根據(jù)向心力來自萬有引力得：Mm(R+h) 22v2mmw (RR+hh)m(*)2(R h)w得vGM R hGM(R h)3，4 2(R h)3GM（2）衛(wèi)星在地球表面上受的萬有引力近似等于mg,由 mgG竺R2得到GM R2g代入得:二、密度問題例題：宇宙中某星體每隔4.4X 10-4s就向地球發(fā)出一次電磁波脈沖。有人曾經(jīng)樂 觀地認(rèn)為，這是

2、外星人向我們地球人發(fā)出的聯(lián)絡(luò)信號， 而天文學(xué)家否定了這種觀 點(diǎn)，認(rèn)為該星體上有一個(gè)能連續(xù)發(fā)出電磁波的發(fā)射源，由于星體圍繞自轉(zhuǎn)軸高速旋轉(zhuǎn)，才使得地球上接收到的電磁波是不連續(xù)的。試估算該星體的最小密度（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）解：接受電磁波脈沖的間隔時(shí)間即是該星體自轉(zhuǎn)的最大周期，星體表面物體不脫離星體時(shí)滿足:G啤R23GT24 o而M二R3 求得3代入已知數(shù)據(jù)得：7.3 1017kg/m3三、雙星問題例題：現(xiàn)根據(jù)對某一雙星系統(tǒng)的光學(xué)測量確定，該雙星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量都 是M ,兩者相距L,它們正圍繞兩者連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動。 萬有引力常量為G 求：（1）試計(jì)算該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動周期 T（2）若實(shí)驗(yàn)上

3、觀測到運(yùn)動周期為 T且： T 1: JN（N 1），為了解釋兩者的不同，目前有一種流行的理論認(rèn)為，在宇宙中可能存在一種望遠(yuǎn)鏡觀測不 到的物質(zhì)一一暗物質(zhì)，作為一種簡化的模型，我們假定在以這兩個(gè)星體連線為直 徑的球體內(nèi)均勻分布著這種暗物質(zhì)， 而不考慮其他暗物質(zhì)的影響，試根據(jù)這一模 型和上述觀測結(jié)果確定該星系間這種暗物質(zhì)的密度。2解：（1）由萬有引力提供向心力有：GMr2L（2）設(shè)暗物的密度為P,質(zhì)量為m，則m由萬有引力提供向心力有:GM21GMm2丄22T234L32L4 22T2M 4 2L36出得 由得:MM 4mT代入上式解得:63(N1)M / 2 L3四、神州問題例題：隨著我國 神舟五號

4、”宇宙飛船的發(fā)射和回收成功。標(biāo) 志著我國的航天技術(shù)已達(dá)到世界先進(jìn)水平。如圖所示，質(zhì)量 為m的飛船繞地球在圓軌道I上運(yùn)行時(shí)，半徑為 門，要進(jìn)入 半徑為r2的更高的圓軌道U，必須先加速進(jìn)入一個(gè)橢圓軌道 川，然后再進(jìn)入圓軌道U。已知飛船在圓軌道U上運(yùn)動速度 大小為u在A點(diǎn)通過發(fā)動機(jī)向后以速度大小為 u （對地） 噴出一定質(zhì)量氣體，使飛船速度增加到v進(jìn)入橢圓軌道川。B（已知量為：m、r1、r2、u v）求:飛船在軌道I上的速度和加速度大小發(fā)動機(jī)噴出氣體的質(zhì)量 m2 解：（1）在軌道I上，有G彎m r1r1同理在軌道II上V:GM解得：V12在軌道I上向心加速度為ai,則有ma12同理在軌道II上向心加

5、速度a=，則有GMm由此得ai22v2i(2)設(shè)噴出氣體的質(zhì)量為m,由動量守恒得mv1 (m m)v mu五、自轉(zhuǎn)問題例題：假設(shè)某星體是一個(gè)半徑為 R的均勻球體，已知星體的自轉(zhuǎn)周期為T,在兩 極地表面自由落體加速度為g求：(1)用彈簧秤在星球表面“兩極”與“赤道” 不同地點(diǎn)測同一物體的“重量”之比。(2)設(shè)想星體自轉(zhuǎn)角速度加快到某一值時(shí)， 在赤道上的物體會恰好自動飄起來，則此時(shí)角速度為多少？解：設(shè)質(zhì)量為m的物體在星體表面受萬有引力為 F,兩極和赤道重量分別為Fi,F2(1)在兩極： F=mg Fi=F 二 Fi=mg在赤道：4 24 2F F2 m 丁2 R F2 mg m 丁2 RFi：F2

6、二g：(g-*R)Mm2廠,G 廠 mw R mgR2a得w設(shè)小行星繞太陽軌道半徑為R/,萬有引力提供向心力有Tz六、追趕問題 例題：科學(xué)家在地球軌道外側(cè)發(fā)現(xiàn)了一顆繞太陽運(yùn)行的小 行星，經(jīng)過觀測該小行星每隔時(shí)間t與地球相遇一次，已 知地球繞太陽公轉(zhuǎn)半徑是 R,周期是T,設(shè)地球和小行星 都是圓軌道，求小行星與地球的最近距離。解：設(shè)小行星繞太陽周期為 T/，T/T，地球和小行星每隔 時(shí)間t相遇一次，則有tTt TmUT同理對于地球繞太陽運(yùn)動也有由上面兩式有r/3 t/2r/ （丄廠rt T2/3所以當(dāng)?shù)厍蚝托⌒行亲罱鼤r(shí)dr/r（冷2/3r r七、科技信息類問題例題：2004年，我國現(xiàn)代版的 嫦娥奔

7、月”正式開演，力爭2006年12月正式發(fā) 射。媒體曾報(bào)道從衛(wèi)星圖片和美、蘇（原蘇聯(lián)）兩國勘測結(jié)果證明，在月球的永 暗面存在著大量常年以固態(tài)形式蘊(yùn)藏的水冰。但根據(jù)天文觀測，月球半徑為 R=1738km，月球表面的重力加速度約為地球 表面的重力加速度的1/6,月球表面在陽光照射下的溫度可達(dá)127C，此時(shí)水蒸氣分子的平均速度達(dá)到vo=2OOO m/s。試分析月球表面沒有水的原因。（取地球表 面的重力加速度g=9.8m/s2）（要求至少兩種方法）解法1:假定月球表面有水，則這些水在127C時(shí)達(dá)到的平均速度vo=2OOOm/s 必須小于月球表面的第一宇宙速度， 否則這些水將不會降落回月球表面，導(dǎo)致月球表

8、面無水。取質(zhì)量為 m的某水分子，因?yàn)镚Mm/R2=mvi2/R2, mg月=GMm/R2， g月=少6，所以代入數(shù)據(jù)解得V1=17OOm/s，V1Vvo，即這些水分子會象衛(wèi)星一樣繞 月球轉(zhuǎn)動而不落到月球表面，使月球表面無水。解法2:設(shè)vo=2OOOm/s為月球的第一宇宙速度，計(jì)算水分子繞月球的運(yùn)行半 徑R1，如果R1 R，則月球表面無水。取質(zhì)量為m的某水分子，因?yàn)镚Mm/R12= mvo2/R12，mg 月=GMm/R12，g 月=g/6，所以 R1 =vo2/g 月=2.449 1O6m， R1 R,即以2OOOm/s的速度運(yùn)行的水分子不在月球表面，也即月球表面無水。解法3:假定月球表面有水

9、，貝U這些水所受到的月球的引力必須足以提供水 蒸氣分子在月球表面所受到的向心力，即應(yīng)滿足：mg月GMm/R2，當(dāng) v=vo=2OOOm/s時(shí)，g月vo2/R=2.3Om/s?，而現(xiàn)在月球表面的重力加速度僅為 g/6=1.63m/s?，所以水分子在月球表面所受的重力不足以提供2OOOm/s所對應(yīng)的向心力，也即月球表面無水。解法4:假定有水，則這些水所受到的月球的引力必須足以提供水蒸氣分子 在月球表面所受到的向心力，即應(yīng)滿足：mg月GMm/R2 ,，即應(yīng)有g(shù)月Rv2而實(shí)際上：g 月 R=2.84 O6m2/s2, vo2=4O6m2/s2，所以 vo2g 月 R 即以 2OOOm/s 的速 度運(yùn)行

10、的水分子不能存在于月球表面，也即月球表面無水。八、超重與失重問題例題：某物體在地面上的重力為 16ON,現(xiàn)將它放置在衛(wèi)星中，在衛(wèi)星以加速度 a=O.5g隨火箭加速上升的過程中，當(dāng)物體與衛(wèi)星中的支持物的相互擠壓力為9ON時(shí)，求此時(shí)衛(wèi)星距地球表面有多遠(yuǎn)？（地球半徑R=64OOkm,重力加速度g取1Om/s2）解：因?yàn)樾l(wèi)星在加速上升的過程中，衛(wèi)星內(nèi)的物體與衛(wèi)星的相互擠壓力小于其地 面上重力，故應(yīng)該考慮由于高度的變化而引起的重力加速度的變化。設(shè)此時(shí)火箭離地球表面的高度為 h，火箭受到物體的壓力為Fn，物體受到的 重力為mg由牛頓第二定律得：R2mg1) 1.92 104km九、衛(wèi)星的發(fā)射與回收例題：發(fā)

11、射地球同步衛(wèi)星時(shí)，可認(rèn)為先將衛(wèi)星發(fā)射至距地面高度為hi的圓形近地軌道上，在衛(wèi)星經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)點(diǎn)火（噴氣發(fā)動機(jī)工作）實(shí)施變軌進(jìn)入橢圓軌道,橢圓軌道的近地點(diǎn)為A，遠(yuǎn)地點(diǎn)為B。在衛(wèi)星沿橢 圓軌道（遠(yuǎn)地點(diǎn)B在同步軌道上），如圖14所示。 兩次點(diǎn)火過程都使衛(wèi)星沿切向方向加速，并且點(diǎn)火 時(shí)間很短。已知同步衛(wèi)星的運(yùn)動周期為 T,地球的 半徑為R，地球表面重力加速度為g，求：（1）衛(wèi)星在近地圓形軌道運(yùn)行接近 A點(diǎn)時(shí)的加 速度大?。唬?）衛(wèi)星同步軌道距地面的高度。解：（1）設(shè)地球質(zhì)量為M，衛(wèi)星質(zhì)量為m,萬有引力常量為G、衛(wèi)星在近地Mmhi）2圓軌道運(yùn)動接近A點(diǎn)時(shí)的加速度為ax，根據(jù)牛頓第二定律G示maA物體在地球表

12、面上受到的萬有引力等于重力GMRm mgR2解得aA寸79設(shè)同步軌道距地面高度吃根據(jù)牛頓第二定律有G（RMm?2Tr(R h2)由上式解得：h2gR2T2Fn- mgma在h高處：Mm,G2 mg(R+h)在地球表面處:GMmmg24十、綜合問題例題：宇宙員在月球表面完成下面實(shí)驗(yàn)：在一固定的豎直光 滑圓弧軌道內(nèi)部最低點(diǎn)靜止一質(zhì)量為 m的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)） 如圖所示，當(dāng)施加給小球一瞬間水平?jīng)_量I時(shí)，剛好能使小球在豎直面內(nèi)做完整圓周運(yùn)動.已知圓弧軌道半徑為r，月球 的半徑為R,萬有引力常量為G若在月球表面上發(fā)射一顆環(huán)月衛(wèi)星，所需最小發(fā)射速度為多大？軌道半徑為2R的環(huán)月衛(wèi)星周期為多大？解：設(shè)月球表面

13、重力加速度為g,月球質(zhì)量為M.在圓孤最低點(diǎn)對小球有：l=mvo 2球剛好完成圓周運(yùn)動，.小球在最高點(diǎn)有 mg m r從最低點(diǎn)至最高低點(diǎn)有:mg(2r)1 2 1 2 mv0mv2 2由可得gI25m2r在月球發(fā)射衛(wèi)星的最小速度為月球第一宇宙速度GMgRI 5Rr5mr當(dāng)環(huán)月衛(wèi)星軌道半徑為2R時(shí)，有黔 略）2 2rT 2（2R）（2分）將黃金代換式GM=gR2代入式 GM3得T 2 J典而 gR2I歸納與總結(jié)：基本思路：1、萬有引力提供向心力設(shè)圓周中心的天體（中心天體）的質(zhì)量為 M，半徑為R;作圓周運(yùn)動的天體（衛(wèi)星）的質(zhì)量為 m,軌道半徑為r,線速度為v，角速度為 w,周期為T,弓I力常量為G。則應(yīng)有：2Mm v2 , 2 、2 MmGMG2m mw r=m（ ） mg G 2 ma向,a向 廠rrTrr（g表示軌道處的重力加速度）2、在中心天體表面或附近，萬有引力近似等于重力G Mm mg0 （go表