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1、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)積分學(xué)一、單項(xiàng)選擇題1在切線斜率為2x的積分曲線族中，通過點(diǎn)（1, 4）的曲線為（ a ）ay = x2 + 3 2. 若= 2，則k =（ a ）a1 3下列等式不成立的是（ d ） d 4若，則=（d ）. d. 5. （ b） b 6. 若，則f (x) =（ c ） c 7. 若是的一個(gè)原函數(shù)，則下列等式成立的是( b ) b 8下列定積分中積分值為0的是（ a ） a 9下列無窮積分中收斂的是（ c ） c 10設(shè)(q)=100-4q ，若銷售量由10單位減少到5單位，則收入r的改變量是（ b ） b-350 11下列微分方程中，（ d ）是線 d 12微分方程的階是（c

2、 ） c. 2 13在切線斜率為2x的積分曲線族中，通過點(diǎn)（1, 3）的曲線為（ c ） c 14下列函數(shù)中，（ c ）是的原函數(shù) c 15下列等式不成立的是（ d ） d 16若，則=（d ） d. 17. （ b ） b 18. 若，則f (x) =（ c ） c 19. 若是的一個(gè)原函數(shù)，則下列等式成立的是( b ) b 20下列定積分中積分值為0的是（ a ） a 21下列無窮積分中收斂的是（ c ） c 22下列微分方程中，（ d ）是線性微分方程 d 23微分方程的階是（c ） c. 224.設(shè)函數(shù)，則該函數(shù)是（ a ）.a. 奇函數(shù) 25. 若，則( a )a. 26. 曲線在處

3、的切線方程為(a a 27. 若的一個(gè)原函數(shù)是, 則=（d）d 28. 若則c. 二、填空題1 2函數(shù)的原函數(shù)是-cos2x + c (c 是任意常數(shù)) 3若，則.4若則= .50. 607無窮積分是收斂的（判別其斂散性）8設(shè)邊際收入函數(shù)為(q) = 2 + 3q，且r (0) = 0，則平均收入函數(shù)為2 + 9. 是 2 階微分方程. 10微分方程的通解是1112。答案：13函數(shù)f (x) = sin2x的原函數(shù)是14若，則 答案：15若，則= . 答案：16. 答案：017答案：018無窮積分是答案：1 19. 是階微分方程. 答案：二階20微分方程的通解是答案： 21. 函數(shù)的定義域是(

4、-2,-1)u(-1,222. 若，則4 23. 已知，則=27+27 ln324. 若函數(shù)在的鄰域內(nèi)有定義，且則1.25. 若, 則-1/2 (三) 判斷題1、. ( )12. 若函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，則一定在點(diǎn)處可微. ( ) 13. 已知，則= （ ）14、. （ ）. 15. 無窮限積分是發(fā)散的. ( 三、計(jì)算題 解 2 2解 3 3解 4 4解 = =5 5解 = = 6 6解 7 7解 = 88解 =-=9 9解法一 = =1 解法二 令，則 =10求微分方程滿足初始條件的特解10解 因?yàn)?， 用公式 由 ， 得 所以，特解為 11求微分方程滿足初始條件的特解11解 將方程分離變量： 等式

5、兩端積分得 將初始條件代入，得 ，c = 所以，特解為： 12求微分方程滿足 的特解. 12解：方程兩端乘以，得 即 兩邊求積分，得 通解為： 由，得 所以，滿足初始條件的特解為： 13求微分方程 的通解13解 將原方程分離變量 兩端積分得 lnlny = lnc sinx 通解為 y = ec sinx 14求微分方程的通解.14. 解 將原方程化為：，它是一階線性微分方程， ，用公式 15求微分方程的通解 15解 在微分方程中，由通解公式 16求微分方程的通解 16解：因?yàn)?，由通解公式?= = = 17 解 = = 18 解： 19解： 20 解： =（答案： 21 解： 22 解 =2

6、3 24. 2526設(shè)，求 27. 設(shè)，求. 28設(shè)是由方程確定的隱函數(shù),求.29設(shè)是由方程確定的隱函數(shù),求.30. 31.32. 33.34.35. 36. 37. 四、應(yīng)用題 1投產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為36(萬元)，且邊際成本為=2x + 40(萬元/百臺(tái)). 試求產(chǎn)量由4百臺(tái)增至6百臺(tái)時(shí)總成本的增量，及產(chǎn)量為多少時(shí)，可使平均成本達(dá)到最低. 1解 當(dāng)產(chǎn)量由4百臺(tái)增至6百臺(tái)時(shí)，總成本的增量為 = 100（萬元） 又 = = 令 ， 解得. x = 6是惟一的駐點(diǎn)，而該問題確實(shí)存在使平均成本達(dá)到最小的值. 所以產(chǎn)量為6百臺(tái)時(shí)可使平均成本達(dá)到最小. 2已知某產(chǎn)品的邊際成本(x)=2（元/件），固定

7、成本為0，邊際收益(x)=12-0.02x，問產(chǎn)量為多少時(shí)利潤最大？在最大利潤產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)50件，利潤將會(huì)發(fā)生什么變化？ 2解 因?yàn)檫呺H利潤 =12-0.02x 2 = 10-0.02x 令= 0，得x = 500 x = 500是惟一駐點(diǎn)，而該問題確實(shí)存在最大值. 所以，當(dāng)產(chǎn)量為500件時(shí)，利潤最大. 當(dāng)產(chǎn)量由500件增加至550件時(shí)，利潤改變量為 =500 - 525 = - 25 （元）即利潤將減少25元. 3生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為(x)=8x(萬元/百臺(tái))，邊際收入為(x)=100-2x（萬元/百臺(tái)），其中x為產(chǎn)量，問產(chǎn)量為多少時(shí)，利潤最大？從利潤最大時(shí)的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺(tái)，利潤有

8、什么變化？ 3. 解 (x) =(x) -(x) = (100 2x) 8x =100 10x 令(x)=0, 得 x = 10（百臺(tái)）又x = 10是l(x)的唯一駐點(diǎn)，該問題確實(shí)存在最大值，故x = 10是l(x)的最大值點(diǎn)，即當(dāng)產(chǎn)量為10（百臺(tái)）時(shí)，利潤最大. 又 4已知某產(chǎn)品的邊際成本為(萬元/百臺(tái))，x為產(chǎn)量(百臺(tái))，固定成本為18(萬元)，求最低平均成本. 4解：因?yàn)榭偝杀竞瘮?shù)為 = 當(dāng)x = 0時(shí)，c(0) = 18，得 c =18即 c(x)= 又平均成本函數(shù)為 令 ， 解得x = 3 (百臺(tái))該題確實(shí)存在使平均成本最低的產(chǎn)量. 所以當(dāng)x = 3時(shí)，平均成本最低. 最底平均成本

9、為 (萬元/百臺(tái)) 5設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為 (萬元)，其中x為產(chǎn)量，單位：百噸銷售x百噸時(shí)的邊際收入為（萬元/百噸），求： (1) 利潤最大時(shí)的產(chǎn)量；(2) 在利潤最大時(shí)的產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)1百噸，利潤會(huì)發(fā)生什么變化？ 5解：(1) 因?yàn)檫呺H成本為 ，邊際利潤 = 14 2x 令，得x = 7 由該題實(shí)際意義可知，x = 7為利潤函數(shù)l(x)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn). 因此，當(dāng)產(chǎn)量為7百噸時(shí)利潤最大. (2) 當(dāng)產(chǎn)量由7百噸增加至8百噸時(shí)，利潤改變量為 =112 64 98 + 49 = - 1 （萬元）即利潤將減少1萬元. 6投產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為36(萬元)，且邊際成本為=2x +

10、40(萬元/百臺(tái)). 試求產(chǎn)量由4百臺(tái)增至6百臺(tái)時(shí)總成本的增量，及產(chǎn)量為多少時(shí)，可使平均成本達(dá)到最低.解 當(dāng)產(chǎn)量由4百臺(tái)增至6百臺(tái)時(shí)，總成本的增量為 = 100（萬元） 又 = = 令 ， 解得. x = 6是惟一的駐點(diǎn)，而該問題確實(shí)存在使平均成本達(dá)到最小的值. 所以產(chǎn)量為6百臺(tái)時(shí)可使平均成本達(dá)到最小.7已知某產(chǎn)品的邊際成本為(萬元/百臺(tái))，x為產(chǎn)量(百臺(tái))，固定成本為18(萬元)，求最低平均成本. 解：因?yàn)榭偝杀竞瘮?shù)為 = 當(dāng)x = 0時(shí)，c(0) = 18，得 c =18即 c(x)= 又平均成本函數(shù)為 令 ， 解得x = 3 (百臺(tái))該題確實(shí)存在使平均成本最低的產(chǎn)量. 所以當(dāng)x = 3時(shí)

11、，平均成本最低. 最底平均成本為 (萬元/百臺(tái)) 8生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為(x)=8x(萬元/百臺(tái))，邊際收入為(x)=100-2x（萬元/百臺(tái)），其中x為產(chǎn)量，問產(chǎn)量為多少時(shí)，利潤最大？從利潤最大時(shí)的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺(tái)，利潤有什么變化？解：已知(x)=8x(萬元/百臺(tái))，(x)=100-2x，則令，解出唯一駐點(diǎn) 由該題實(shí)際意義可知，x = 10為利潤函數(shù)l(x)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn). 因此，當(dāng)產(chǎn)量為10百臺(tái)時(shí)利潤最大. 從利潤最大時(shí)的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺(tái)，利潤的改變量為（萬元）即利潤將減少20萬元. 9設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為 (萬元)，其中x為產(chǎn)量，單位：百噸銷售x百噸時(shí)的邊際收入為（萬元/百噸），求： (1) 利潤最大時(shí)的產(chǎn)量；(2) 在利潤最大時(shí)的產(chǎn)量的