浙教版初中數(shù)學(xué)七年級上冊線段、射線、直線(提高)知識講解

1、精品文檔用心整理線段、射線、直線（提高）知識講解：【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1在現(xiàn)實(shí)情境中進(jìn)一步理解線段、射線、直線，并會(huì)用不同的方法表示；2.通過操作活動(dòng)，了解“兩點(diǎn)確定一條直線”的幾何事實(shí)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并初步掌握用尺規(guī)作圖法作出相關(guān)線段；3.能夠運(yùn)用幾何事實(shí)解釋和解決具體情境中的實(shí)際問題；4.通過從事觀察、比較、概括等活動(dòng)，發(fā)展抽象思維能力和有條理的數(shù)學(xué)表達(dá)能力.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、線段、射線、直線的概念及表示1.概念：繃緊的琴弦、黑板的邊沿都可以近似地看作線段，如果把“線段”作為最簡單、最基本原始概念，則用“線段”定義射線和直線如下：（1）將線段向一個(gè)方向無限延長就形成了射線.（2）將線段向兩個(gè)

2、方向無限延長就形成了直線要點(diǎn)詮釋：（1）線段有兩個(gè)端點(diǎn)，可以度量，可以比較長短（2）射線只向一方無限延伸，有一個(gè)端點(diǎn)，不能度量，不能比較大小.（3）直線是向兩方無限延伸的，無端點(diǎn)，不可度量，不能比較大小.（4）線段、射線、直線都沒有粗細(xì)2.表示方法：如圖1、圖2、圖3，線段、射線、直線的表示方法都有兩種：它們都可以用兩個(gè)大寫字母表示，也可以一個(gè)小寫字母表示.要點(diǎn)詮釋：（1）從表示方法上看，雖然它們都可以用一個(gè)小寫字母表示，也可以用兩個(gè)大寫字母表示，但直線取的是直線上任意兩點(diǎn)的字母，線段用的是兩個(gè)端點(diǎn)的字母，射線用的是一個(gè)端點(diǎn)和任意一點(diǎn)的字母，而直線和線段的兩個(gè)大寫字母沒有順序之分，但射線的兩個(gè)

3、大寫字母有順序之分，第一個(gè)大寫字母必須是表示端點(diǎn).即端點(diǎn)相同，而延伸方向不同，表示不同的射線如下圖4中射線oa，射線ob是不同的射線；端點(diǎn)相同且延伸方向也相同的射線，表示同一條射線如下圖5中射線oa、射線ob、射線oc都表示同一條射線圖4資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理圖5（2）表示直線、射線與線段時(shí)，勿忘在字母的前面寫上“直線”射線”“線段”字樣3.線段、射線、直線的區(qū)別與聯(lián)系線段射線直線圖示表示方法端點(diǎn)長度延伸性線段ab或線段a兩個(gè)可度量不向兩方延伸射線oa或射線a一個(gè)不可度量向一方無限延伸直線ab或直線a無不可度量向兩方無限延伸要點(diǎn)二、基本事實(shí)1.直線：過兩點(diǎn)有且只有一條直

4、線簡單說成：兩點(diǎn)確定一條直線要點(diǎn)詮釋：（1）點(diǎn)和直線的位置關(guān)系有兩種：點(diǎn)在直線上，或者說直線經(jīng)過這個(gè)點(diǎn).如圖6中，點(diǎn)o在直線l上，也可以說成是直線l經(jīng)過點(diǎn)o；點(diǎn)在直線外，或者說直線不經(jīng)過這個(gè)點(diǎn).如圖6中，點(diǎn)p在直線l外，也可以說直線l不經(jīng)過點(diǎn)p.（2）兩條不同直線相交：當(dāng)兩條不同的直線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，稱這兩條直線相交，這個(gè)公共點(diǎn)叫做它們的交點(diǎn).2.線段：兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短簡記為：兩點(diǎn)之間，線段最短如圖7所示，在a，b兩點(diǎn)所連的線中，線段ab的長度是最短的圖7要點(diǎn)詮釋：（1）連接兩點(diǎn)間的線段的長度，叫做這兩點(diǎn)的距離（2）兩條線段可能無公共點(diǎn)，可能有一個(gè)公共點(diǎn)，也可能有無窮多個(gè)公共點(diǎn)

5、.要點(diǎn)三、比較線段的長短1.尺規(guī)作圖的定義：僅用圓規(guī)和沒有刻度的直尺作圖的方法叫做尺規(guī)作圖要點(diǎn)詮釋：（1）只使用圓規(guī)和直尺，并且只準(zhǔn)許使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖題資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理（2）直尺必須沒有刻度，無限長，且只能使用直尺的固定一側(cè).只可以用它來將兩個(gè)點(diǎn)連在一起，不可以在上面畫刻度（3）圓規(guī)可以開至無限寬，但上面也不能有刻度.它只可以拉開成之前構(gòu)造過的長度2.線段的中點(diǎn)：如下圖，若點(diǎn)b在線段ac上，且把線段ac分成相等的兩條線段ab與bc，這時(shí)點(diǎn)b叫做線段ac的中點(diǎn)要點(diǎn)詮釋：（1）若點(diǎn)b是線段ac的中點(diǎn)，則點(diǎn)b一定在線段ac上且ab=cb=1ac，或a

6、c2ab22bc（2）類似地，還有線段的三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)等3.用尺規(guī)作線段或比較線段（1）作一條線段等于已知線段：用圓規(guī)作一條線段等于已知線段例如：下圖所示，用圓規(guī)在射線ac上截取aba要點(diǎn)詮釋：幾何中連結(jié)兩點(diǎn)，即畫出以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段.（2）線段的比較：疊合比較法：利用直尺和圓規(guī)把線段放在同一條直線上，使其中一個(gè)端點(diǎn)重合，另一個(gè)端點(diǎn)位于重合端點(diǎn)同側(cè)，根據(jù)另一端點(diǎn)與重合端點(diǎn)的遠(yuǎn)近來比較長短如下圖：要點(diǎn)詮釋：線段的比較方法除了疊合比較法外，還可以用度量比較法【典型例題】類型一、有關(guān)概念1.如圖所示，指出圖中的直線、射線和線段【思路點(diǎn)撥】從圖上看，a、d、f分別是線段cb、bc、be的延長線上

7、的點(diǎn)，也就是說，a、d、f三點(diǎn)的位置并不是完全確定的此時(shí)，我們也就能分清楚圖中的直線、射線和線段了【答案與解析】解：直線有一條：直線ad；射線有六條：射線ba、射線bd、射線ca、射線cd、射線bf、射線ef；線段有三條：線段bc、線段be、線段ce【總結(jié)升華】在表示線段和直線時(shí)，兩個(gè)大寫字母的順序可以顛倒然而，在敘述線段的延資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理長線的時(shí)候，表示線段的兩個(gè)大寫字母的順序就不能顛倒了，因?yàn)榫€段向一方延伸后就形成了射線(延長部分已不再是線段本身了)，而表示射線的兩個(gè)大寫字母的順序是不能顛倒的，只能用第一個(gè)字母表示射線的端點(diǎn)，第二個(gè)字母表示射線方向上的任一點(diǎn)

8、舉一反三：【：直線、射線、線段397363拓展4】【變式】兩條不同的直線，要么有一個(gè)公共點(diǎn)，要么沒有公共點(diǎn)，不能有兩個(gè)公共點(diǎn).這是為什么?畫圖說明.【答案】解：過兩點(diǎn)有且只有一條直線.（或兩點(diǎn)確定一條直線.）12兩條不同的直線，要么有一個(gè)公共點(diǎn)，如圖（）；要么沒有公共點(diǎn)，如圖（）；不能有兩個(gè)公共點(diǎn).類型二、有關(guān)作圖2如圖(1)所示，已知線段a，b(ab)，畫一條線段，使它等于2a-2b【答案與解析】解：如圖(2)所示：(1)作射線af；(2)在射線af上順次截取abbca；(3)在線段ac上順次截取addeb，則線段ec就是所要求作的線段【總結(jié)升華】用尺規(guī)作圖時(shí)，要熟悉常用的畫圖語言，注意保留

9、作圖痕跡舉一反三：【變式1】下列說法正確的有()射線與其反向延長線成一條直線直線a、b相交于點(diǎn)m兩直線相交于兩個(gè)交點(diǎn)直線a與直線b相交于點(diǎn)m資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理a3個(gè)b2個(gè)c1個(gè)d4個(gè)【答案】c【變式2】下列說法中，正確的個(gè)數(shù)有()已知線段a，b且a-bc，則c的值不是正的就是負(fù)的已知平面內(nèi)的任意三點(diǎn)a，b，c則ab+bcac延長ab到c，使bcab，則ac2ab直線上的順次三點(diǎn)d、e、f，則de+efdfa1個(gè)b2個(gè)c3個(gè)d4個(gè)【答案】c類型三、個(gè)（條）數(shù)或長度的計(jì)算3.根據(jù)題意，完成下列填空l如圖所示，與l是同一平面內(nèi)的兩條相交直線，它們有1個(gè)交點(diǎn)，如果在這個(gè)平面

10、內(nèi)，12再畫第3條直線l，那么這3條直線最多有_個(gè)交點(diǎn)；如果在這個(gè)平面內(nèi)再畫第43條直線l，那么這4條直線最多可有_個(gè)交點(diǎn)由此我們可以猜想：在同一平面內(nèi)，4n6條直線最多可有_個(gè)交點(diǎn)，(n為大于1的整數(shù))條直線最多可有_個(gè)交點(diǎn)(用含有n的代數(shù)式表示)【答案】3，6，15，n(n-1)2【解析】本題探索過程要分兩步：首先要填好3條直線最多可有2+13個(gè)交點(diǎn)，再類推4條直線，5條直線，6條直線的情形所得到的和式，其次再研究這些和式的規(guī)律，得出一般性的結(jié)論n1【總結(jié)升華】(n為大于1的整數(shù))條直線的交點(diǎn)最多可有：+2+3+.+(n-1)=個(gè).舉一反三：【變式1】平面上有n個(gè)點(diǎn)，最多可以確定條直線.n

11、(n-1)2【答案】n(n-1)2【變式2】一條直線有n個(gè)點(diǎn)，最多可以確定條線段，條射線.【答案】n(n-1)，2n2【：直線、射線、線段397363拓展1（4）】【變式3】一個(gè)平面內(nèi)有三條直線，會(huì)出現(xiàn)幾個(gè)交點(diǎn)?【答案】0個(gè)，1個(gè)，2個(gè)，或3個(gè).4.已知線段ab14cm，在直線ab上有一點(diǎn)c，且bc4cm，m是線段ac的中資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理點(diǎn)，求線段am的長【思路點(diǎn)撥】題目中只說明了a、b、c三點(diǎn)在同一直線上，無法判定點(diǎn)c在線段ab上，還是在線段ab外(也就是在線段ab的延長線上)所以要分兩種情況求線段am的長【答案與解析】解：當(dāng)點(diǎn)c在線段ab上時(shí)，如圖所示因?yàn)閙是

12、線段ac的中點(diǎn)，所以am=1ac2又因?yàn)閍cab-bc，ab14cm，bc4cm，11所以am=(ab-bc)=22(14-4)=5(cm)當(dāng)點(diǎn)c在線段ab的延長線上時(shí)，如圖所示因?yàn)閙是線段ac的中點(diǎn)，所以am=1ac2又因?yàn)閍cab+bc，ab14cm，bc4cm，所以am=12(ab+bc)=9(cm)所以線段am的長為5cm或9cm【總結(jié)升華】在解答沒有給出圖形的問題時(shí)，一定要審題，要全面考慮所有可能的情況，即當(dāng)我們面臨的教學(xué)問題無法確定是哪種情形時(shí)，就要分類討論舉一反三：【變式】(武漢武昌區(qū)期末聯(lián)考)如圖所示，數(shù)軸上線段ab2(單位長度)，cd4(單位長度)，點(diǎn)a在數(shù)軸上表示的數(shù)是-1

13、0，點(diǎn)c在數(shù)軸上表示的數(shù)是16若線段ab以6個(gè)單位長度/秒的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)線段cd以2個(gè)單位長度/秒的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)(1)問運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，bc8(單位長度)(2)當(dāng)運(yùn)動(dòng)到bc8(單位長度)時(shí)，點(diǎn)b在數(shù)軸上表示的數(shù)是_(3)p是線段ab上一點(diǎn)，當(dāng)b點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段cd上時(shí)，是否存在關(guān)系式bd-appc=3若存在，求線段pd的長；若不存在，請說明理由【答案】解：(1)點(diǎn)b在數(shù)軸上表示的數(shù)是-8，設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，bc8（單位長度），則：當(dāng)點(diǎn)b在點(diǎn)c的左邊時(shí)，6t+8+2t24t2(秒)當(dāng)點(diǎn)b在點(diǎn)c的右邊時(shí)，6t-8+2t24t4(秒)資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理答：當(dāng)t等于2秒

14、或4秒時(shí)，bc8(單位長度)(2)由（1）知：當(dāng)t2(秒)時(shí)，b點(diǎn)坐標(biāo)為：-8+6t=8+62=4（單位長度）當(dāng)t4(秒)時(shí)，b點(diǎn)坐標(biāo)為：-8+6t=8+64=16（單位長度）所以答案為：4或16(3)存在，若存在，則有：bdap+3pc，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒)，則：1當(dāng)t3時(shí)，點(diǎn)b與點(diǎn)c重合，點(diǎn)p在線段ab上，opc2且bdcd4，ap+3pcab+2pc2+2pc所以：2+2pc=4，解得：pc1此時(shí)，pd52當(dāng)3t134時(shí)，點(diǎn)c在點(diǎn)a與點(diǎn)b之間，opc2點(diǎn)p在線段ac上時(shí)bdcd-bc4-bcap+3pcac+2pcab-bc+2pc2-bc+2pc由4-bc=2-bc+2pc，可得：pc

15、1，此時(shí)pd5點(diǎn)p在線段bc上時(shí)bdcd-bc4-bc，ap+3pcac+4pcab-bc+4pc2-bc+4pc由4-bc=2-bc+4pc，可得：pc=17，此時(shí)pd=223當(dāng)t=134時(shí)，點(diǎn)a與在點(diǎn)c重合，0pc2bdcd-ab2，ap+3pc4pc由24pc，可得：pc=17，此時(shí)pd=224當(dāng)137t時(shí)，0pc442bdcdbc4bc，ap+3pcab-bc+4pc2-bc+4pc由4bc=2-bc+4pc，可得：pc=17，此時(shí)pd=227綜上可得：存在此關(guān)系式，且pd的長為5或.2類型四、路程最短問題5.如圖所示，某公司員工分別住a、b、c三個(gè)住宅區(qū)，a區(qū)有30人，b區(qū)有15人，c區(qū)有10人三個(gè)區(qū)在同一條直線上，該公司的接送車打算在此間設(shè)一個(gè)停靠點(diǎn)，為使所有員工步行到停靠點(diǎn)的路程之和最小，那么?？奎c(diǎn)的位置應(yīng)設(shè)在哪個(gè)區(qū)?資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理【答案與解析】解：所有員工步行到?？奎c(diǎn)a區(qū)的路程之和為:030+10015+(100+200)100+1500+30004500(m)；所有員工步行到?？奎c(diǎn)b區(qū)的路程之和為:10030+015+200103000+0+20005000(m)