等差數(shù)列一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載等差數(shù)列及其前n項和【知識梳理】1. 等差數(shù)列的有關(guān)概念(1) 定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列.符號表示為an+1 an= d(n N*, d為常數(shù)).a k b(2) 等差中項：數(shù)列a, A, b成等差數(shù)列的充要條件是 A = 寧，其中A叫做a, b的等差中項.2 .等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項公式：an = ai + (n 1)d.(2)前n項和公式：_n n 1a1 + an nSn= na1 +2 d =?【易誤點(diǎn)】1.要注意概念中的“從第 2項起”.如果一個數(shù)列不是從第 2項起，而是從第3項或 第4項

2、起，每一項與它前一項的差是同一個常數(shù)，那么此數(shù)列不是等差數(shù)列.2 .注意區(qū)分等差數(shù)列定義中同一個常數(shù)與常數(shù)的區(qū)別.試一試1.在等差數(shù)列an中，已知a4+ a8= 16,則該數(shù)列前11項和Sn =解析：4+ a8= 16,.心6= 8,.S11 = 11a6 = 88.2 .an是等差數(shù)列，a1= 1,公差0, Sn為其前n項和，若a1,a2, a5成等比數(shù)列，則S8=解析：因為an為等差數(shù)列，且 a1, a2, a5成等比數(shù)列，所以 a1(a1 + 4d)=+ d)2,解得d= 2a1 =2, 所以 S8= 64.【方法匯總】1 .等差數(shù)列的四種判斷方法(1) 定義法：an+1 an= d(d

3、是常數(shù))? an是等差數(shù)列.(2) 等差中項法：2an+1= an an+2(n N*)? an是等差數(shù)列.(3) 通項公式：an= pn+ q(p, q為常數(shù))? an是等差數(shù)列.(4) 前n項和公式：Sn= An2+Bn(A、B為常數(shù))? an是等差數(shù)列.2 .活用等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1) 通項公式的推廣：an= am+ (n m)d, (n, m N*).(2) 若an為等差數(shù)列，且 k+ l = m+ n, (k, I, m, n N*),貝U ak + ai= am+ an.(3) 若an是等差數(shù)列，公差為 d,貝U ak, ak+m, ak+ 2m,(k, m N*)是公差為md的

4、等差數(shù)列.(4) 數(shù)列Sm , Sm Sm, S3m S2m,也是等差數(shù)列.3. 用方程思想和化歸思想在解有關(guān)等差數(shù)列的問題時可以考慮化歸為a1和d等基本量，通過建立方程(組)獲得解.練一練1.已知等差數(shù)列an滿足a3 + a7= 10,則該數(shù)列的前 9項和S9=.解析:由題知,9 a1 + a929 a3+ a72=45.2.在等差數(shù)列an中，若a3 + a5 + a7= 9，則其前9項和S9的值為解析:由題知 a3 + a5 + a7= 3a5= 9,貝9 a5= 3,所以 So= 9a5 = 27.【考點(diǎn)探究】考點(diǎn)一等差數(shù)列的基本運(yùn)算【例1】1設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為3,若Sm-1=

5、2, Sm= 0, Sm+1= 3,貝y m=.解析：根據(jù)已知條件，得到 am和am+1,再根據(jù)等差數(shù)列的定義得到公差d，最后建立關(guān)于a1和m的方程組求解.由Sm 1 = 2 ,Sm= 0,Sm+ 1 = 3, 得am=SmSm 1 = 2,am+ 1 =Sm+ 1 Sm=3,所以等差數(shù)列的公差為d = am+1 am= 3 2= 1,a1= 2,解得m= 5.am= a1 + m 1 d = 2,a1+ m 1 = 2,由1得 1Sm= a1m+ m m 1 d = 0,a1m + 刃 m 1 = 0,2 .在等差數(shù)列 an中，若 a1 + a2= 4, a9 + a10= 36,貝U S1

6、0=解析：法一：10 a1+ a10由于 a1 + a2+ a9+ a10 = 2(a1 + a10) = 40,故 a1+ a10= 20,從而 S10=?= 100.2a1 + d= 4,a1 = 1當(dāng) n A 2 時，an= Sn Sn 1 =，當(dāng) n= 1 時，a1= S1= 不適合上式，2n n 12,10x 9d法二：由題意得解得從而S10 = 10a1+ x = 100.2a1+ 17d = 36,d = 2,2類題通法1 .等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1, an, d, n, Sn,知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程組解決問題的思想.2 .數(shù)列的通項公式和

7、前 n項和公式在解題中起到變量代換的作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法.考點(diǎn)二等差數(shù)列的判斷與證明1【例2】已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足a1= ?, an= 2SnSn- 1(n2且n N*).1(1)求證：數(shù)列Sn是等差數(shù)列.求Sn和an.解(1)證明：當(dāng) nA 2 時，an= Sn S 1 = 2SnSn 1，/.Sn(1 + 2Sn 1)= Sn 1.由上式知若 Sn 1 0,貝y SnM 0.$ = a1工0,由遞推關(guān)系知 S工0(n N*),1 1 1 1 1由式得1 = 2(n A2). 7是等差數(shù)列，其中首項為 =-=2,公差為2.Sn

8、 Sn 1SnS1 a11 1 1 1 E = 6+ 2(n- 1) = a1+ 2(n 1)，亠 Gn =12,n= 1,1, n2.2n n 1【一題多變】若將條件改為Sn 1a1= 2, Sn= 2s1+1 (n2)，如何求解.Sn 1解：8 = 23-1+ 1Sn =2Sn 1 + 111= + 2.-Si 1Si 1Sn1=2.Sn 111 sn是以2為首項，以2為公差的等差數(shù)列.1131(2) 由(1)知s；= 2+ (n 1)X 2= 2n2 即 Sn=3.2n - 2;當(dāng)n= 1時，a1= 2不適合an,1 1當(dāng) n 2 時，an= Sn Sn 1=3一 7372n2n 2n

9、2n -2 n= 1 ,故an=3 廠n2.(2n 一 3)(2n 一 7)n項和公式法主要適用于類題通法解答題判斷等差數(shù)列，常用定義法和等差中項法，而通項公式法和前選擇題、填空題中的簡單判斷.用定義證明等差數(shù)列時，常采用兩個式子bn + 1 bn=2n+ 1- Ea1 + 3數(shù)列bn是首項為一2_3 + 32= o,公差為1的等差數(shù)列.考點(diǎn)三等差數(shù)列的性質(zhì)【例3】已知數(shù)列an是等差數(shù)列，a1+ a3+ a5= 105, a2+ a4+ a6= 99, an的前n項和為Sn,則使 得喬(an+1 2an) 3=尹(+1 + 3) 3 = 1,n達(dá)到最大時 n=.設(shè)數(shù)列an, bn都是等差數(shù)列，

10、若 a1+ b1= 7, a3+ b3= 21,則a5 + b5 =解析(1)ai+ a3+ a5= 105? a3= 35, a2+ a4 + a6= 99? a4= 33,則an的公差 d = 33-35= 2, ai=a3 2d = 39, Sn= n2+ 40n,因此當(dāng) Sn取得最大值時，n = 20.(2)設(shè)兩等差數(shù)列組成的和數(shù)列為Cn，由題意知新數(shù)列仍為等差數(shù)列且C1=乙C3= 21 ,則C5= 2C3C1= 2 X 21 7 = 35.類題通法等差數(shù)列的性質(zhì)(1) 項的性質(zhì)：在等差數(shù)列 an中，am an = (m n)d?J = d(m n),其幾何意義是點(diǎn) (n, an),

11、(m, am)所在直線的斜率等于等差數(shù)列的公差.(2) 和的性質(zhì)：在等差數(shù)列an中，3為其前n項和，貝U S2n = n(a1 + a2n)= n(an+ an+1)； S2n1=(2n 1)an.針對訓(xùn)練在等差數(shù)列an中，已知a3 + a8= 10,則3a5+ a7=.解析：因為 a3 + a8= 10,所以 3a5+ a7= 2(a3+ a8)= 20.考點(diǎn)四等差數(shù)列前n項和的最值【例4】已知等差數(shù)列an的前n項和Sn的最大值為S7，且|a7|v|a8|,求使Sn 0的n的最大值. 解：由S7值最大，可得a7 0,a8V0,由 |a7|v|a8|，得a7V a8,即卩a7+ a8V 0,故

12、a1 +a14= a7+a8V 0.若 a7 0，貝U S13 =13 a1 + a132=13a7 0,S14=14 a1+ a142V 0，即Sn 0的最大正整數(shù)n= 13.若 a7= 0，貝V a6 0, S13 = 13a7= 0,12 a1+ a12S12 =6(a6+ a7) = 6a6 0，即 Sn 0 的最大正整數(shù) n=12.綜上所述，當(dāng)a7M 0時，使Sn0的最大正整數(shù)n為13;當(dāng)a7= 0時，使Sn0的最大正整數(shù)n為 1 2.類題通法求等差數(shù)列前n項和Sn最值的兩種方法(1)函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)表達(dá)式 Sn= an2 + bn,通過配方或借助圖像求二次函數(shù)最值

13、的方法求解.(2)鄰項變號法：am 0, a10, d0時，滿足的項數(shù)m使得Sn取得最大值為 Sm；am+1 W 0amW 0, 當(dāng)a10時，滿足的項數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm.am + 1 0由an0或anW 0找到使等差數(shù)列的前 n項和取得最大值或最小值的項數(shù)n,代入前n項和公式求最值.【針對訓(xùn)練】已知an為等差數(shù)列，若 囂V 1，且它的前n項和Sn有最大值，那么當(dāng)Sn取得最小 正值時，n等于多少？解：由已知得，an是首項為正，公差為負(fù)的遞減等差數(shù)列，an由V 1，得 a10 + anV 0 且 a10 0, an V 0,a1020 ai+ a2020 ai0+ aii-S20 =2=

14、2= 10(aio+ aii) v 0.而 Si9= 19aio 0,Sn取最小正值時 n = 19【鞏固練習(xí)】1 .已知數(shù)列an為等差數(shù)列，Sn為其前n項和，a7 a5= 4, aii = 21, S = 9,貝U k=,解析：a7 a5= 2d= 4,貝U d= 2.ai= aii 10d= 21 20= 1,k k 1Sk= k+ 2X 2= k2= 9.又 k N*，故 k = 3.2 .在等差數(shù)列 an中，若 a3 + a9 + a27= 12，貝U ai3 =解析：等差數(shù)列an中，由 a3+ a9+ a27= 12 得 3ai3 = 12,所以 ai3 = 4.3.已知等差數(shù)列an

15、滿足a2= 3, Sn Sn-3= 51(n3), Sn= 100,貝U n的值為解析：由 0 Sn 3= 51 得，an 2+ an 1 + an = 51,所以 an- 1= 17 ,n a2 + an i又 a2= 3,Sn =100,解得 n = 10.4 . （2013蘇錫常鎮(zhèn)、連云港、徐州六市調(diào)研（二）設(shè)Sn, Tn分別是等差數(shù)列an , bn的前n項和,Sn 2n +1* aio ,aii已知h=, n N，則+=.Tn 4 n 2b3 + bi8 b6+ bi5解析：因為an , bn是等差數(shù)列,ai0aiia10+ a11故 b3+ bi8= b6 + bi5, 所以+=b3

16、 + bi8b6+ bi5b3+ bi8ai + a20bi + b20S20 2X 20+ 1 41T20 4x 20 2785.已知等差數(shù)列an中，a4+ a6= 10,前5項和Ss= 5,則其公差為 解析：(a5 a3 5 1由 a4 + a6= 10,得 2a5= 10,故 a5= 5.由 S5= 5a3 = 5,得 a3= 1，所以 d =?= 2 = 2.6.已知Sn是等差數(shù)列an的前n項和，Si00并且Sii= 0,若Sn0, Sii= 0得,10 ai+ ai0Si0 =0? ai + ai00? a5 + a60,11 ai + aiiSii= 0?ai + aii = 2a

17、6= 0,故可知等差數(shù)列an是遞減數(shù)列且a6= 0,所以S5= S6 Sn,其中n N ,所以k= 5或6.7 .設(shè)等差數(shù)列 an的公差為正數(shù)，若 ai+ a2 + a3= 15, aia2a3= 80,貝U aii+ ai2+ ai3 =.解析：由條件可知，a2= 5,從而ai + a3= 10, aia3= 16，得ai= 2, a3 = 8，公差為3，所以aii + ai2+ ai3= 2X 3+ （10 + 11+ 12） x 3= 105.8. （2013南京二模）設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項和，若詈=，則詈=解析：由 S3= 3a2, S7= 7a4,詈二 1得 9a2= 7a4=

18、 7+ 2d)，即 a2= 7d,所以 a3= 8d, a4 = 9d，從而17S6= 3(a3+ a4)= 51 d, S7 = 7a4= 63d，故結(jié)果為 亓.9.各項均為正數(shù)的數(shù)列 an滿足a2= 4Sn 2an 1(n N*)，其中Sn為an的前n項和.(1)求ai, a2的值；求數(shù)列an的通項公式.解：(1)當(dāng) n= 1 時，ai = 4Si 2ai 1,即(ai 1)2= 0,解得 ai = 1.當(dāng)n = 2時,a2= 4S2 2a2 1 = 4a1 + 2a2 1 = 3+ 2a2,解得a2= 3 或 a2= 1(舍去).一得：an+1 a2= 4an+1 2an+1+ 2an= 2(an +1 + an), 即卩(an+1 an)(an +1+ an) = 2(an + 1 + an).(2) an= 4Sn 2an 1，a2 +1 = 4Sn +1 2an+1 1.T數(shù)列an各項均為正數(shù)， an+ 1 + an0 , an+ 1 an= 2,數(shù)列an