第十五章 面板數(shù)據(jù)分析

1、第十五章 面板數(shù)據(jù)分析第十五章 面板數(shù)據(jù)分析面板數(shù)據(jù)模型概述 在經(jīng)濟(jì)學(xué)研究和實(shí)際應(yīng)用中，我們經(jīng)常需要同時(shí)分析和比較橫截面觀察值和時(shí)間序列觀察值結(jié)合起來的數(shù)據(jù)，即：數(shù)據(jù)集中的變量同時(shí)含有橫截面和時(shí)間序列的信息。這種數(shù)據(jù)被稱為面板數(shù)據(jù)(panel data)，它與我們以前分析過的純粹的橫截面數(shù)據(jù)和時(shí)間序列數(shù)據(jù)有著不同的特點(diǎn)。簡(jiǎn)單地講，面板數(shù)據(jù)因同時(shí)含有時(shí)間序列數(shù)據(jù)和截面數(shù)據(jù)，所以其統(tǒng)計(jì)性質(zhì)既帶有時(shí)間序列的性質(zhì)，又包含一定的橫截面特點(diǎn)。因而，以往采用的計(jì)量模型和估計(jì)方法就需要有所調(diào)整。 例1 表1中展示的數(shù)據(jù)就是一個(gè)面板數(shù)據(jù)的例子。 表1 華東地區(qū)各省市g(shù)dp歷史數(shù)據(jù) 數(shù)據(jù)來源：中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒1996

2、-2000。其他類似的例子還有：歷次人口普查中有關(guān)不同年齡段的受教育狀況；同行業(yè)不同公司在不同時(shí)間節(jié)點(diǎn)上的產(chǎn)值等。這里，不同的年齡段和公司代表不同的截面，而不同時(shí)間節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)反映了數(shù)據(jù)的時(shí)間序列性。76623.107162.206650.025960.424996.87山東1962.981851.981715.181517.261244.04江西3550.243286.563000.362583.832191.27福建2908.592805.452669.952339.252003.66安徽5364.894987.504638.244146.063524.79浙江7697.827199.9566

3、80.346004.215155.25江蘇4034.963688.203360.212902.202462.57上海19991998199719961995研究和分析面板數(shù)據(jù)的模型被稱為面板數(shù)據(jù)模型（panel data model）。它的變量取值都帶有時(shí)間序列和橫截面的兩重性。一般的線性模型只單獨(dú)處理橫截面數(shù)據(jù)或時(shí)間序列數(shù)據(jù)，而不能同時(shí)分析和對(duì)比它們。面板數(shù)據(jù)模型，相對(duì)于一般的線性回歸模型，其長(zhǎng)處在于它既考慮到了橫截面數(shù)據(jù)存在的共性，又能分析模型中橫截面因素的個(gè)體特殊效應(yīng)。當(dāng)然，我們也可以將橫截面數(shù)據(jù)簡(jiǎn)單地堆積起來用回歸模型來處理，但這樣做就喪失了分析個(gè)體特殊效應(yīng)的機(jī)會(huì)。一般面板數(shù)據(jù)模型介紹

4、符號(hào)介紹： 因變量在橫截面i和時(shí)間t上的數(shù)值； 第j個(gè)解釋變量在橫截面i和時(shí)間t上的數(shù)值；假設(shè)：有k個(gè)解釋變量，即j=1,2.k； 有n個(gè)橫截面，即i=1,2,.n； 時(shí)間指標(biāo)t=1,2,t。 記第i個(gè)橫截面的數(shù)據(jù)為其中對(duì)應(yīng)的 是橫截面i和時(shí)間t時(shí)隨機(jī)誤差項(xiàng)。再記 這樣，y是一個(gè)的向量；x是一個(gè)的矩陣；而是一個(gè)的向量。針對(duì)這樣的數(shù)據(jù)，有以下以矩陣形式表達(dá)的面板數(shù)據(jù)模型： (15.1) 方程（15.1）代表一個(gè)最基本的面板數(shù)據(jù)模型。基于對(duì)系數(shù)和隨機(jī)誤差項(xiàng)的不同假設(shè)，從這個(gè)基本模型可以衍生出各種不同的面板數(shù)據(jù)模型。最簡(jiǎn)單的模型就是忽略數(shù)據(jù)中每個(gè)橫截面?zhèn)€體所可能有的特殊效應(yīng)，如假設(shè)，而簡(jiǎn)單地將模型視

5、為橫截面數(shù)據(jù)堆積的模型。 但是由于面板數(shù)據(jù)中含有橫截面數(shù)據(jù)，有時(shí)需要考慮個(gè)體可能存在的特殊效應(yīng)及對(duì)模型估計(jì)方法的影響。例如在不同個(gè)體誤差項(xiàng)存在不同分布的情況下，ols估計(jì)量雖然是一致的，但不再是有效估計(jì)量，因此往往需要采用gls。一般為了分析每個(gè)個(gè)體的特殊效應(yīng)，對(duì)隨機(jī)誤差項(xiàng) 的設(shè)定是 （15.2）.其中 代表個(gè)體的特殊效應(yīng)，它反映了不同個(gè)體之間的差別。最常見的兩種面板數(shù)據(jù)模型是建立在 的不同假設(shè)基礎(chǔ)之上。一種假設(shè)假定 是固定的常數(shù)，這種模型被稱為固定效應(yīng)模型（fixed effect model），另一種假設(shè)假定 不是固定的，而是隨機(jī)的，這種模型被稱為隨機(jī)效應(yīng)模型（random effect

6、model）。固定效應(yīng)模型在固定效應(yīng)模型中假定 ,其中 是對(duì)每一個(gè)個(gè)體是固定的常數(shù)，代表個(gè)體的特殊效應(yīng)，也反映了個(gè)體間的差異。 .整個(gè)固定效應(yīng)模型可以用矩陣形式表示為：其中i為 的單位向量。進(jìn)一步定義： 為 向量，是一個(gè)虛擬變量（dummy variable）。模型可以再寫為：其中d是一個(gè)有虛擬變量組成的矩陣。因此固定效應(yīng)模型也被稱為最小二乘虛擬變量模型（least squares dummy variable(lsdv) model），或簡(jiǎn)單稱為虛擬變量模型。 固定效應(yīng)模型的估計(jì)和檢驗(yàn) 固定效應(yīng)模型中有n個(gè)虛擬變量系數(shù)和k個(gè)解釋變量系數(shù)需要估計(jì)，因此總共有n+k個(gè)參數(shù)需要估計(jì)。當(dāng)n不是很大時(shí)

7、，可直接采用普通最小二乘法進(jìn)行估計(jì)。但是當(dāng)n很大時(shí)，直接使用ols方法的計(jì)算量就變得非常大，甚至有可能超過計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)容量。一個(gè)解決問題的辦法就是分成兩步來對(duì)面板數(shù)據(jù)模型進(jìn)行回歸分析。由這種方法導(dǎo)出的估計(jì)量常被稱為內(nèi)部估計(jì)量（within estimator），有時(shí)也記為 。第二步，估計(jì)參數(shù)。由于已經(jīng)得到了的估計(jì)值，所以的估計(jì)就變得比較簡(jiǎn)單。 其實(shí)就是用自變量和解釋變量的個(gè)體均值和 按下列模型計(jì)算出的誤差項(xiàng)： 估計(jì)量 和 的方差估計(jì)： 其中 是對(duì)誤差項(xiàng)方差的估計(jì)量：第一步，剔除虛擬變量在模型中的影響，然后再對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。剔除虛擬變量d影響的辦法就是利用下列矩陣對(duì)所有變量進(jìn)行“過濾”。 設(shè) ，

8、其中d的定義與方程前所述。設(shè) ，用 轉(zhuǎn)變模型 。顯然 ，則有用ols得到的估計(jì)： 內(nèi)部估計(jì)量與對(duì)下列方程的ols估計(jì)量是等同的。 +隨機(jī)誤差項(xiàng) 其中， 和 代表各自變量個(gè)體的均值。上式中，ols估計(jì)量主要利用的是個(gè)體變量對(duì)其均值偏離的信息，隨機(jī)誤差項(xiàng)也僅反映對(duì)其個(gè)體均值的偏離波動(dòng)，這是該估計(jì)量被稱為內(nèi)部估計(jì)量的原因。注意：在對(duì)誤差項(xiàng)方差的估計(jì)量中，分母（nt-n-k）反映了整個(gè)模型的自由度。有了這些方差的估計(jì)量，就可以用傳統(tǒng)的t-統(tǒng)計(jì)量對(duì)估計(jì)系數(shù)的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)。同時(shí)，還可以運(yùn)用下列f-統(tǒng)計(jì)量對(duì) 的原假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)：其中 代表無約束回歸模型，而 為有約束回歸模型的 ，約束條件即為原假設(shè)。相對(duì)于內(nèi)

9、部估計(jì)量，另外還有一種估計(jì)量稱為中間估計(jì)量（between estimator）。定義為： 它其實(shí)是下列模型的ols估計(jì)量： 因而可以被看作利用不同的個(gè)體均值信息所作出的估計(jì)。中間估計(jì)量一般而言是一致估計(jì)量，但不是有效的。因?yàn)樗皇抢昧藗€(gè)體均值的信息。內(nèi)部估計(jì)量在這個(gè)意義上與中間估計(jì)量是相對(duì)的，因?yàn)閮?nèi)部估計(jì)量利用的正是被中間估計(jì)量所“拋棄”的部分信息。 固定效應(yīng)模型的優(yōu)點(diǎn)：能夠確定地反映個(gè)體之間的差距及其簡(jiǎn)單的估計(jì)方法； 固定效應(yīng)模型的缺點(diǎn)：存在模型自由度比較小（因?yàn)橛衝個(gè)截距系數(shù)）和存在對(duì)個(gè)體差異的限制性假設(shè)（即個(gè)體間差異為固定的）。隨機(jī)效應(yīng)模型及其估計(jì)方法類似固定效應(yīng)模型，隨機(jī)效應(yīng)模型也

10、假定： 但與固定效應(yīng)模型不同的是，隨機(jī)效應(yīng)模型假定 與 同為隨機(jī)變量。隨機(jī)效應(yīng)模型可以表達(dá)如下：其中 和 均為 向量； 是 矩陣； 是一個(gè)隨機(jī)變量，代表個(gè)體的隨機(jī)效應(yīng)。由于模型的誤差項(xiàng)為二種隨機(jī)誤差之和，所以也稱該模型為誤差構(gòu)成模型（error component model）。還假定：(1) 和 不相關(guān)；(2) ;(3) ; (4) ;(5) ; (6) ;(7) 。給定這些假設(shè)，隨機(jī)效應(yīng)面板數(shù)據(jù)模型也可同樣寫為y=x+。其中 ，的向量形式與以前相同。 是kronecker乘法符號(hào)。 例： kronecker乘法： 前面的矩陣d也可用kronecker乘法表示：在這些假設(shè)的情況下，簡(jiǎn)單ols

11、估計(jì)量仍然是無偏和一致的，但不是有效的。因?yàn)椋?同一個(gè)個(gè)體、不同時(shí)間節(jié)點(diǎn)上的隨機(jī)誤差項(xiàng)之間存在一定的相關(guān)性，而ols沒有利用方差矩陣中含有的這些信息，因而不再是最有效的估計(jì)量。因此有必要采用gls。pool對(duì)象估計(jì)的模型形式pool對(duì)象估計(jì)的方程模型形式為： （15.3） 其中yit是因變量，xit 和?i 分別是對(duì)應(yīng)于 i =1 , 2 , , n 的截面成員的解釋變量 k 維向量和 k 維參數(shù)。每個(gè)截面成員的觀測(cè)期為 t =1 , 2 , t。 我們可以把這些數(shù)據(jù)看作一系列截面說明回歸量，因此有n個(gè)截面方程： (15.4) 模型(15.4)常用的有如下三種情形： 情形1： 情形2： 情形3

12、：對(duì)于情形1，在橫截面上無個(gè)體影響、無結(jié)構(gòu)變化，則普通最小二乘法估計(jì)給出了? 和? 的一致有效估計(jì)。相當(dāng)于將多個(gè)時(shí)期的截面數(shù)據(jù)放在一起作為樣本數(shù)據(jù)。對(duì)于情形2，稱為變截距模型，在橫截面上個(gè)體影響不同，個(gè)體影響表現(xiàn)為模型中被忽略的反映個(gè)體差異的變量的影響，又分為固定影響和隨機(jī)影響兩種情況。對(duì)于情形3，稱為變系數(shù)模型，除了存在個(gè)體影響外，在橫截面上還存在變化的經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，因而結(jié)構(gòu)參數(shù)在不同橫截面上是不同的。模型設(shè)定的檢驗(yàn) greene（1997）介紹了兩種檢驗(yàn)方法。一種是由breush和pagan（1980）提出的拉格朗日檢驗(yàn)法（lm test）。另一種是hausman（1978）提出的hausma

13、n檢驗(yàn)方法（hausman test），hausman檢驗(yàn)量其實(shí)是一種wald檢驗(yàn)法（wald test）。這兩種方法均可以用于驗(yàn)證面板數(shù)據(jù)模型的設(shè)定應(yīng)該是固定效應(yīng)還是隨機(jī)效應(yīng)。 lm test的基本步驟第一，建立原假設(shè)和備擇假設(shè)：第二，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其分布其中 為ols的誤差項(xiàng)。hausman test hausman檢驗(yàn)的前提是如果模型包含隨機(jī)效應(yīng)，它應(yīng)與解釋變量相關(guān)。因此在原假設(shè)h0：隨機(jī)效應(yīng)與解釋變量不相關(guān)的假定下，內(nèi)部估計(jì)量（對(duì)虛擬變量模型）和gls得出的估計(jì)量均是一致的，但是內(nèi)部估計(jì)量不是有效的；在備擇假設(shè)h1：隨機(jī)效應(yīng)與解釋變量相關(guān)的假定下，gls不再是一致的，而內(nèi)部估計(jì)量仍是一致

14、的。因此在原假設(shè)下， 與 之間的絕對(duì)值差距應(yīng)該不大，而且應(yīng)該隨樣本的增加而縮小，并漸進(jìn)趨近于0。而在備擇假設(shè)下，這一點(diǎn)不成立。hausman利用這個(gè)統(tǒng)計(jì)特點(diǎn)建立了以下檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：注意：這里的 與前面提到的有所不同，這里表示的兩種估計(jì)量協(xié)方差矩陣之差（hausman的一個(gè)基本結(jié)論就是有效估計(jì)量和其與非有效估計(jì)量之差（即： ）的協(xié)方差等于0，所以 即： hausman統(tǒng)計(jì)量即wald統(tǒng)計(jì)量漸進(jìn)服從自由度為k的分布： 堆積數(shù)據(jù)模型當(dāng)殘差同期不相關(guān)，并且時(shí)期和截面同方差時(shí)， 對(duì)堆積數(shù)據(jù)模型使用普通最小二乘法估計(jì)系數(shù)和協(xié)方差。相當(dāng)于情形1：?i = ?j，?i = ?j ，在橫截面上無個(gè)體影響、無結(jié)構(gòu)變

15、化，則普通最小二乘法估計(jì)給出了? 和? 的一致有效估計(jì)。相當(dāng)于將多個(gè)時(shí)期的截面數(shù)據(jù)放在一起作為樣本數(shù)據(jù)。變截距模型1. 固定影響 (fixed effects) (情形2:?i?j，?i=?j ) 固定影響估計(jì)量通過為每個(gè)截面成員估計(jì)不同常數(shù)項(xiàng)使?i不同。eviews將每個(gè)變量減去平均值，并用轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)，通過最小二乘估計(jì)來計(jì)算固定影響： 其中 設(shè) ， , 代表了x 減均值的差額的矩陣，bfe是使用普通最小二乘估計(jì)的系數(shù)。通過使用均值差模型的普通最小二乘協(xié)方差公式估計(jì)系數(shù)協(xié)方差矩陣： (15.5) 其中 ， 是固定影響模型的ssr。如果pool中有缺失值，nt 就用除去缺失值后的總觀測(cè)數(shù)代替。

16、 固定影響本身不是直接估計(jì)的，計(jì)算公式為(15.6) 固定影響系數(shù)中不報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)差。如果想得到標(biāo)準(zhǔn)差，應(yīng)該選擇截距說明中的common選項(xiàng)，來重新估計(jì)模型。 值得注意的是估計(jì)有太多截面成員的截面常數(shù)回歸模型可能很費(fèi)時(shí)。 變截距模型（2） 隨機(jī)影響模型假設(shè)?it項(xiàng)是共同系數(shù)?和不隨時(shí)間改變的截面說明隨機(jī)變量ui 的和，ui和殘差 ?i是不相關(guān)的。 eviews按下列步驟估計(jì)隨機(jī)影響模型： (1) 使用固定影響模型的殘差efe估計(jì)?it的方差，并使用上述的 。 (2) 估計(jì)組間（截面平均）模型并計(jì)算： 。其中 。i = 1 , 2 , , n ， 是組間回歸的ssr。如果 的估計(jì)值是負(fù)值，eview

17、s將返回錯(cuò)誤信息。有缺失觀測(cè)值時(shí)ti 在各截面成員間是不同的，在進(jìn)行方差估計(jì)時(shí)使用最大ti 的值。只要缺失觀測(cè)值的數(shù)目可漸進(jìn)忽略，估計(jì)就是一致的。 (3) 對(duì)轉(zhuǎn)換后變量使用ols (x包括常數(shù)項(xiàng)和回歸量x ) 。其中 eviews在輸出中給出了由上式得到的?的參數(shù)估計(jì)。使用協(xié)方差矩陣的標(biāo)準(zhǔn)估計(jì)量計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差。eviews給出了隨機(jī)影響的估計(jì)值。計(jì)算公式為： (15.7) 得到的是ui的最優(yōu)線性無偏預(yù)測(cè)值。 最后，eviews給出了加權(quán)和不加權(quán)的概括統(tǒng)計(jì)量。加權(quán)統(tǒng)計(jì)量來自上式中的gls估計(jì)方程。未加權(quán)統(tǒng)計(jì)量來自普通模型的殘差，普通模型中包括上式中的參數(shù)和估計(jì)隨機(jī)影響： 變系數(shù)模型 前面所介紹的變截

18、距模型中，橫截面成員的個(gè)體影響是用變化的截距來反映的，即用變化的截距來反映模型中忽略的反映個(gè)體差異的變量的影響。然而現(xiàn)實(shí)中變化的經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)或不同的社會(huì)經(jīng)濟(jì)背景等因素有時(shí)會(huì)導(dǎo)致反映經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)的參數(shù)隨著橫截面?zhèn)€體的變化而變化。因此，當(dāng)現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)不支持變截距模型時(shí)，便需要考慮這種系數(shù)隨橫截面?zhèn)€體的變化而改變的變系數(shù)模型。 變系數(shù)模型的基本形式如下： i =1, 2, , n (10.4.1)其中：yi 為因變量向量，xi 為 t?k 維解釋變量矩陣，參數(shù)?i 表示模型的常數(shù)項(xiàng)，?i 為對(duì)應(yīng)于解釋變量矩陣 xi 的系數(shù)向量。隨機(jī)誤差項(xiàng) ui 相互獨(dú)立，且滿足零均值、等方差的假設(shè)。 在式(10.4.1)所表示

19、的變系數(shù)模型中，常數(shù)項(xiàng) ?i 和系數(shù)向量 ?i 都是隨著橫截面?zhèn)€體的改變而變化的，因此可以將變系數(shù)模型改寫成如下形式：，i =1 , 2 , , n (10.4.2)其中： ，?i = (?i , ?i ?)? 。類似于變截距模型，變系數(shù)模型也分為固定影響變系數(shù)模型和隨機(jī)影響變系數(shù)模型兩種類型。 模型(10.1.2)常用的有如下三種情形： 情形1： (不變系數(shù)模型) 情形2： (變截距模型) 情形3： (變參數(shù)模型) 對(duì)于情形1，在橫截面上無個(gè)體影響、無結(jié)構(gòu)變化，則普通最小二乘法估計(jì)給出了? 和 ? 的一致有效估計(jì)。相當(dāng)于將多個(gè)時(shí)期的截面數(shù)據(jù)放在一起作為樣本數(shù)據(jù)。 對(duì)于情形2，稱為變截距模型，

20、在橫截面上個(gè)體影響不同，個(gè)體影響表現(xiàn)為模型中被忽略的反映個(gè)體差異的變量的影響，又分為固定影響和隨機(jī)影響兩種情況。 對(duì)于情形3，稱為變系數(shù)模型，除了存在個(gè)體影響外，在橫截面上還存在變化的經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，因而結(jié)構(gòu)參數(shù)在不同橫截面上是不同的。 模型形式設(shè)定檢驗(yàn) (2) 在對(duì)panel data模型進(jìn)行估計(jì)時(shí)，使用的樣本數(shù)據(jù)包含了個(gè)體、指標(biāo)、時(shí)間3個(gè)方向上的信息。如果模型形式設(shè)定不正確，估計(jì)結(jié)果將與所要模擬的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)實(shí)偏離甚遠(yuǎn)。因此，建立panel data模型的第一步便是檢驗(yàn)被解釋變量 yit 的參數(shù) ?i 和 ?i 是否對(duì)所有個(gè)體樣本點(diǎn)或時(shí)期都是一樣的，即檢驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)究竟符合上面哪種panel data模型形式，從而避免模型設(shè)定的偏差，