外球殼加內(nèi)球求電勢

1、7. 如圖(a)所示，半徑為r1的導(dǎo)體球帶有電荷+q，球外有一內(nèi)、外半徑分別為r1、r2、r3的通心導(dǎo)體球殼，殼上代有電荷+q。試求：(1) 兩球的電勢v1和v2及兩球的電勢差；(2) 用導(dǎo)線把球和球殼連在一體后，v1、v2和?v為多少？(3) 在情景（1）中，若外球殼接地，v1、v2和?v為多少？(4) 設(shè)外球面離地面很遠(yuǎn)，若內(nèi)球接地，情況又如何？解: 如圖(a)所示，在導(dǎo)體到達(dá)靜電平衡后，q分布在導(dǎo)體球的表面上。 由于靜電感應(yīng)在外球殼的內(nèi)表面上感應(yīng)出負(fù)電荷-q，外表面上感應(yīng)出正電荷q，則在球殼外表面上共帶電荷（q+q）。(1) 解法一 由于場的分布具有對稱性，可用高斯定理求得各區(qū)域的場強(qiáng)分

2、布為:e1 = 0 (rr1) , e2 = q/40r2 (r1 r r2 ), e3= 0 ( r2 r r3 )e的方向均沿徑向向外。導(dǎo)體為有限帶電體，選無限遠(yuǎn)處為電勢零點。由電勢定義可計算兩球的電勢v1和v2。內(nèi)球體內(nèi)的任意場點p1（rr1）的電勢: 外球殼體內(nèi)的任意場點p2（r2rr3）的電勢為:aa由v1和v2可求出導(dǎo)體和球殼間的電勢差為:解法二 可以把球體與球殼的電勢v1和v2視為由帶電量為q、半徑為r1；帶電量為-q、半徑為r2和帶電量為（q+q）、半徑為r3的三個同心帶電球面分別在場點p1和p2所共同產(chǎn)生的電勢疊加。由于球內(nèi)任意場點p1（r r1）在三個同心帶電球面之內(nèi)，故有

3、: ,在外球殼內(nèi)任意場點p2（r2rr3的空間中，即:。同時球體與球殼成為一個等勢體，即v1=v2，于是，aav= v1-v2=0。根據(jù)電勢的定義，可得:（3）在情形（1）中，若外球接地，球殼外表面的電勢為零，等量異號電荷分布在球體表面和球殼內(nèi)表面，此時電場只分布在r1r r2的空間內(nèi)，如圖(c)所示。由于外球殼電勢v2=0，則內(nèi)球體內(nèi)任意場點p1（r r1）的電勢為: （4）當(dāng)內(nèi)球接地時，內(nèi)球的電勢v2=0。但無限遠(yuǎn)處的電勢也為零這就要求外球殼所帶電量在內(nèi)外表面上重新分布，使球殼外的場強(qiáng)沿著徑向指向無限遠(yuǎn)處，球殼內(nèi)的場強(qiáng)沿著徑向指向球心處。因此，內(nèi)球必然帶負(fù)電。因為內(nèi)球接地，隨著它上面正電荷

4、的減少，球殼內(nèi)表面上的負(fù)電荷也相映減少，當(dāng)球殼上的負(fù)電荷全部消失時，球殼內(nèi)表面上的負(fù)電荷也消失完。但就球殼來說，仍帶有電荷+q，由于靜電感應(yīng)，在內(nèi)球和大地這一導(dǎo)體系便會感應(yīng)出等量的負(fù)電荷-q，此負(fù)電荷（-q）的一部分（設(shè)為-q）均勻的分布在內(nèi)球表面上。球殼內(nèi)表面上將出現(xiàn)等量的正電荷（+q）與之平衡。因此，在到達(dá)靜電平衡后，內(nèi)球帶電荷-q,球殼內(nèi)表面帶電量為 +q,外表面帶電量為（q-q），如圖(d)所示。解法一 根據(jù)高斯定理可知，可區(qū)域內(nèi)的場強(qiáng)為： 球殼上任意場點 p2（r2r r3）相對于無限遠(yuǎn)處和相對于接地內(nèi)球的電勢，應(yīng)用電勢定義式分別計算，可得: 連立上述兩式，求得: , 將q的結(jié)果帶入v2的表達(dá)式中，可得:相應(yīng)的球體與球殼間的電勢差為: 解法二 亦可根據(jù)帶電導(dǎo)體球的電勢公式和電勢疊加原理求解。根據(jù)電勢疊加原理，電勢v1是由-q(r=r1的球面)，+q(r= r2的球面)和q-q(r= r3的球面)在內(nèi)