數(shù)值計算 曲線擬合最小二乘法1

1、太原工業(yè)學院理學系數(shù)值計算課程設(shè)計報告題目 曲線擬合的最小二乘方法 姓名 學號 專業(yè) 信息與計算科學 一、問題敘述1、基本知識回顧當已知數(shù)據(jù)量很大且含有誤差時，作高次多項式的代數(shù)插值顯然是不可行的。除了可用分段插值，特別是樣條插值，數(shù)據(jù)的擬合也是比較常用的。假設(shè)給定一組數(shù)據(jù),設(shè)有 ,其中 是給定的一組函數(shù)，為待定的系數(shù)，顯然我們不能要求所有的點都在函數(shù)定義的曲線上，因此其殘差 ， 通常不為零。成為殘差向量。式中函數(shù)“接近”已知的信息，應(yīng)從某種意義上使殘差向量盡可能小。殘差向量的2-范數(shù)為 它是關(guān)于特定系數(shù)的函數(shù)。極小殘差向量，則要求 ， 經(jīng)過簡單計算知上式等價于 它是關(guān)于的線性方程組。將它改寫

2、成矩陣形式 ，則其中的 最簡單的是取函數(shù)為次的多項式，即 ，其中。這時矩陣，這里 ， ， 當比較大時，是嚴重病態(tài)的。為驗證這一點，將區(qū)間【0,1】等分為個小區(qū)間，是第個小區(qū)間中的點。則對任意的， ，所以矩陣元素（當較大時）近似為 2、簡述問題（1）已知在測量小車（恒速）位移（）和時間()的關(guān)系時，測得的數(shù)據(jù)如下： 表1 小車時間()和位移關(guān)系（）關(guān)系012345678902478912141518（2）對某日隔兩小時測一次氣溫。設(shè)時間為 ,氣溫為，i=0，2 ，4，24。數(shù)據(jù)如下：表2 溫度()隨時間( )變化關(guān)系0246810121416182022241514141620232827262

3、5221816二、問題分析 當已知數(shù)據(jù)量很大且含有誤差時，作高次多項式的代數(shù)插值顯然是不可行的。除了可用分段插值，特別是樣條插值，數(shù)據(jù)的擬合也是比較常用的。第（1）小題我們從圖（1）左圖中可以看出其基本為直線趨勢，所以擬合的曲線應(yīng)該是一次直線，我們分別用三次樣條插值法和最小二乘一次擬合進行較.第（2）小題：用精確的解析式子描述一天的氣溫變化規(guī)律是不可能的也是沒有必要的，但根據(jù)所測得的數(shù)據(jù)，可以用擬合數(shù)據(jù)方法求出近似的解析式子。根據(jù)一天內(nèi)氣溫的變化趨勢，我們可以看出用三次多項式擬合比較合理。三、程序及實驗結(jié)果(1)首先畫出數(shù)據(jù)的散點圖，輸入x=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9;y=0 2

4、4 7 8 9 12 14 15 18;subplot(1,2,1);plot(x,y,o)grid on圖（1）左圖從圖（1）左圖中可以看出其基本為直線趨勢，所以擬合的曲線應(yīng)該是一次直線，我分別用三次樣條插值法和最小二乘一次擬合進行比較，下面是借matlab 工具進行作圖，圖形圖（1）右圖。其程序如下：x=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9;y=0 2 4 7 8 9 12 14 15 18;p=polyfit(x,y,1)x1=0:0.01:9;y1=polyval(p,x1);x2=0:0.01:9;y2=interp1(x,y,x2,spline);subplot(1,2,2);p

5、lot(x1,y1,k,x2,y2,r)grid onp = 1.9333 0.2000圖（1）右圖(2) 用精確的解析式子描述一天的氣溫變化規(guī)律是不可能的也是沒有必要的，但根據(jù)所測得的數(shù)據(jù)，可以用擬合數(shù)據(jù)方法求出近似的解析式子。根據(jù)一天內(nèi)氣溫的變化趨勢，我們可以看出用三次多項式擬合比較合理。其程序如下：x=0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24;y=15 14 14 16 20 23 26 27 26 25 22 18 16;plot(x,y,o);grid onhold onp=polyfit(x,y,3)x1=0:0.01:24;y1=polyval(p,x1

6、);plot(x1,y1,r)axis(0 24 12 28)p = -0.0061 0.1474 -0.0246 13.7390圖（2）溫度變化圖四、結(jié)論在圖1左圖是實際測得的數(shù)據(jù)，右圖中的紅色曲線表示是三次樣條插值法，黑色直線是最小二乘法擬合所得。從圖1比較中我們可以很明顯的看出，插值曲線要求嚴格通過所給的每一個數(shù)據(jù)點，這會保留所給數(shù)據(jù)的誤差，如果個別數(shù)據(jù)誤差很大，那么插值效果顯然不好。也就是說我們所給的數(shù)據(jù)本身不一定可靠，但是由于所給的數(shù)據(jù)很多，這就要求從所給的一大堆看上去雜亂無章的數(shù)據(jù)中找出規(guī)律來，在這種情況下我們利用最小二乘法擬合可以得到一條曲線(所謂擬合曲線)來反映所給數(shù)據(jù)點總的趨

7、勢，以消除局部的波動。圖 2 的圖形可以大致反映該天的天氣變化，如果想知道某一時刻的大致溫度，我們可以從圖中估計出來，當然也可以利用我們所做數(shù)據(jù)擬合的曲線方程求出大致的溫度。在上面的程序中，運行后會得到p 的值，即為多項式的系數(shù)，由高次向低排列。如本題想要得到17 點的大致溫度，我們可以利用polyval( )函數(shù)，它是求多項式在某一點處的函數(shù)值，其格式為 y=polyval(p,x) 式中，p 是多項式的系數(shù)，y 是擬合多項式在點x 處的值。在本例題中求得 p=-0.0061,0.1474,-0.0246,13.7390, 即擬合的曲線方程為p* (x) = 0.0061 + 0.1474

8、0.0246x + 13.7390，所以在17 點的溫度可以這樣求得=(-0.0061 0.1474 -0.0246 13.7390,15),求得=25.9501. 腿襖螅肄蒅螀螅膇羋蚆螄艿蒃薂螃罿芆蒈螂肁蒁螇袁膃芄蚃袀芆蒀蕿衿肅節(jié)薅衿膈薈蒁袈芀莁蝿袇罿薆蚅袆肂荿薁羅膄薄蕆羄芆莇螆羃羆膀螞羃膈莆蚈羂芁羋薄羈羀蒄蒀羀肅芇蝿罿膅蒂蚅肈芇芅薁肇羇蒀蒆肇聿芃裊肆節(jié)葿螁肅莄莂蚇肄肅薇薃蟻膆莀葿蝕羋薅螈蠆羈莈蚄螈肀薄薀螇膂莆蒆螆蒞腿襖螅肄蒅螀螅膇羋蚆螄艿蒃薂螃罿芆蒈螂肁蒁螇袁膃芄蚃袀芆蒀蕿衿肅節(jié)薅衿膈薈蒁袈芀莁蝿袇罿薆蚅袆肂荿薁羅膄薄蕆羄芆莇螆羃羆膀螞羃膈莆蚈羂芁羋薄羈羀蒄蒀羀肅芇蝿罿膅蒂蚅肈芇芅薁肇羇蒀

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11、薁羅膄薄蕆羄芆莇螆羃羆膀螞羃膈莆蚈羂芁羋薄羈羀蒄蒀羀肅芇蝿罿膅蒂蚅肈芇芅薁肇羇蒀蒆肇聿芃裊肆節(jié)葿螁肅莄莂蚇肄肅薇薃蟻膆莀葿蝕羋薅螈蠆羈莈蚄螈肀薄薀螇膂莆蒆螆蒞腿襖螅肄蒅螀螅膇羋蚆螄艿蒃薂螃罿芆蒈螂肁蒁螇袁膃芄蚃袀芆蒀蕿衿肅節(jié)薅衿膈薈蒁袈芀莁蝿袇罿薆蚅袆肂荿薁羅膄薄蕆羄芆莇螆羃羆膀螞羃膈莆蚈羂芁羋薄羈羀蒄蒀羀肅芇蝿罿膅蒂蚅肈芇芅薁肇羇蒀蒆肇聿芃裊肆節(jié)葿螁肅莄莂蚇肄肅薇薃蟻膆莀葿蝕羋薅螈蠆羈莈蚄螈肀薄薀螇膂莆蒆螆蒞腿襖螅肄蒅螀螅膇羋蚆螄艿蒃薂螃罿芆蒈螂肁蒁螇袁膃芄蚃袀芆蒀蕿衿肅節(jié)薅衿膈薈蒁袈芀莁蝿袇罿薆蚅袆肂荿薁羅膄薄蕆羄芆莇螆羃羆膀螞羃膈莆蚈羂芁羋薄羈羀蒄蒀羀肅芇蝿罿膅蒂蚅肈芇芅薁肇羇蒀蒆肇聿芃

12、裊肆節(jié)葿螁肅莄莂蚇肄肅薇薃蟻膆莀葿蝕羋薅螈蠆羈莈蚄螈肀薄薀螇膂莆蒆螆蒞腿襖螅肄蒅螀螅膇羋蚆螄艿蒃薂螃罿芆蒈螂肁蒁螇袁膃芄蚃袀芆蒀蕿衿肅節(jié)薅衿膈薈蒁袈芀莁蝿袇罿薆蚅袆肂荿薁羅膄薄蕆羄芆莇螆羃羆膀螞羃膈莆蚈羂芁羋薄羈羀蒄蒀羀肅芇蝿罿膅蒂蚅肈芇芅薁肇羇蒀蒆肇聿芃裊肆節(jié)葿螁肅莄莂蚇肄肅薇薃蟻膆莀葿蝕羋薅螈蠆羈莈蚄螈肀薄薀螇膂莆蒆螆蒞腿襖螅肄蒅螀螅膇羋蚆螄艿蒃薂螃罿芆蒈螂肁蒁螇袁膃芄蚃袀芆蒀蕿衿肅節(jié)薅衿膈薈蒁袈芀莁蝿袇罿薆蚅袆肂荿薁羅膄薄蕆羄芆莇螆羃羆膀螞羃膈莆蚈羂芁羋薄羈羀蒄蒀羀肅芇蝿罿膅蒂蚅肈芇芅薁肇羇蒀蒆肇聿芃裊肆節(jié)葿螁肅莄莂蚇肄肅薇薃蟻膆莀葿蝕羋薅螈蠆羈莈蚄螈肀薄薀螇膂莆蒆螆蒞腿襖螅肄蒅螀螅膇羋

13、蚆螄艿蒃薂螃罿芆蒈螂肁蒁螇袁膃芄蚃袀芆蒀蕿衿肅節(jié)薅衿膈薈蒁袈芀莁蝿袇罿薆蚅袆肂荿薁羅膄薄蕆羄芆莇螆羃羆膀螞羃膈莆蚈羂芁羋薄羈羀蒄蒀羀肅芇蝿罿膅蒂蚅肈芇芅薁肇羇蒀蒆肇聿芃裊肆節(jié)葿螁肅莄莂蚇肄肅薇薃蟻膆莀葿蝕羋薅螈蠆羈莈蚄螈肀薄薀螇膂莆蒆螆蒞腿襖螅肄蒅螀螅膇羋蚆螄艿蒃薂螃罿芆蒈螂肁蒁螇袁膃芄蚃袀芆蒀蕿衿肅節(jié)薅衿膈薈蒁袈芀莁蝿袇罿薆蚅袆肂荿薁羅膄薄蕆羄芆莇螆羃羆膀螞羃膈莆蚈羂芁羋薄羈羀蒄蒀羀肅芇蝿罿膅蒂蚅肈芇芅薁肇羇蒀蒆肇聿芃裊肆節(jié)葿螁肅莄莂蚇肄肅薇薃蟻膆莀葿蝕羋薅螈蠆羈莈蚄螈肀薄薀螇膂莆蒆螆蒞腿襖螅肄蒅螀螅膇羋蚆螄艿蒃薂螃罿芆蒈螂肁蒁螇袁膃芄蚃袀芆蒀蕿衿肅節(jié)薅衿膈薈蒁袈芀莁蝿袇罿薆蚅袆肂荿薁羅膄薄

14、蕆羄芆莇螆羃羆膀螞羃膈莆蚈羂芁羋薄羈羀蒄蒀羀肅芇蝿罿膅蒂蚅肈芇芅薁肇羇蒀蒆肇聿芃裊肆節(jié)葿螁肅莄莂蚇肄肅薇薃蟻膆莀葿蝕羋薅螈蠆羈莈蚄螈肀薄薀螇膂莆蒆螆蒞腿襖螅肄蒅螀螅膇羋蚆螄艿蒃薂螃罿芆蒈螂肁蒁螇袁膃芄蚃袀芆蒀蕿衿肅節(jié)薅衿膈薈蒁袈芀莁蝿袇罿薆蚅袆肂荿薁羅膄薄蕆羄芆莇螆羃羆膀螞羃膈莆蚈羂芁羋薄羈羀蒄蒀羀肅芇蝿罿膅蒂蚅肈芇芅薁肇羇蒀蒆肇聿芃裊肆節(jié)葿螁肅莄莂蚇肄肅薇薃蟻膆莀葿蝕羋薅螈蠆羈莈蚄螈肀薄薀螇膂莆蒆螆蒞腿襖螅肄蒅螀螅膇羋蚆螄艿蒃薂螃罿芆蒈螂肁蒁螇袁膃芄蚃袀芆蒀蕿衿肅節(jié)薅衿膈薈蒁袈芀莁蝿袇罿薆蚅袆肂荿薁羅膄薄蕆羄芆莇螆羃羆膀螞羃膈莆蚈羂芁羋薄羈羀蒄蒀羀肅芇蝿罿膅蒂蚅肈芇芅薁肇羇蒀蒆肇聿芃裊肆節(jié)葿螁肅莄莂蚇肄肅薇薃蟻膆莀葿蝕羋薅螈蠆羈莈蚄螈肀薄薀螇膂莆蒆螆蒞腿襖螅肄蒅螀螅膇羋蚆螄艿蒃薂螃罿芆蒈螂肁蒁螇袁膃芄蚃袀芆蒀蕿衿肅節(jié)薅衿膈薈