18知識講解_數(shù)列的求和問題_提高

1、三好高中生（ID： sanhao-youke），為高中生提供名師公開課和精品資料。數(shù)列的求和問題編稿：張希勇【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.熟練掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式;2掌握數(shù)列的通項(xiàng) an與前n項(xiàng)和Sn之間的關(guān)系式;3熟練掌握求數(shù)列的前 n項(xiàng)和的幾種常用方法；注意觀察數(shù)列的特點(diǎn)和規(guī)律，在分析 通項(xiàng)的基礎(chǔ)上分解為基本數(shù)列求和或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、數(shù)列的前 n項(xiàng)和Sn的相關(guān)公式任意數(shù)列的第n項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn之間的關(guān)系式:S (n 1) anSn Sn1( n 2)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn公式:najSn一a n_ d An2 Bn （ A B 為常數(shù)）2 2當(dāng)dM0寸，Sn是關(guān)于

2、n的二次式且常數(shù)項(xiàng)為 0;當(dāng)d=0時(shí)（內(nèi)工0，Sn=na1是關(guān)于n的正比例式.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn公式:當(dāng)q 1時(shí),an a1， Sna1a2a3 Lan na1，當(dāng)q 1時(shí),Sn晉或Sna1 anq1 q要點(diǎn)詮釋：等比數(shù)列的求和中若 q的范圍不確定，要特別注意 q 1的情況.要點(diǎn)二、求數(shù)列的前 n項(xiàng)和的幾種常用方法公式法:如果一個(gè)數(shù)列是等差或者等比數(shù)列，求其前n項(xiàng)和可直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和；倒序相加法:等差數(shù)列前n項(xiàng)和的推導(dǎo)方法，即將 &倒寫后再與&相加，從而達(dá)到（化多為少）求 和的目的，常用于組合數(shù)列求和裂項(xiàng)相消法:把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，然后把數(shù)列的每一項(xiàng)都按照

3、這種方法拆成兩項(xiàng)的差,以達(dá)到在求和的時(shí)候隔項(xiàng)正負(fù)相抵消的目的，使前n項(xiàng)的和變成只剩下若干少數(shù)項(xiàng)的和的方法1例如對通項(xiàng)公式為an一1一的數(shù)列求和.n（n 1）常見的拆項(xiàng)公式:, 1 1 1一1丄？(丄丄)；n(n k) k n n k1 1 1 1若an為等差數(shù)列，且公差 d不為0，首項(xiàng)也不為 0，則 （一 ）；an ? an 1 d an an 1若an的通項(xiàng)的分子為非零常數(shù)，分母為非常數(shù)列的等差數(shù)列的兩項(xiàng)積的形式時(shí), , , 1 則冇(An B)(An C) EAT飛 A?C).一尸丁斤；vn1JnVnkJn分解求和與并項(xiàng)求和法:把數(shù)列的每一項(xiàng)拆分成兩項(xiàng)或者多項(xiàng)，或者把數(shù)列的項(xiàng)重新組合， 或

4、者把整個(gè)數(shù)列分成兩部分等等，使其轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或者等比數(shù)列等可求和的數(shù)列分別進(jìn)行求和.例如對通項(xiàng)公式為an=2n+3n的數(shù)列求和.錯(cuò)位相減法:如果一個(gè)數(shù)列 an的通項(xiàng)是由一個(gè)非常數(shù)列的等差數(shù)列bn與等比數(shù)列Cn的對應(yīng)項(xiàng)乘積組成的，求和的時(shí)候可以采用錯(cuò)位相減法.即錯(cuò)位相減法適用于通項(xiàng)為an bn cn數(shù)列求前n項(xiàng)和（其中bn是公差dM0勺等差數(shù)列，Cl是公比qMl的等比數(shù)列）（也稱為 差比數(shù)列”的Sn.例如對通項(xiàng)公式為 an （2n1） 2n的數(shù)列求和.般步驟:Sn dob2c2bn 1Cn 1 bnCn，則qSn biC2bn 1cndCn 1所以有（1q)Snb1C1(C2C3Cn )dbn

5、Cn 1三好高中生,學(xué)習(xí)方法/提分干貨/精品課程/考試真題，你需要的這里都有!要點(diǎn)詮釋:錯(cuò)位相減法是基于方程思想和數(shù)列規(guī)律的一種方法.一般都是把前n項(xiàng)和的兩邊都乘以等比數(shù)列的公比 q后，再錯(cuò)位相減求出其前 n項(xiàng)和;在使用錯(cuò)位相減法求和時(shí)一定要注意討論等比數(shù)列中其公比q是否有可能等于1，若q=1，錯(cuò)位相減法會不成立.要點(diǎn)三、掌握一些常見數(shù)列的前n項(xiàng)和公式1. 1n(n 1)n 22. 1(2n 1) n23. 1222322 n(n 1)(2 n 1) n 6要點(diǎn)詮釋：前兩個(gè)公式結(jié)論最好能熟記，這樣解題時(shí)會更加方便【典型例題】類型一：公式法例1設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)為an2n 7(n N ),則|a1

6、 | |a2|+|a15| =【思路點(diǎn)撥】對含絕對值的式子，首先去絕對值號，再考慮分組為等差或等比之和?！敬鸢浮俊窘馕觥坑蒩n0,得 n 7,取 n 4,2|a1| |a2|+舊15|1 a2 a3)4 a5 +印5)(1 3 5) (1 3 5 +23)=9+ -(1+23) 12=153.2【總結(jié)升華】要求幾個(gè)含有絕對值的式子的和，關(guān)鍵是要去掉絕對值符號，去絕對值符號的方法一般是用分類討論的思想方法，所以此題的關(guān)鍵是要看an的符號舉一反三:【變式】已知 an是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，Sn是an的前n項(xiàng)和，且9S3 S6,則數(shù)列1一的前5項(xiàng)和為an【答案】【解析】3116由題意知，顯然 q 1

7、9(印a2a3)a1a2a3a4a5a6,三好高中生(ID : sanhao-youke),為高中生提供名師公開課和精品資料。n21n X .三好高中生，學(xué)習(xí)方法/提分干貨/精品課程/考試真題，你需要的這里都有! 8(a1a2a3)a4a5 a6,8佝a2 a3)佝a2 a3)q3- q2,an 2n1aia21+ a51+ _3116類型二：倒序相加法求和例 2.求和：Sn In X InInX5 LIn X2n【思路點(diǎn)撥】由于該數(shù)列的通項(xiàng)是an In x2n 1(2n1)ln X ,因此可用倒序相加法求和.由于該數(shù)列的通項(xiàng)是anI 2nIn X1，求和時(shí)逆用對數(shù)運(yùn)算法則【解析】法一：SnI

8、n XIn X3 In X5LIn X2n 13In X5In X L (2n3)In X (2n1)In X則Sn(2n 1)ln X (:+有：2Sn2nlnx 2nlnx- Snn2 In X法二:3SnIn X In XSn35In X In X In XIn X X X L XSnIn X2nInx L2n1L (2n 1)3)In X,1 3 5In XL In X2nIn X5 LL 5In X 3In x In2nIn X, 2n 1In X1 3 5 L(2n1)In X【總結(jié)升華】倒序相加是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)的方法,在一些特殊數(shù)列中也有一三好高中生(ID : sanh

9、ao-youke),為高中生提供名師公開課和精品資料?！咀兪健壳蠛蚐sin21 sin2 2L sin2 89【答案】S.2 Sin1sin22Lsin2 89- S.2 sin89sin2 88L2 .sin 1cos212 _cos 2L2cccos 89 2S(sin212 cos1 ) (sin.22cos 2 )舉一反三:L (sin2 89cos2 89 )89 S 892類型三：錯(cuò)位相減法例3. (2015 湖北)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,前n項(xiàng)和為S,等比數(shù)列bn的公比為q.已知 bi=ai, b2=2, q=d, Si0=1OO.(I)求數(shù)列& , bn的通項(xiàng)公式；(6分)(

10、n)當(dāng)d 1時(shí)，記Cn Ol，求數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和Tn. (6 分) ban和bn的通【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)條件聯(lián)立即可求出首項(xiàng)和公差及公比，利用公式求出項(xiàng)公式.(2)先求出Cn的通項(xiàng)公式，在利用錯(cuò)位相減法求和?！敬鸢浮?I) an=2n 1,bn=2n1;(n) T, 62n 3953三好高中生,學(xué)習(xí)方法/提分干貨/精品課程/考試真題，你需要的這里都有!【解析】(I)由題意有,10a1Qd45d100,2,2a1aid9d 20,2,解得a1d9,29an故nbn2n2n1anbn(n)由d 1,an=2n 1, bi=2n1, 故Cn于是Tn2n12n廠2n1(2n 79),92n 1三好

11、高中生(ID： sanhao-youke)，為高中生提供名師公開課和精品資料。-可得lTn 22 n1 1 L 1 2n 12 尹 2 h故 Tn 6【總結(jié)升華】1. 一般地，如果等差數(shù)列an與等比數(shù)列bn的對應(yīng)項(xiàng)相乘形成的數(shù)列 anbn（也稱1三好高中生，學(xué)習(xí)方法/提分干貨/精品課程/考試真題，你需要的這里都有!為“差比數(shù)列”）都用錯(cuò)項(xiàng)相減的辦法來求前n項(xiàng)之和Sn.2. 錯(cuò)項(xiàng)相減法是基于方程思想和數(shù)列規(guī)律的一種方法，一般都選擇乘以q是否有可能等于1,3. 在使用錯(cuò)項(xiàng)相減法求和時(shí)一定要注意討論等比數(shù)列中其公比若q=1，錯(cuò)項(xiàng)相減法會不成立舉一反三:【變式1】求數(shù)列1 22,416n2n的前n項(xiàng)和

12、Sn.【答案】Sn 21Sn241 24 8161632n2* 1-(12)SnSn【變式21 (2016山東理）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=3n2+8n, bn是等差數(shù)列，且an=bn + bn+1。（I）求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式;(n)令 Cn(a1)n 1.求數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和Tn.(bn 2)【解析1（1）由題意知當(dāng)nA2時(shí),an=Sn Sn- 1=6n+5 ,當(dāng) n=1 時(shí)，a1=S1=11,所以 an=6n+5。設(shè)數(shù)列b n的公差為d,由&a2即 172b2b1d ，可解得 b1=4, d=3。3d所以 bn=3n+1 。忙-.n 1(2)由(1)知 Cn(6)n 3(n 1) 2n

13、1(3n 3)n又 T n=C1 +C2+C3+ +Cn,得 Tn=3 X 2 X 22+3 X 23+4X 24+ +(n+1) X 2n+1,2Tn=3 X 2 X 23+3 X 24+4 X 25+ +(n+1) X 2n+2,兩式作差，得二3冥4+1-3 + 1)*2曲=-知.2所以 Tn=3n 2n+2類型四：裂項(xiàng)相消法【高清課堂：數(shù)列的求和問題 381055典型例題21例4.已知數(shù)列1求證：數(shù)列2求和：丄qa2an的前n項(xiàng)和為Si， an為等差數(shù)列；1Sn=a2a3an 1an2).【解析1( 1) aSSnSn(n 1).1 (n 2) an1n2 (n1)2(n 1)(n 2)

14、二 an 2n 1-an 1an2 n 1(2n1)2，即數(shù)列an是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列. an2n 1an 1an(2n3)(2n 1)的)a1 a2an 1an1(1 1 1 2(13352n 3 2n 12(1【總結(jié)升華1n2n 11.本題所用的方法叫做裂項(xiàng)相消法，就是將數(shù)列的每一項(xiàng) “一拆為二”，即每一項(xiàng)拆成三好高中生(ID : sanhao-youke)，為高中生提供名師公開課和精品資料。兩項(xiàng)之差，以達(dá)到隔項(xiàng)相消之目的.一般地，對于裂項(xiàng)后有明顯相消項(xiàng)的一類數(shù)列，在求和時(shí)常用此法，分式的求和多利用此法.可用待定系數(shù)法對通項(xiàng)公式進(jìn)行拆項(xiàng)，相消時(shí)應(yīng)注意 消去項(xiàng)的規(guī)律，即消去哪些項(xiàng)，

15、保留哪些項(xiàng)2.在學(xué)習(xí)中也應(yīng)積累一些常見的拆項(xiàng)公式，如:丄?(1 n(n k) k n宀);若an為等差數(shù)列,公差為 d，an ?an 1);an 1舉一反三:【變式1】求數(shù)列Vn，1 ( k 你). k,-=一-=，的前n項(xiàng)和Sn.Jn Jn 1【答案】 anVn TnVnJn三好高中生，學(xué)習(xí)方法/提分干貨/精品課程/考試真題，你需要的這里都有!-5143 2Vn J n 11靈罷2J3Jn 1 肩Jn 11【變式2】求和：1 -111(n N )12 12 312n【答案】ak112 2(! 1 )1111k2k 11 2k(k 1) k-Sn2n(n1)2(12(11) (1332n14)

16、l(-n七)【變式3】求數(shù)列222 132 142 12(n 1)21(n 1)2的前n項(xiàng)的和Sn .1【答案】an2 2(n 1)1 n 2n 22n(n1)22nn222n(丄n1-2 Sn (1；1)寸)(15)(1(1 -n&)11 -21n 1類型五：分組轉(zhuǎn)化法求和【高清課堂：數(shù)列的求和問題n 112381055典型例題11例5 .已知數(shù)列 xn的首項(xiàng)為3，通項(xiàng)Xn2n N，p, q是常數(shù))，且X1,X4, X5成等差數(shù)列.(1)求p,q的值;(2)求數(shù)列 Xi的前n項(xiàng)和Sn.【解析12p q(1)2(16p4q) 2p32 p5p解得x2Xn(211)(22 2)+(22n)= 2

17、n1(21= (2 22+2n)2 n(n 1)(1 2+n)222n)23.2n) 2(1 23 . n)211 22n1 n2n(n 1)22【總結(jié)升華11. 一般數(shù)列求和,先認(rèn)真理解分析所給數(shù)列的特征規(guī)律,聯(lián)系所學(xué)，考慮化歸為等差、等比數(shù)列或常數(shù)列，然后用熟知的公式求解2. 一般地，如果等差數(shù)列an與等比數(shù)列bn的對應(yīng)項(xiàng)相加而形成的數(shù)列 an bn都用分組求和的辦法來求前n項(xiàng)之和Sn.舉一反三:24138I答案】Sn 112438(1+2+3+ +n)+1【變式1】求和112n(n2【變式2】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn =2n n G* ,nN .2(I )求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(n )

18、設(shè) bn= 2an(1)n an，求數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和.【答案】(I )當(dāng) n= 1 時(shí),a1 = S1 = 1,當(dāng)n絲時(shí)，an =2n n=Sn Sn 1 =22(n 1) (n 1) = n2 ，數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an= n.(n )由(I )知，bn= 2n+( 1)nn,記數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和為T2n, T2n= (21+22+22n)+( 1+2 3+4 +2 n)=2+n = 22n+1+n 2.1 2二數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和為22n+1+n 2.例6 .已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn 15 9 13 17 211)n 1(4n3)，求項(xiàng)構(gòu)成以而可a1 a2a3a4 a5a6an a

19、n 14 ( n為奇數(shù))，可以將相鄰兩項(xiàng)組合在一起。SI5 ,S22 的值.【思路點(diǎn)撥】該數(shù)列an的特征：an ( 1)n1(4n 3)，既非等差亦非等比，但也有規(guī)律：所有奇數(shù)1為首項(xiàng)8為公差的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以-5為首項(xiàng)-8為公差的等差數(shù)列，因?qū)ζ鏀?shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分組求和；還有規(guī)律：【解析】方法一:由an(1)n1(4 n 3)19 . (4 213)513 .(422 3)2244方法二：由an (1)n1(4n 3)當(dāng)n為奇數(shù)，nN 時(shí)，an an 1(4n3)(4n 1)4，當(dāng)n為偶數(shù)，nN 時(shí)，an an 1(4n3)(4n1) 4，- S151 ( 59)(13 17)( 2125).(53 57)17 429，S22(1 5)(913) (17 21).(8185)11 ( 4)44【總結(jié)升華】S22S51 9 . (4153) 513 . (414 3)8(1 57)1.對通項(xiàng)公式中含有(1)n或(1)n 1的一類數(shù)列，在求Sn時(shí)要注意討論n的奇偶情況.2.對正負(fù)相間的項(xiàng)中的相鄰兩項(xiàng)進(jìn)行恰當(dāng)?shù)慕M合，可能會有意料之結(jié)果舉一反三:【變式1