高一培優(yōu)資料第二次（函數(shù)及性質(zhì)）

1、高一數(shù)學(xué)培優(yōu)資料二1對實數(shù)a和b，定義運(yùn)算“”： ab設(shè)函數(shù)f(x)(x22)(xx2)，xR.若函數(shù)yf(x)c的圖象與x軸恰有兩個公共點(diǎn)，則實數(shù)c的取值范圍是()A(，2 B(，2C. D.解析當(dāng)(x22)(xx2)1，即1x時，f(x)x22；當(dāng)x22(xx2)1，即x1或x時，f(x)xx2，f(x)f(x)的圖象如圖所示，c2或1c.答案B2已知函數(shù)f(x)則滿足不等式f(1x2)f(2x)的x的取值范圍是_解析由題意有或解得1x0或0x1，所求x的取值范圍為(1，1)答案(1，1)3設(shè)函數(shù)f(x)g(x)f(x)ax，x1,3，其中aR，記函數(shù)g(x)的最大值與最小值的差為h(a)

2、(1)求函數(shù)h(a)的解析式；(2)畫出函數(shù)yh(x)的圖象并指出h(x)的最小值解(1)由題意知g(x)當(dāng)a1時，函數(shù)g(x)是1,3上的減函數(shù)，此時g(x)ming(3)23a，g(x)maxg(1)1a，所以h(a)2a1；當(dāng)0a1時，若x1,2，則g(x)1ax，有g(shù)(2)g(x)g(1)；若x(2,3，則g(x)(1a)x1，有g(shù)(2)g(x)g(3)，因此g(x)ming(2)12a，而g(3)g(1)(23a)(1a)12a，故當(dāng)0a時，g(x)maxg(3)23a，有h(a)1a；當(dāng)2xm，即x23x1m，對x1,1恒成立令g(x)x23x1，則問題可轉(zhuǎn)化為g(x)minm，又

3、因為g(x)在1,1上遞減， 所以g(x)ming(1)1，故m0成立(1)判斷f(x)在1,1上的單調(diào)性，并證明它；(2)解不等式：f(x)f()；(3)若f(x)m22am1對所有的a1,1恒成立，求實數(shù)m的取值范圍解(1)任取x1，x21,1，且x10，x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)f(x)在1,1上單調(diào)遞增(4分)(2)f(x)在1,1上單調(diào)遞增，x1.(9分)(3)f(1)1，f(x)在1,1上單調(diào)遞增在1,1上，f(x)1.(10分)問題轉(zhuǎn)化為m22am11，即m22am0，對a1,1成立下面來求m的取值范圍設(shè)g(a)2mam20.若m0，則g(a)00

4、，自然對a1,1恒成立若m0，則g(a)為a的一次函數(shù)，若g(a)0，對a1,1恒成立，必須g(1)0，且g(1)0，m2，或m2.m的取值范圍是m0或|m|2.(14分)7(12分)已知f(x)x2ax3a，若x2,2時，f(x)0恒成立，求a的取值范圍解設(shè)f(x)的最小值為g(a)，則只需g(a)0，由題意知，f(x)的對稱軸為.(1)當(dāng)4時，g(a)f(2)73a0，得a.又a4，故此時的a不存在(4分)(2)當(dāng)2,2，即4a4時，g(a)f()3a0得6a2.又4a4，故4a2.(8分)(3)當(dāng)2，即a4時，g(a)f(2)7a0得a7.又a4，故7a0，x2x30，x3x10，則f(

5、x1)f(x2)f(x3)的值 ()A一定大于0B一定小于0 C等于0D正負(fù)都有可能Af(x)f(x)0，f(x)f(x)又x1x20，x2x30，x3x10，x1x2，x2x3，x3x1.又f(x1)f(x2)f(x2)，f(x2)f(x3)f(x3)，f(x3)f(x1)f(x1)，f(x1)f(x2)f(x3)f(x2)f(x3)f(x1)f(x1)f(x2)f(x3)0. 9(12分)求f(x)x22ax1在區(qū)間0,2上的最大值和最小值【答題模板】解f(x)(xa)21a2，對稱軸為xa.當(dāng)a0時，由圖可知，f(x)minf(0)1，f(x)maxf(2)34a.3分(2)當(dāng)0a1時，

6、由圖可知，f(x)minf(a)1a2，f(x)maxf(2)34a.6分(3)當(dāng)12時，由圖可知，f(x)minf(2)34a，f(x)maxf(0)1.綜上，(1)當(dāng)a0時，f(x)min1，f(x)max34a；(2)當(dāng)0a1時，f(x)min1a2，f(x)max34a；(3)當(dāng)12時，f(x)min34a，f(x)max1.12分10函數(shù)yf(x)(x0)是奇函數(shù)，且當(dāng)x(0，)時是增函數(shù)，若f(1)0，求不等式fx(x)0的解集解題導(dǎo)引本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式解題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性化“抽象的不等式”為“具體的代數(shù)不等式”在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個區(qū)間上，奇函

7、數(shù)的單調(diào)性相同，偶函數(shù)的單調(diào)性相反解yf(x)為奇函數(shù)，且在(0，)上為增函數(shù)，yf(x)在(，0)上單調(diào)遞增，且由f(1)0得f(1)0.若fx(x)0f(1)，則即0x(x)1，解得x或x0.若fx(x)0f(1)，則由x(x)1，解得x.原不等式的解集是x|x或x0)，在區(qū)間8,8上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，則x1x2x3x4_.解題導(dǎo)引解決此類抽象函數(shù)問題，根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性等性質(zhì)，畫出函數(shù)的一部分簡圖，使抽象問題變得直觀、形象，有利于問題的解決8解析因為定義在R上的奇函數(shù)，滿足f(x4)f(x)，所以f(4x)f(x)因此，函數(shù)圖象關(guān)于直線x2對稱且f(0)

8、0，由f(x4)f(x)知f(x8)f(x)，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)又因為f(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間2,0上也是增函數(shù)，如圖所示，那么方程f(x)m(m0)在區(qū)間8,8上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，不妨設(shè)x1x2x30且a1)在區(qū)間1,1上的最大值是14，求a的值解題導(dǎo)引1.指數(shù)函數(shù)yax(a0且a1)的圖象與性質(zhì)與a的取值有關(guān)，要特別注意區(qū)分a1與0a1時，ta1，a，ymaxa22a114，解得a3，滿足 a1；(2)當(dāng)0a1時，ta，a1，ymax(a1)22a1114，解得a，滿足0a0且a1)(1)判斷f(x)的奇偶性；(2)討論f(x)的單

9、調(diào)性；(3)當(dāng)x1,1時f(x)b恒成立，求b的取值范圍【答題模板】解(1)函數(shù)定義域為R，關(guān)于原點(diǎn)對稱又因為f(x)(axax)f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)3分(2)當(dāng)a1時，a210，yax為增函數(shù)，yax為減函數(shù)，從而yaxax為增函數(shù)，所以f(x)為增函數(shù)5分當(dāng)0a1時，a210，且a1時，f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增7分(3)由(2)知f(x)在R上是增函數(shù)，在區(qū)間1,1上為增函數(shù)，f(1)f(x)f(1)，f(x)minf(1)(a1a)1.10分要使f(x)b在1,1上恒成立，則只需b1，故b的取值范圍是(，112分【突破思維障礙】本例第(2)(3)問是難點(diǎn)，討論f(x)的單調(diào)性

10、對參數(shù)a如何分類，分類的標(biāo)準(zhǔn)和依據(jù)是思維障礙之一15已知函數(shù)y()|x1|.(1)作出函數(shù)的圖象(簡圖)；(2)由圖象指出其單調(diào)區(qū)間；(3)由圖象指出當(dāng)x取什么值時有最值，并求出最值解題導(dǎo)引在作函數(shù)圖象時，首先要研究函數(shù)與某一基本函數(shù)的關(guān)系，然后通過平移、對稱或伸縮來完成解(1)方法一由函數(shù)解析式可得y()|x1|其圖象由兩部分組成：一部分是：y()x(x0)y()x1(x1)；另一部分是：y3x(x0)y3x1(x1)如圖所示方法二由y()|x|可知函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，故先作出y()x的圖象，保留x0的部分，當(dāng)x0時，其圖象是將y()x(x0)圖象關(guān)于y軸對折，從而得出y()|

11、x|的圖象將y()|x|向左移動1個單位，即可得y()|x1|的圖象，如圖所示(2)由圖象知函數(shù)在(，1上是增函數(shù)，在1，)上是減函數(shù)(3)由圖象知當(dāng)x1時，有最大值1，無最小值162011衡陽模擬)已知定義域為R的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)(1)求a，b的值；(2)若對任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k的取值范圍解(1)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，f(0)0，即0，解得b1，(2分)從而有f(x).又由f(1)f(1)知，解得a2.經(jīng)檢驗a2適合題意，所求a、b的值分別為2、1.(4分)(2)由(1)知f(x).由上式易知f(x)在(，)上為減函數(shù)(6分)又因f(x)是奇函數(shù)，從而不等式f(t22t)2t2k.即對一切tR有3t22tk0.從而判別式412k0，解得k.(12分) 17(2010北京豐臺區(qū)期末)已知函數(shù)f(x)3x，f(a2)18，g(x)3ax4x的定義域為0,1(1)求a的值(2)若函數(shù)g(x)在區(qū)間0,1上是單調(diào)遞減函數(shù)，求實數(shù)的取值范