新課標(biāo)立體幾何大題匯編

1、2 0 152018 年高考立體幾何題匯編(一) 2018年高考立體幾何題1.(北京理16)如圖，在三棱柱 ABCAQCi中CG 平面 ABC D, E, F，G 分別為 AA，AC A1C1，BE 的中點(diǎn)，AB=BC75，AC=aa=2.(I)求證：ACL平面BEF(U)求二面角B-CDC的余弦值；(川)證明：直線FG與平面BCD相交.2.(浙江-19)如圖，已知多面體 ABCAiC, AA, BB, GC均垂直于平面 ABC / ABC120, AA=4, GC=1, AB=BC=BB=2.(I)證明：AB丄平面ABC ;(U)求直線AG與平面ABB所成的角的正弦值.3.(課標(biāo)III理-1

2、9 )如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧Cd所在平面垂直，m是Cd上異于c , d的點(diǎn).(1 )證明：平面 AMD丄平面BMC ；R(2)當(dāng)三棱錐M ABC體積最大時(shí),求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值.4.（課標(biāo)II理-20）如圖，在三棱錐 P ABC 中，AB BC 2 2 , PA PB PC AC 4O為AC的中點(diǎn).(1) 證明：PO平面ABC ;(2) 若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角M PA C為30，求PC與平面PAM所成角的 正弦值.5.（課標(biāo)I理-18 ）如圖，四邊形ABCD為正方形，E,F分別為AD,BC的中點(diǎn)，以DF為折痕把 DFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，

3、且PF(1) 證明：平面 PEF 平面ABFD ；(2) 求DP與平面ABFD所成角的正弦值.BF .D(二) 2017年高考立體幾何題1. （課標(biāo) III 理-19）如圖，四面體 ABCD，A ABC是正三角形， ACD是直角三角形，/ ABD/ CBD AB=BD(1) 證明：平面ACD_平面ABC(2) 過(guò)AC的平面交BD于點(diǎn)E,若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角 D- AE- C的余弦值.2. （課標(biāo)II理-19）的中點(diǎn).如圖，四棱錐直于底面abcdab(1)證明：直線CE/平面PAB45 ,求二面角 M AB D(2)點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面ABC所成

4、角為的余弦值.3.(課標(biāo)I理-18)如圖，在四棱錐P?ABCD中 ,ABBAP CDP 90o (1)證明:平面PABL平面 PAD(2)若 PA=PD=AB=DC APD余弦值90,求二面角A?PB?C的(三) 2016年高考立體幾何題1.(課標(biāo) III 理-19)如圖，四棱錐P ABC中,PA地面 ABCD , AD P BC , AB AD AC 3,PA BC 4 , M 為線段 AD上一點(diǎn),的中點(diǎn).(I )證明MN P平面PAB ;(II )求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.AM 2MD,2.(課標(biāo)II理-19)如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,AB 5 , AC 6

5、，點(diǎn) E, F5分別在AD, CD 上 , AE CF 4 , EF交BD于點(diǎn)H.將DEF沿EF折到 EF的位置OD 10.(I)證明：DH 平面ABCD;fi(II )求二面角B DA C的正弦值.ABC D E, F, G 分Ci3. （課標(biāo)I理-19）如圖，在以A, B, C, D, E, F為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD,AFD 90o，且二面角D AF E與二面角C BE F都是60.(I)證明：平面 ABEF平面EFDC(U)求二面角E BC A的余弦值.(四) 2015年高考立體幾何題1.(課標(biāo)II理-19)如圖，長(zhǎng)方體 ABCD A1B1C1D1 中，AB=

6、16 , BC=10, AA 8，點(diǎn) E , F 分別F的平面與此長(zhǎng)方體的面相交，交在 ABj , C1D1 上, AE D1F 4 過(guò)點(diǎn) E , 線圍成一個(gè)正方形.(I)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說(shuō)出畫法和理由)(U)求直線AF與平面 所成角的正弦值.2015-2018年高考立體幾何題匯編參考答案(一) 2018年高考立體幾何題1.(北京理16)如圖，在三棱柱 ABCA1B1G中，CC1平面別為 AA , AC A1C1, bb,的中點(diǎn)，AB=BC 5 , AC=AA1=2.(I)求證：ACL平面BEF(U)求二面角B-CDG的余弦值；（川）證明：直線FG與平面BCD!交.1.解析：（I）在

7、三棱柱 ABCABC中,CC丄平面ABC 四邊形 AACC為矩形.又E, F分別為AC A1C1的中點(diǎn)， ACLEF. AB=BC, ACL BE 二 ACL平面 BEF()由(I )知 ACL EF, ACL BE EF/ CC.又CC丄平面ABC二EFL平面ABC/ BE 平面 ABC 二 EFL BE如圖建立空間直角坐稱系由題意得B (0 , 2 , 0),(0, 2, 1).urnuir I CD=(2 ,0 ,1) ,CB=(1,2 ,0)設(shè)平面BCD勺法向量為nuui.nCD0.2ac0-uur ，nCB0a2b0令 a=2,貝9 b=-1 , c=-4 ,E-xyz.C (-1

8、, 0, 0), D( 1, 0,(a , b, c),平面BCD的法向量n (21), F (0, 0 , 2), Guir n EB2121又平面 CDC的法向量為 EB=(0 , 2,0) , cos n EButu =|n |EB|由圖可得二面角B-CtDC為鈍角，所以二面角 BCDC的余弦值為2121(川)平面 BCD的法向量為 n (2 , 1, 4), G( 0, 2, 1), F (0, 0, 2),uuuunurn十十亠 GF =(0 , 2,1) , n GF 2 , A n 與 GF 不垂直,GF與平面BC不平行且不在平面 BCD內(nèi)， GF與平面BCD!交.2.(浙江-1

9、9)如圖，已知多面體 ABC/BC, AiA, BB, CC均垂直于平面 ABC / ABC12O, AA=4, CC=1, AB=BGBB=2.(U)求直線AG與平面ABB所成的角的正弦值.2.解析：方法一:(I)由 AB2, AA4,BB12,AAAB,BB1AB 得 AB1ABAB12AA12.故 AB1A1B1 .BB12, CC11,BB1BG,GG1BC 得 bg5 ,2.2 ,由BCABC 120 得 AC 2 3 ,所以AB22 ,BC 2,由AB由CC1AC，得 AG13,所以 AB1 B1C1 AC1 ,故AB1因此AB1 平面A1B1C1.(U)如圖，過(guò)點(diǎn)G作CQ A.B

10、1 ,交直線A.B1于點(diǎn)D ,連結(jié)AD .B1C1 .(I)證明：AB丄平面ABC;由ABi 平面AB.G得平面AB.G 平面ABBi ,由 CiD AB 得 CiD 平面 ABBi ,所以 CiAD是ACi與平面ABBi所成的角由 BCi5, ABi 2 2 ACi ，2i 得cos GABGAB所以 CiD3，故 sin CiAD AC 詈.因此，直線ACi與平面ABBi所成的角的正弦值是 山9.I3方法二：(I)如圖，以AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以射線 OB OC為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系 Oxyz.由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：uuu l uuu uuur-因此 AB(i, 3,2)

11、, ABi(i, .3,2),ACi(0,2.3,3),r uuu uuuer uuu uuu e由 ABiAiBi0 得 ABiABi由ABiAiCi0 得ABiACi .A BG.所以ABi 平面(U)設(shè)直線ACi與平面ABBi所成的角為uuurj- urn 廠uuu由(I)可知 ACi (0,2 一 3,i),AB (i,.3,0), BBi (0,0,2),設(shè)平面ABBi的法向量n (x, y,z).uuu_由 n ABu 0,即 X3y 0,可取 n (3,1,0).n BB,0,2z 0,所以sinuuur_|cos AC，1 rS 13 -因此，直線AC,與平面ABB,所成的角的

12、正弦值是 仝9133.(課標(biāo)III理-19 )如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧Cd所在平面垂直，m是Cd上異于c， d的點(diǎn).(1 )證明：平面 AMD丄平面BMC ；(2)當(dāng)三棱錐M ABC體積最大時(shí)，求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值.3.解析：(1)由題設(shè)知，平面CM丄平面ABCD交線為CD因?yàn)锽CL CDBC平面ABCC所以BC丄平面CMC故BCL DM因?yàn)镸為Cd上異于C,D的點(diǎn)，且DC為直徑，所以DM丄CM又BC CMC所以DML平面BMC而DM平面AMD故平面AMD_平面BMC(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA的方向?yàn)閄軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D?xyz.

13、當(dāng)三棱錐MPABC體積最大時(shí)，M為Cd的中點(diǎn).由題設(shè)得 D(0,0,0), A(2,0,0), B(2,2,0), C(0,2,0), M (0,1,1),設(shè)n (x, y, z)是平面MAB的法向量，則nnuuuu AM uuu AB 0.0,即2爲(wèi)小可取n (1,0,2).uuu 口十十亠 E/uuuDA是平面MCD勺法向量，因此cos n, DAuuu n DA uuw- |n| |DA|疳,sinn,DA 容,所以面MA有面MCD所成二面角的正弦值是守.4.(課標(biāo)II理-20)如圖，在三棱錐 P ABC 中，AB BC 2 2 , PA PB PC AC 4 O為AC的中點(diǎn).(1)證明

14、：PO平面ABC ;C(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角MPA C為30，求PC與平面PAM所成角的正弦值.4.解：(1)因?yàn)?AP CP AC 4O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)P AC，且OP 23.連結(jié)OB.因?yàn)锳B BC子AC，所以 ABC為等腰直角三角形，1且 OB AC，OB -AC 2.2由 OP2 OB2 PB2知 PO OB . 由 OP OB,OP AC 知 PO 平面 ABC.(2)如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB的方向?yàn)閤軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系 O xyz._ uur-由已知得 0(0,0,0), B(2,0,0), A(0, 2,0),C(0,2,0), P(0,0,2、3),

15、AP (0,2,2 , 3),取平 面PAC的法向量COB (2,0,0).uuir設(shè) M (a,2a,0)(0 a 2)，貝U AM (a,4 a,0).設(shè)平面PAM的法向量為n (x, y,z).r uuuuuu2v2 3z 0 一 b由 APn 0,AMn 0得 20，可取n (, 3(a 4), . 3a, a)，ax (4 a) y 0所以 cos (Ob, nI_(a 4)由已知得 |cos(OB, n)| . 2j3(a 4)2 3a2 a272所以厶3|a 4|二止.解得a 4 (舍去)，a 4.2.3(a 4)2 3a2 a2238 3 4 34 uuuuuu3所以 n (,

16、 )又 PC (0,2, 2,3),所以 cos PC,n 3334所以PC與平面PAM所成角的正弦值為-.45.(課標(biāo)I理-18 )如圖，四邊形ABCD為正方形，E,F分別為AD,BC的中點(diǎn)，以DF為折痕把 DFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PFBF .(1) 證明：平面 PEF 平面 ABFD ；(2) 求DP與平面ABFD所成角的正弦值.5.解：(1)由已知可得，BF丄PF, BF丄EE所以BF丄平面PEF又BF 平面ABFD所以平面 PEFL平面ABFD(2)作PHL EE垂足為H由(1)得,PHL平面ABFD以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，HF的方向?yàn)閥軸正方向,位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

17、H?xyz.uuu , 、/|BF |為單由(1)可得，DEL PE 又 DP=2, DE=1,所以PE=石.又PF=1, EF=2，故PEI PF 可得PH貝y H(0,0,0), P(0,0,3 uuu,D( 1,嚴(yán)(1,|,-23),Hu2 2(0,0,為平面ABFD勺法向量.設(shè)DP與平面ABFD所成角為，則sinuuur uuuHP DP| -uuu tuun |HP|DP|所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為(二) 2017年高考立體幾何題1. (課標(biāo) III 理-19)如圖，四面體 ABCD中, ABC是正三角形， ACD是直角三角形，/ ABD平面AECe四面體/D- AE-

18、C的余弦值D/ CBD AB=BD(1) 證明：平面ACDL平面ABC(2) 過(guò)AC的平面交BD于點(diǎn)E,若分成體積相等的兩部分，求二面角 1.【解析】(1)由題設(shè)可得， ABDBA CBD，從而AD DC .又厶ACD是直角三角形，所以 ADC =90 .取AC勺中點(diǎn)Q 連接DQBQ則DOL ACDOAO又由于 ABC是正三角形，故BO AC.所以DOB為二面角D AC B的平面角在 RtAAOB 中，BO2 AO2 AB2.又 AB BD，所以 BO2 DOBO2 AOAB2 BD2，故 DOB 90.所以平面ACL平面ABC(2)由題設(shè)及(1)知，OA,OB,OD兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，

19、OA的方向 為x軸正方向，|OA為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O xyz.則A 1,0,0 ,B 0,、3,0 ,C 1,0,0 ,D 0,0,1 .由題設(shè)知，四面體ABCE勺體積為四面體ABCD勺體積的1，2從而E到平面ABC勺距離為D到平面ABC的距離的即E為DB的中點(diǎn)，得E 0,袈故ADuuur1,0,1 , ACuuu2,0,0 ,AE設(shè)n = x, y,z是平面DAE的法向量,uuu AD uuu AE0即0,x zTy0,1 可取 -z 0.2設(shè)m是平面AEC的法向量，則 mmuur AC uuu AE同理可取m0,0,T.所以二面角D AEC的余弦值為2. （課標(biāo)II理-

20、19 ）如圖，四棱錐P-ABC沖，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直亠 1于底面 ABCD AB BC -AD, BAD ABC E 是 PD 的 中占I 八、(1)證明：直線CE/平面PAB(2)點(diǎn)M在棱PC 上,且直線BM與底面ABCD所成角為45 ,求二面角M AB D的余弦值.2.解析：(1)取PA中點(diǎn)F，連結(jié)EF , BF .因?yàn)?E 為 PD 的中點(diǎn)，所以 EF PAD , EF - AD , 由 BAD ABC 90 得 BC/AD ,21又 BC AD2所以EF /BC .四邊形BCEF為平行四邊形，CE/BF .又BF 平面PAB , CE 平面PAB，故CE /平面PAB(2)由

21、已知得BA AD，以 A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的方向?yàn)閄軸正方向，竭 為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 則則 A 0,0, 0， B 1,0, 0， C 1,1, 0， uuu/- ILIVr rPC 1,0, . 3 ,AB 1,0,0 ，貝9uuiuv cosBM ,nsin45,J2，而 n 0,1即(x-1) 2+y2-z2=0，,、， uuuv又M在棱PC上，學(xué)I科網(wǎng)設(shè)PMuuu/PC,則因?yàn)锽M與底面ABCD所成的角為45 是底面ABCD的法向量，所以由，得xVy=1x=2舍去，y=1z磴z 2所以M，從而AM設(shè)m Xo,yo,Zo是平面ABM的法向量，則UJUV m AM uuv

22、 m AB2- 2 Xo 2yo. 6zo0Xo o所以可取m二(0, - . 6 , 2) 于是 cosm, n因此二面角M-AB-D的余弦值為罟3. (課標(biāo)I理-18)如圖，在四棱錐P?ABC中，AB BAP CDP 9oo (1)證明: 平面PABL平面PAD；(2)若 PA=P=AB=DC APD 90，求二面角 A?PB?C 的余弦值3.【解析】(1)由已知 BAP CDP 90，得ABLAPCDL PDA由于AB又 AB 平面PAB所以平面PABL平面PAD(2)在平面 PAD內(nèi)作PF AD，垂足為F，由(1)可知，AB 平面PAD，故AB PF，可得PF 平面ABCD.uuruu

23、u以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)A的方向?yàn)閤軸正方向，|AB|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系F xyz.所以由(1)及已知可得uurPCuuuCBurn( .2,0,0) , PAuuuAB (0,1,0).設(shè)n (x,y,z)是平面PCB的法向量，則uuu n PCuuu n CB,即勺y Z ,可取n, 2x 0,(0, 1, .2).設(shè)m (x, y,z)是平面PAB的法向量，則urnm PAuuum AB0,即0,2x20,可取m(1,0,1).y 0.則gm購(gòu)，所以二面角A PB C的余弦值為(三)2016年高考立體幾何題1.(課標(biāo) III 理-19)如圖，四棱錐 P ABC中，PA 地

24、面ABCD，PA BC 4，M 為線段 AD 上一點(diǎn)，AM 2MD， 的中點(diǎn).(I )證明MN/平面PAB ;AD P BC， AB AD AC 3， N為PC(II )求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.1.解析：（I）由已知得AM 2 AD 2 .31取BP的中點(diǎn)T，連接 AT,TN，由N為PC中點(diǎn)知TN / BC , TN - BC 2.2又AD/BC ,故TN AM ,TN/AM ,四邊形 AMNT為平行四邊形，于是 MN/AT.因?yàn)锳T 平面PAB， MN 平面PAB，所以 MN/平面PAB.（U）取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)AE由AB BC得AE BC ,從而AE AD，且AE二 J新

25、_BE、二和；一二運(yùn)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AE的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ) xyz .由題意知，a 卩（0=卜），時(shí)02叭 Q（石20），N（逅42），1uuuuPM 0,2, 4，uuir PNUULT，AN設(shè)n x,y,z為平面PMN的一個(gè)法向量，LULUn PM0,即uuir即n PN 0,2y 4z 0,75x y22z 0,可取n工曰1uur于疋 cos n, ANi uur n AN8亦m|an25 .2.（課標(biāo)II理-19）如圖，菱形1 ABCD的對(duì)角線AC與u5AB 5 , AC 6，點(diǎn) E,F 分別在 AD , CD 上，AE CF - , EF 交 BD 于點(diǎn)

26、 H.將 ADEF 沿EF折到A D EF的位置OD 10 .(I)證明：DH 平面ABCD;(II )求二面角B DAC的正弦值.2.【解析】證明：AECF.AE ADCFCD , EF II AC .T四邊形ABCD為菱形，二ACBD ,BD ,-EFDH ,-EF D H .T AC6 ,- AO3 ； 又 AB 5 ,AO OB OB4 ,- OHAE cOD 1 ,AO二 DHDH3 ,2 2二 od|oh|DH ,又 T OH I EF H ,二 DH 面 ABCD .建立如圖坐標(biāo)系Hxyz .B5 ,0 , 0 ,UUUuuurUUUAB 4 , 3 , 0 ,AD1,3 ,3,

27、AC設(shè)面ABD法向量n1x ,y,zUU UUUx由n1 AB 0得 由 in uuuu得4x3y0,取yn1 AD 0x3y3z0z3.ir4 , n 3 ,4 , 5 .5C 1 , 3, 0 , D 0, 0 ,3 , A 1 ,3 , 0 ,0 , 6, 0 ,ULI同理可得面 ADC的法向量n2 3 , 0, 1ur uin1 n9 57、5cosir uq5 21025 ,2亟sin253.（課標(biāo)I理-19 ）如圖，在以A, B, C, D, E, F為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD,AFD 90，且二面角D AF E與二面角C BE F都是60。.(I)證明：平

28、面 ABEF平面EFDC(U)求二面角E BC A的余弦值.3.【解析】試題分析：(I)證明AF 平面FDC，結(jié)合AF 平面ABEF，可得 平面ABEF 平面EFDC . (D )建立空間坐標(biāo)系，利用向量求解.試題解析：(I)由已知可得 AF DF , AF FE，所以AF 平面EFDC .又AF 平面ABEF，故平面 ABEF 平面EFDC .(U)過(guò)D作DG EF，垂足為G，由(I)知 DG 平面ABEF .以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，GF的方向?yàn)閤軸正方向，胖 為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系G xyz .由(I)知DFE為二面角D AF E的平面角，故 DFE 60o，則| DF 2 ,DG| 3，可得 A 1,4,0 , B 3,4,0 , E 3,0,0 , D 0