專題08極坐標(biāo)與參數(shù)方程(解析版)

1、8極坐標(biāo)與參數(shù)方程1.如圖，在極坐標(biāo)系 Ox中,A(2,0), b(72,), c(Q,), D(2,)，弧 Ab , ?c，Cd 所在圓的44圓心分別是（1,0） , （1,_）,2（1,），曲線Mi是弧Ab，曲線M2是弧Be，曲線M3是弧Cd .(1 )分別寫出M1 , M2 ,M3的極坐標(biāo)方程;(2)曲線 M 由 M1 , M2 ,M3構(gòu)成，若點(diǎn)P在M上，且|OP| 73，求P的極坐標(biāo).【解析】（1）由題設(shè)可得，弧ABBCCd所在圓的極坐標(biāo)方程分別為2cos2si n2cos所以M1的極坐標(biāo)方程為2cosM2的極坐標(biāo)方程為2si n434M 3的極坐標(biāo)方程為2cos4(2)設(shè)P(,由題設(shè)

2、及（1）知2cos則2cos2sin2cos綜上，P的極坐標(biāo)為34，則 2sin2n；，則 2cos罷，解得或73,-或3x2.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為1 t21 t24t1 t2(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn) 0為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線I的極坐標(biāo)方程為2cos73sin 110 (1 )求C和I的直角坐標(biāo)方程;(2)求C上的點(diǎn)到I距離的最小值.【解析】(1)因?yàn)?11 t2rr1，且x21，所以C的直角坐標(biāo)方程為 t2 2x2匸 1(x1).4I的直角坐標(biāo)方程為2x110.(2)由(1)可設(shè)C的參數(shù)方程為x cosy 2si n為參數(shù),7tn).C上的點(diǎn)到I的距

3、離為|2cos2密v74cos11V72nz.2時(shí)，4cosn丄 11取得最小值7,3故C上的點(diǎn)到I距離的最小值為J7.3.【西安交大附中2019-2020學(xué)年高2020屆高三上四診理科數(shù)學(xué)】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為X 2 cos(為參數(shù))，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸y 2 2sin ,為極軸建立極坐標(biāo)系.(I)直接寫出圓C的普通方程;(II)直線I的極坐標(biāo)方程為2 sin(hM，射線OM:-0與圓C的交點(diǎn)為O，P兩點(diǎn)，與直線I的交點(diǎn)為Q，求線段PQ的長(zhǎng).【解析】：(I) x2 (y 2)2 4 ；(II )圓C的極坐標(biāo)方程為4sin1 4sin26設(shè) p( 1,),Q( 2

4、,)，則，解得 1 2,2 5，解得 |P Q| | 12662 2 sin(百-)5品1 3.4. 【陜西師大附中2019-2020學(xué)年度第一學(xué)年高2020屆期中考試高三年級(jí)（理科）試題在直角坐標(biāo)系xOy中，直線I的參數(shù)方程為tcos ,1 tsi n（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C的極坐標(biāo)方程為2 cos3 0.（I）寫出直線I的直角坐標(biāo)方程;（n）設(shè)點(diǎn)M的極坐標(biāo)為1,-，若點(diǎn)M是曲線C截直線2I所得線段的中點(diǎn)，求I的斜率.n【解析】：（I）當(dāng)-時(shí)，直線I的直角坐標(biāo)方程為x 0 ； （1分）直線I的直角坐標(biāo)方程為 y xtan 1 .（2 分）的直角

5、坐標(biāo)為（0,1），曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2y 2x0 , (6 分)t cos ,1 tsin代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，化簡(jiǎn)得t2 2（sincos )t0，由匕 t20 ,得 tan 1 ,所以直線I的斜率為1.(10 分)5. 【2019-2020學(xué)年秋季鄂東南省級(jí)示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校高三年級(jí)上學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)】在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn) 0為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為2 1 8sin29，直線I的參數(shù)方程為x 1 4ty 1 t（t為參數(shù)）.（1 ）求C與I的交點(diǎn)的直角坐標(biāo);（2）求C上的點(diǎn)到直線I的距離的最大值.【答案】(1)(3,

6、0)和掘；(2)8佑17【解析】(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2 + 9y2= 9,直線I的直角坐標(biāo)方程為x + 4y = 3,2由xx 4y 39y29得 25y2_24y = 0,于是21252425即C與I的交點(diǎn)直角坐標(biāo)為（3, 0）和21252425(2)設(shè)曲線 C 上一點(diǎn) P( 3cos 0, sin ),則P到直線I的距離d l3cos一4sn一3 -L故C上的點(diǎn)到直線I的距離的最大值為 8住.178717176、在平面直角坐標(biāo)系中，直線I的參數(shù)方程為(其中t為參數(shù))，現(xiàn)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為4cos(1 )寫出直線l普通方程和曲線

7、 C的直角坐標(biāo)方程;(2)過(guò)點(diǎn)M(1,0)且與直線I平行的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，求|AB|.x【解析】(1)由消去參數(shù)t，得直線I的普通方程為 迄2又由 4COS得22cos ，則C的直角坐標(biāo)方程為 x4x 0 .分將其代入x2y2 4x 0 得 t272t 3 0, 則t1t2所以 |AB| |t1t2|J(t1t2)24址2皿.-10 分7、在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，O O的參數(shù)方程為cossin為參數(shù))，過(guò)點(diǎn)0, J2且傾斜角為的直線I與O O交于A , B兩點(diǎn).求的取值范圍;求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程.x cos【解析】(1) eO的參數(shù)方程為， eO的普通方程為y sinx2y

8、21，當(dāng) 90時(shí)，直線：I : X 0與e O有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)90時(shí)，設(shè)直線I的方程為y xtan72，由直線I與eO有兩個(gè)交點(diǎn)有|0_ 0 血1 1,得 tan2tan21，二 tan 1 或 tan1，二 4590 或 90135，綜上(45 ,135 ).(2)點(diǎn)P坐標(biāo)為(X, y),當(dāng)90時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,0),當(dāng) 90時(shí),設(shè)直線l的方程為y kx ,2 XA(X1,y1),B(X2,y2)，二y2 1kx 42.(kx整理得2 2(1 k2)x22kx 10,二X1X2272kVk-，y1y22421k272k1 k2血1 k2X一代入得yx20.當(dāng)點(diǎn)P(0,0)時(shí)滿足方程X2AB中

9、點(diǎn)的P的軌跡方程是x2x2(y由圖可知,，B(將y 0 ,故點(diǎn)P的參數(shù)方程X cos2y sin2 2(為參數(shù)，08、在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，曲線C的參數(shù)方程為2/3 cos，其中為參數(shù),(0,).在以坐2si n標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(4 J2, )，直線的極坐標(biāo)方程為4sin( 一)5 近0.4(1 )求直線的直角坐標(biāo)方程與曲線C的普通方程;(2)若Q是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，M為線段PQ的中點(diǎn).求點(diǎn)M到直線的距離的最大值【解析】(1)v直線的極坐標(biāo)方程為由 X cos , ysin( )5運(yùn)4sin，可得直線的直角坐標(biāo)方程為0，即 sinx y 100.

10、cos 10 0.將曲線C的參數(shù)方程X 2爲(wèi)cos消去參數(shù)，得曲線C的普通方程為x2y 2sin122yT 1(y 0).4(2)設(shè) Q(23cos,2sin ) (0).點(diǎn)P的極坐標(biāo)（4 J2, _）化為直角坐標(biāo)為（4, 4）.4則 M (屁OS2,sin2).點(diǎn)M到直線的距離d/3cossin 102sin( 3) 107562 .當(dāng) sin() 1，即35時(shí)，等號(hào)成立.6點(diǎn)M到直線的距離的最大值為.9、在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線I的參數(shù)方程為4.2（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為2t2若I的參數(shù)方程中的t近時(shí)，得到M點(diǎn),的極坐標(biāo)和曲線C直角

11、坐標(biāo)方程;若點(diǎn)P（0,2），l和曲線C交于A, B兩點(diǎn)，求1PA1PB【解析】(2 )由（1）M（72,4 ），曲線C的直角坐標(biāo)方程：（Tt）2 （2 Tt）2 16得 t1 2 Mt 12 0，X2t1 t2y216272,t1 t2121 PA | PB | |t1 t2 |10X 2 t10、在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，直線I :y 2 t（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系，曲線 C :2sin（1）求直線I的極坐標(biāo)方程及曲線 C的直角坐標(biāo)方程;（2）記射線0,0 與直線I和曲線C的交點(diǎn)分別為點(diǎn) M和點(diǎn)N （異于點(diǎn)O），求2ONOM的最大值.【解析】（1）由題

12、意得直線l的普通方程為：X y 4 ,所以其極坐標(biāo)方程為:sin cos由 2sin 得：2 2 sin ，所以 x2y2 2y ,所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為：X2 y2 2y 0.(2)由題意ON2sin , |om Isin cos所以JONIpM I由于0所以當(dāng)2時(shí)，1-取得最大值：V8|OM I4sin2 sin cos. 小Sin 244411、在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線I的極坐標(biāo)方程為e cos sin0 , C的極坐標(biāo)方程為4sin( 6).(I)求直線I和C的普通方程;(II)直線I與C有兩個(gè)公共點(diǎn)A、1 分B，定點(diǎn) P(2,

13、 73)，求 |PA| |PB|的值.【解析】(I)直線I的普通方程為:因?yàn)閳AC的極坐標(biāo)方程為4sin(?)，所以 24 (fsin1 -COS23分4 分(II)直線I :巧Xy 730的參數(shù)方程為:X 2-t2廠(t為參數(shù))，-y梟也25分代入圓C2的普通方程X2 y2 2X 273y 0消去x、y整理得:t2 9t 170 ,6分則 |P A| |ti | , |P B| |t2|,7 分|P A| | PB| |t1| |t2| |t1 t2| J(t2 t1)28分J(t2t1)24tit2所以圓C的普通方程4 17 s/T3.10分x12、在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為2_

14、 （其中t為參數(shù)）4邑2軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為4COS .，現(xiàn)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x（1）寫出直線i普通方程和曲線 C的直角坐標(biāo)方程;（2）過(guò)點(diǎn)M（1,0）且與直線I平行的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，求|AB|.【解析】（1）.圓C的極坐標(biāo)方程為4cos(勺，4 cos(務(wù)）4 (呂2丄cos ),2又2 2 2x y ,x y2 2 廳y圓C的普通方程為(2)設(shè) z 73x故圓C的方程x2圓C的圓心是（xy，2 x2x,cossiny2 2xy2 2x 273y 01, J3），半徑是2 ,x 1t將2代入y 73 t2z V3x y 得 z又直線I過(guò)C（ 1,J3），圓C的半徑是2 t 2 ,2 t 2，即x13 .已知曲線G的參數(shù)方程是y坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程是(X 1)2 (y 73)2 4,J3x y的取值范圍是2,2.10分2cos（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),3si nx軸的正半軸為極軸建立極2 .正方形ABCD的頂點(diǎn)都在C2上，且A、B、C、D依逆時(shí)針次序排列，點(diǎn) A的極坐標(biāo)為（2,）.32 2|PC | |PD|的取值范圍.牛）（I）求點(diǎn)A、B、C、D的直角坐標(biāo);（n）設(shè) P 為