現(xiàn)代控制理論課后習(xí)題答案

1、前言本書是為了與張嗣瀛院士等編寫的教材現(xiàn)代控制理論相配套而編寫的習(xí)題解答。本書對該教材中的習(xí)題給予了詳細(xì)解答，可幫助同學(xué)學(xué)習(xí)和理解教材的內(nèi)容。由于習(xí)題數(shù)量較多， 難易程度不同， 雖然主要對象是研究型大學(xué)自動化專業(yè)本科學(xué)生，但同時也可以作使用其它教材的?？?、本科、以及研究生的學(xué)習(xí)參考書。書中第 5、6、8 章習(xí)題由高立群教授組織編選和解答；第4、 7 章由井元偉教授組織編選和解答，第1、 2 章由鄭艷副教授組織編選和解答。由于時間比較倉促， 可能存在錯誤， 請讀者批評、 指正。 另外有些題目解法和答案并不唯一，這里一般只給出一種解法和答案。編者2005年 5 月第 2 章 “控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描

2、述”習(xí)題解答2.1 有電路如圖 P2.1 所示，設(shè)輸入為 u1 ，輸出為 u2 ，試自選狀態(tài)變量并列寫出其狀態(tài)空間表達(dá)式。R1u1u C1R 2u2uC2圖 P2.1解 此題可采樣機(jī)理分析法，首先根據(jù)電路定律列寫微分方程，再選擇狀態(tài)變量，求得相應(yīng)的系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式。 也可以先由電路圖求得系統(tǒng)傳遞函數(shù)， 再由傳遞函數(shù)求得系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式。這里采樣機(jī)理分析法。設(shè) C1 兩端電壓為 uc1 ， C 2 兩端的電壓為 uc 2 ，則uc1C 2duc2R2uc2u1(1)dtC1duc1uc1C2duc 2(2)dtR1dt選擇狀態(tài)變量為x1uc1 ， x2uc2 ，由式 (1) 和 (2)得：d

3、u c1R1R2C1 uc11uc21u1dtR1 R2 C1R2 C1R2C1duc 211uc21dtuc1u1R2C2R2C2R2C 2狀態(tài)空間表達(dá)式為：x1R1R2C1 x11x21u1R1 R2 C1R2C1R2C1x21x111R2C2x2u1R2C2R2 C2yu2u1x1R1R2 C111x1R1 R2C1R2C1x1R2C1即:11x2u1x21R2C2R2C2R2C2y1x1u10x22.2 建立圖 P22 所示系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。KM 1B2B1M 2f (t )圖 P2.2解 這是一個物理系統(tǒng)，采用機(jī)理分析法求狀態(tài)空間表達(dá)式會更為方便。令f (t ) 為輸入量，即 u

4、f ， M 1 ， M 2 的位移量 y1 ， y2 為輸出量，選擇狀態(tài)變量 x1y1 ， x2 =y2 ， x3= dy1 ， x4dy2 。dtdt根據(jù)牛頓定律對M 1 有：M 1x3Kx1B1d (x2 x1 )dt對 M 2 有：M 2 x4f (t)B1d (x2x1 )B2dx2dtdt經(jīng)整理得：x1x3x2x4狀態(tài)方程為：x3Kx1B1 x3B1x4M 1M 1M 1x4B1 x3( B1B2 )x41uM 2M 2M 2M 2y1x1輸出方程為：y2x2寫成矩陣形式為：00100x10001x10x2KB1B1x200 ux3M 1M 1M 1x31x4B1( B1B2 )x4

5、00M 2M 2M 2M 2x1y11000x2y20100x3x42.5 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖P2.5 所示。以圖中所標(biāo)記的x1 、 x2 、 x3 作為狀態(tài)變量，推導(dǎo)其狀態(tài)空間表達(dá)式。其中，u 、 y 分別為系統(tǒng)的輸入、輸出，1 、2 、3 均為標(biāo)量。du321+y1/s1/s1/sx3+x2x2+x1x1+x3a3a2a1圖 P2.5 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解 圖 P2.5 給出了由積分器、放大器及加法器所描述的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，且圖中每個積分器的輸出即為狀態(tài)變量， 這種圖形稱為系統(tǒng)狀態(tài)變量圖。 狀態(tài)變量圖即描述了系統(tǒng)狀態(tài)變量之間的關(guān)系，又說明了狀態(tài)變量的物理意義。 由狀態(tài)變量圖可直接求得系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。

6、著眼于求和點(diǎn)、，則有： x11 x1x2： x22 x2x3： x33 x3u輸出 y 為 y x1 du ，得x1a110x10x20a21x20 ux300a3x31x1y10 0 x2dux32.7 試求圖 P2.8 中所示的電網(wǎng)絡(luò)中，以電感L1 、 L2上的支電流x1 、 x2 作為狀態(tài)變量的狀態(tài)空間表達(dá)式。這里u 是恒流源的電流值，輸出y 是 R3 上的支路電壓。x1x2L1L2uR1R3yR2圖 P2.8 RL 電網(wǎng)絡(luò)解 采用機(jī)理分析法求狀態(tài)空間表達(dá)式。由電路原理可得到如下微分方程x1x2 R3R2 x2 L2 x2u x1L1 x1x1 x2 R3 / R1y x1x2 R3整理

7、得狀態(tài)空間表達(dá)式為R1R3R3R1x1L1L1x1L1ux2R3R2R3x20L2L2y R3R3x1x22.8 已知系統(tǒng)的微分方程(1)yy 4y5 y3u ；(2)2 y3yuu ；(3)y2 y3y5y 5u 7u 。試列寫出它們的狀態(tài)空間表達(dá)式。(1) 解 選擇狀態(tài)變量yx1 ， yx2 ， yx3 ，則有：x1x2x2x3x35x14x2x33uyx1狀態(tài)空間表達(dá)式為：x1010x10x2001x20ux3541x33x1y 10 0x2x3(2) 解采用拉氏變換法求取狀態(tài)空間表達(dá)式。對微分方程(2)在零初試條件下取拉氏變換得：2s3Y( s)3sY(s)s2U (s) U ( s)

8、Y (s)s211s2122U (s)2s33ss33s2由公式 (2.14)、 (2.15) 可直接求得系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為x1010x10x2001x20ux3030x31211x1y0x222x3(3) 解 采用拉氏變換法求取狀態(tài)空間表達(dá)式。 對微分方程 (3)在零初試條件下取拉氏變換得：s3Y( s) 2s2Y (s) 3sY( s)5Y( s)5s3U (s) 7U ( s)Y (s)5s37U ( s) s32s23s5在用傳遞函數(shù)求系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式時，一定要注意傳遞函數(shù)是否為嚴(yán)格真有理分式，即 m 是否小于 n ，若 m n 需作如下處理Y( s)5s37510s215s 1

9、8U (s) s32s23s 5s32s23s 5再由公式 (2.14) 、 (2.15) 可直接求得系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為x1010x10x2001x20ux3532x31x1y 1 0 0 x25ux32.9 已知下列傳遞函數(shù)，試用直接分解法建立其狀態(tài)空間表達(dá)式，并畫出狀態(tài)變量圖。(1) g( s)s3s 1(2) g (s)s22s36s211s 62s23s 1s3s3(1) 解首先將傳函 (1)化為嚴(yán)格真有理式即：g(s)Y(s)6s210s51s36s211s1 g ( s)U (s)6令 g (s)Y (s) ，則有U (s)Y (s)U (s)6s 110s 25s 36s 11

10、1s 26s 31E (s)U (s)16s 111s 26s 31即：，E ( s)U (s)6s 1 E(s)11s 2 E (s)6s 3 E( s)Y (s)6s 1 E(s)10s 2 E(s)5s 3 E( s)由上式可得狀態(tài)變量圖如下：uex3x2x+ +y1+ +-6- 11-6由狀態(tài)變量圖或公式(2.14)、 (2.15)直接求得能控標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式x1010x10x2001x20ux36116x31x1y= -6 -11 -6 x2ux3(2) 解 由已知得：Y( s)s 12s 23s3U (s)2s 13s 2，1s 3令：E( s)U (s)1，2s 13s 21

11、s 3得：E( s)U (s)2s 1 E(s)3s 2 E(s) s 3E( s)Y (s)s 1E( s)2s 2E(s)3s 3 E( s)狀態(tài)變量圖如下：ex3x2x12u+ + y+3+ +-2-3-1狀態(tài)表達(dá)式如下：x1010x10x2001x20ux3132x31x1y32 1x2x32.13 列寫圖 P2.10 所示系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。u1c-s ay1u2-解 設(shè)dsb圖 P2.10y2x1( s)y1( s)x2 (s)y2 (s)則由系統(tǒng)方框圖P2.10 可得x1 ( s)u1( s) x2 ( s)casx2 ( s)u2(s) x1(s)dbs對式 710 進(jìn)行拉氏

12、反變換得(7)(8)(9)(10)x1 (t )ax1 (t )cx2 (t )cu1 (t)x2(t )dx1(t)bx2 (t)du2 (t)y1(t )x1 (t )y2 (t)x2 (t )則系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為x1acx1c0u1x2dbx20du2y110x1y201x22.14 試將下列狀態(tài)方程化為對角標(biāo)準(zhǔn)形。(1)x101x10ux256x21x1010x123(2)x2302x21u15x31276x37u21(1) 解 求特征值I A16)5( 5)( 1) 0(56解得11,25 求特征向量a 、對于有解得b 、對于有解得121 ：1 I A v111v11055v120

13、v1v111v1215 ：2 I A v251v21051v220v2v211v225 構(gòu)造 P ，求 P 1Pv1 v2111551P1441144 求 A ， B 。AP 1 AP100,55101BP1B4441111444101則得對角標(biāo)準(zhǔn)型xx4u0514(2) 解 求特征值：10I A32(1)(2)(3) 0127611,22,33 求特征向量a 、對于11有：110v110v111312v120v1211275v130v131b 、對于22 有：210v110v112322v120v1241274v130v131c 、對于 23有：310v110v111332v120v1231

14、273v130v133 構(gòu)造 P ，求 P 1。12195122P 1P143 ,32111353122 求 A ， B 。100AP 1 AP020 ,00395372721232B P 1B23 2 1 1 515 20537127162122則得對角標(biāo)準(zhǔn)型10037272x020x1520 u003271622.15 試將下列狀態(tài)方程化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。x1412x131x2102x22u17x3113x35u23解 求特征值：412I A12(1)(3)2011311,233 求特征向量a 、對于1 有(i IA)vi0312v110v110即112v120v122112v130v131b

15、 、對于3有(i IA)vi0112v210v211即132v220v221110v230v231(i IA)vivi112v211v211即132v221v220110v231v230 構(gòu)造 P ，求 P 1 。011011P210,P 1012110112 求 A ， B 。100A P 1 AP 031,0030113134B P 1B 01 2 27811125352則得約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型10034x031x81 u003522.16 已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為51x2x1u35y 12 x4u求其對應(yīng)的傳遞函數(shù)。解512， C12 ， d 4A， B531g (s)C( sIA) 1 Bds

16、Is51A3s1( sIA) 11s111)33s5(s5)(sg( s) C ( sI A) 1 B d11s112( s2)(s4)23s5454s236s91s26s82.19 設(shè)離散系統(tǒng)的差分方程為y(k 2) 5y(k1)3y(k )u(k1)2u k求系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。解 對差分方程取Z 變換，得：Z2 y(z)5Zy( z)3 y( z)Zu(z)2u(z)g( z)y( z)z2u( z)z25z3離散系統(tǒng)狀態(tài)方程式為x1 (k1)01x1(k)0x2 (k 1)35 x2 ( k)u( k)1y 21x1(k)x2 ( k)第 3 章“狀態(tài)方程的解 ”習(xí)題解答3.1 計算

17、下列矩陣的矩陣指數(shù)eAt。200200(1) A020; (2) A031002003（ 1）解（ 2）解（ 3）解00;(4)01(3) A0A014e 2t00eAt0e 2t000e 2te 2t00eAt0e 3tte 3t00e 3tsIAs01s1011s0ssIAs21s11s2seAtL 1sIA11 t0t1 t（4）解：sIAs14ssI11s1As24 4ss12s242s2422s24s24ss12eAtL1s242 s242s2s24s24cos2t1 sin 2t22sin 2tcos2t3.2 已知系統(tǒng)狀態(tài)方程和初始條件為1001x010x,x 000121(1)

18、 試用拉氏變換法求其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；(2) 試用化對角標(biāo)準(zhǔn)形法求其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；(3) 試用化 eAt 為有限項法求其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；(4) 根據(jù)所給初始條件，求齊次狀態(tài)方程的解。100O（1）解A 01A10，01OA22其中，A11,A21012則有AteA1t0e0eA2teA1 tet ，eA2tL 11而sI A2s11sI10A21s21s20(s1)(s2)1s 110s1111s2s1s 2eA2tL 1sI A21e2tet0ete2t所以狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為et00eAtL 1sI A1et000e2tete2t（2）解I A210(1)( 2) 01211,22對于11，00P10

19、P111101對于22 ，100P201P2010P10P 1101111A2tet01eP0e2tP10et010110e2t11et0e2 tete2tet00ePt0et00e2tete2t（3）解 矩陣的特征值為 1,2 1, 32對于對于31,22 有：e2t0 (t )2 1(t)4 2 (t )1有：et0 (t)1 (t)2 (t )因為是二重特征值，故需補(bǔ)充方程tet1(t )2 2 (t )從而聯(lián)立求解，得：0 (t)e2t2tet1(t)3tet2e2 t2et2 (t)e2tetteteAt0 (t) I1 (t) A2 (t) A2e2t2tet001000e2t2t

20、et03tet2e2 t2et01000e2t2tet012100100e2tettet0 1 0 010012012et000et00e2tet e2t（4）解：x(t)eA( t t0 ) x(t 0 )eAt x(0)et001et0et0000e2 tete2 t1e2t3.3 矩陣 A 是 2 2 的常數(shù)矩陣，關(guān)于系統(tǒng)的狀態(tài)方程式xAx ，有1時，e 2tx(0)x2 t1e2時，2e tx(0)x1e t試確定這個系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t,0) 和矩陣 A 。解：因為系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)是x t(t,0) x(0)所以e 2t(t,0)12ee 2t1，ett2(t , 0 )1將它們綜

21、合起來，得e 2 t2e t(t,0)12e 2 te t11e 2t2e t11(t ,0)2e 2 te t11e 2t2e t12e 2 te t112eet2tee2tt2e2et2t2e e2tt而狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)可知，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t, t0 ) 滿足微分方程dA t ,t0t ,t0dt和初始條件t0 ,t 0I因此代入初始時間t00 可得矩陣A 為：Ad(t ,t0 )1 (t, t0 )dttt0 02e t2e 2t2e t4e 2t2e 2 te t4e 2te tt 002133.9 已知系統(tǒng) xAx 的轉(zhuǎn)移矩陣(t,t 0 ) 是(t ,t0 )2e te 2t2(

22、e2te t )e te 2 t2e2te t時，試確定矩陣A 。解 因為(t, t0 ) 是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，Ad所以有(t, t0 )(t, t0 )dt將 t00 ， (t 0 , t0 )I 代入得：02A133.10 已知系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為01x1x4u31y 1 1 x(1) 求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)；(2) 求系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。（1）解01， B1A4, C 1 131IA14) 3 ( 3)( 1) 0(341211, 2311P10P111時，301331P20P213 時，1033P11133131P11222111122et01 1 1et031At22eP3t P1303t11

23、0ee223 et1 e3t1 et1 e3t22223 et3 e3t1 et3 e3t2222將 u(t) 1(t) 代入求解公式得：3 et1 e3t1 et1 e3 tx1(0)x(t )22223t33t1t33 tx2(0)e2e22e2e1+2t3ete3( t)ete3(t)03et3e3(t)et3e3( t)1d13ete3tx (0)ete3tx (0)et121223et3e3tx1 (0)et3e3 tx2 (0)et122若取 x(0)0 ，則有x(t)et1et1y 1 1 x(t ) 1 1et12et2et1（2）解由（ 1）知3 et1 e3t1 et1 e3tAt2222e3 et3 e3t1 et3