角平分線的性質(zhì)

1、12.3 12.3 角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì) 第一課時第一課時 宜豐縣棠浦中學(xué) 劉尊 不利用工具，請你將一張用紙不利用工具，請你將一張用紙 片做的角分成兩個相等的角。你有什片做的角分成兩個相等的角。你有什 么辦法？么辦法？ A O B C 活活 動動1 （對折）（對折） 1、如圖，是一個平分角的儀、如圖，是一個平分角的儀 器，其中器，其中AB=AD,BC=DC。 將點(diǎn)將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)放在角的頂點(diǎn),AB和和AD 沿著角的兩邊放下沿著角的兩邊放下,沿沿AC畫一畫一 條射線條射線AE,AE就是角平分線，就是角平分線， 你能說明它的道理嗎你能說明它的道理嗎? 活活 動動2 A D B C E 如

2、果前面活動中的紙片換成木板、如果前面活動中的紙片換成木板、 鋼板等沒法折的角，又該怎么辦呢？鋼板等沒法折的角，又該怎么辦呢？ p2、證明： 在ACD和和ACB中中 AD=AB DC=BC CA=CA ACD ACB（SSS） CAD=CAB AC平分平分DAB A DB C E 根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣 作一個角的平分線？（不用角平分作一個角的平分線？（不用角平分 儀或量角器）儀或量角器） O A B C E 活活 動動3 N O M C E N M 分別以，為分別以，為 圓心大于圓心大于 的長為的長為 半徑作弧兩弧在半徑作弧兩弧在AOB 的內(nèi)部交于的內(nèi)部交于 2

3、1 作法：作法： 以為圓心，適當(dāng)以為圓心，適當(dāng) 長為半徑作弧，交于，長為半徑作弧，交于， 交于交于 作射線作射線OC 則則射線即為所求射線即為所求 1 1平分平角平分平角AOBAOB 2 2通過上面的步驟，得到射線通過上面的步驟，得到射線OCOC以后，以后， 把它反向延長得到直線把它反向延長得到直線CDCD，直線，直線CDCD與直線與直線 ABAB是什么關(guān)系？是什么關(guān)系？ 3 3結(jié)論：結(jié)論：作平角的平分線即可平分平角，作平角的平分線即可平分平角， 由此也得到由此也得到過直線上一點(diǎn)作這條直線的垂過直線上一點(diǎn)作這條直線的垂 線的方法。線的方法。 活活 動動4 AB O C D 探究角平分線的性質(zhì)

4、(1)實(shí)踐實(shí)踐：將：將AOB對折，再折出一個直角對折，再折出一個直角 三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開，觀三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開，觀 察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？ 活活 動動5 (2)(2)猜想猜想: :角的平分線上的點(diǎn)到角的角的平分線上的點(diǎn)到角的 兩邊的距離相等兩邊的距離相等. . 證明：證明：OC平分平分 AOB 1= 2 PD OA，PE OB PDO= PEO 在在PDO和和PEO中中 PDO= PEO 1= 2 OP=OP PDO PEO（AAS） PD=PE P P A A OO B B C C E

5、E DD 12 已知：如圖，已知：如圖，OCOC平分平分AOBAOB，點(diǎn)，點(diǎn)P P在在OCOC 上，上，PDPDOAOA于點(diǎn)于點(diǎn)DD，PEOBPEOB于點(diǎn)于點(diǎn)E E 求證求證: PD=PE: PD=PE 探究角平分線的性質(zhì)探究角平分線的性質(zhì) 活活 動動5 (3)驗(yàn)證猜想驗(yàn)證猜想 (4)得到得到角角 平分線的平分線的 性質(zhì)：性質(zhì)： 活活 動動5 利 用 此 性 質(zhì)利 用 此 性 質(zhì) 怎樣書寫推理過怎樣書寫推理過 程程?(幾何語言幾何語言) 1= 2, PD OA， PE OB（已知）（已知） PD=PE（全等三（全等三 角形的對應(yīng)邊相等）角形的對應(yīng)邊相等） P P A A OO B B C C

6、E E DD 12 O A B E D 思考：思考： 如圖所示如圖所示OC是是AOB 的平分線的平分線,P 是是OC上任意上任意 一點(diǎn)一點(diǎn),問問PE=PD?為什么為什么? C P PD,PE沒有垂直沒有垂直O(jiān)A,OB,它們不它們不 是角平分線上任一點(diǎn)這個角兩是角平分線上任一點(diǎn)這個角兩 邊的距離邊的距離,所以不一定相等直所以不一定相等直 如 圖 ： 在如 圖 ： 在 A B C 中 ，中 ， C=90 AD是是BAC的平分的平分 線，線，DEAB于于E，F(xiàn)在在AC上，上， BD=DF； 求證：求證：CF=EB A CD E B F 分析分析:要證要證CF=EB,首先我們想到的是要證它首先我們想到

7、的是要證它 們所在的兩個三角形全等們所在的兩個三角形全等,即即RtCDF RtEDB. 現(xiàn)已有一個條件現(xiàn)已有一個條件BD=DF(斜邊相等斜邊相等),還需還需 要我們找什么條件要我們找什么條件 DC=DE (因?yàn)榻堑钠椒志€的性質(zhì)因?yàn)榻堑钠椒志€的性質(zhì)) 再用再用HL證明證明. 試試自己寫試試自己寫 證明。你一證明。你一 定行！定行！ 活動6： 1 1：畫一個已知角的角平分線；：畫一個已知角的角平分線； ( (注意作圖痕跡和幾何語言的表達(dá)注意作圖痕跡和幾何語言的表達(dá)) ) 及畫一條已知直線的垂線；及畫一條已知直線的垂線； 2 2：角平分線的性質(zhì)：角平分線的性質(zhì)： 角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離距離 相等相等 3：角平分線的性質(zhì)的應(yīng)用：角平分線的性質(zhì)的應(yīng)用 B O A C D P E 1.如圖，如圖，OC是是AOB的平分線，的平分線， PD=PE PDOA，PEOB 練習(xí)： 2.如圖如圖,在在ABC中，中， ACBC，AD為為BAC的平的平 分線，分線，DEAB，AB7， AC3，求，求BE的長。的長。 E D C B A 4cm 3.在在RtABC中，中，BD平分平分ABC， DEAB于