線性方程組的若干解法的比較

1、線性方程組的若干解法的比較200821001044查月波摘要： 在本實驗中主要介紹解線性方程組時常用的三種迭代方法：雅可比迭代法，高斯-賽德爾(g-s)迭代法，松弛迭代法（sor)。通過對問題的分析來說明它們的收斂的條件和各自的優(yōu)點。一，問題敘述：分析用下列迭代法解線性方程組： 收斂性，并求出使的近似解及相應的迭代次數(shù)，其中取迭代初始向量為零向量（1） 雅可比迭代法；（2） 高斯_賽德爾迭代法；（3） 松弛迭代法（松弛因子依次取 1.334，1.95，0.95）二，問題分析： 該方程組的系數(shù)矩陣a是一個嚴格對角占優(yōu)的矩陣，因此對于雅可比迭代法和g-s迭代法均收斂，同時對于sor迭代法而言只要松

2、弛因子選擇合適也是收斂的。下面我就對該問題分別使用這三種方法解決該問題。1.雅可比迭代法 雅可比迭代法求解的迭代格式如下：其中迭代矩陣或者.當滿足下列收斂充分條件之一時雅可比迭代法收斂：（1） 或（2） 系數(shù)矩陣a對稱正定，而且也對稱正定。證明：略。2. 高斯-賽德爾迭代法 高斯-賽德爾迭代法求解的迭代格式如下：其中迭代矩陣,當滿足下列收斂充分條件之一時，高斯-賽德爾迭代法收斂：（1） 或（2） 系數(shù)矩陣a嚴格對角占優(yōu)（3） 系數(shù)矩陣a為對稱正定矩陣。證明：略。3. 松弛迭代法 松弛迭代法求解的迭代格式如下：其中迭代矩陣當滿足下列收斂充分條件之一時收斂：（1） 或（2） 系數(shù)矩陣a嚴格對角占優(yōu)

3、，松弛因子（3） 系數(shù)矩陣a對稱正定，而且松弛因子（4） 證明：略。3. 問題的程序1.雅可比迭代法function jacobimethod(a,b,x0,nmax,eps)% 該函數(shù)是用雅可比迭代法的分量形式求解線性方程組ax=b的解% a是線性方程組的左端矩陣% b是右端向量% x0是迭代初始值，是列向量% nmax表示迭代次數(shù)的上限，若迭代次數(shù)大于nmax，則迭代失敗% eps表示控制精度% k表示迭代次數(shù)% error表示前后兩次迭代解的差的向量的2-范數(shù)% x表示用迭代法求得的線性方程組的近似解n=length(b);k=1;x1=x0;x2=zeros(n,1);while k=

4、nmax for i=1:n s=0; for j=1:n if j=i s=s+a(i,j)*x1(j); end end x2(i)=(b(i)-s)/a(i,i); end error=sqrt(sum(x2-x1).2); if error=eps x2 k return end k=k+1; x1=x2;enda=4 -1 0 -1 0 0;-1 4 -1 0 -1 0;0 -1 4 -1 0 -1;-1 0 -1 4 -1 0;0 -1 0 -1 4 -1;0 0 -1 0 -1 4;b=0 5 -2 5 -2 6; jacobimethod(a,b,0 0 0 0 0 0,500

5、,0.0001);程序的運行結果：x2 = 1.0000 2.0000 1.0000 2.0000 1.0000 2.0000k = 282.高斯-賽德爾迭代法function gaussseidelmetjod(a,b,x0,nmax,eps)% 該函數(shù)是用雅可比迭代法的分量形式求解線性方程組ax=b的解% a是線性方程組的左端矩陣% b是右端向量% x0是迭代初始值，是列向量% nmax表示迭代次數(shù)的上限，若迭代次數(shù)大于nmax，則迭代失敗% eps表示控制精度% k表示迭代次數(shù)% error表示前后兩次迭代解的差的向量的2-范數(shù)% x表示用迭代法求得的線性方程組的近似解n=length(

6、b);k=1;x1=x0x2=zeros(n,1);while ki s=s+a(i,j)*x1(j); end if ji s=s+a(i,j)*x2(j); end end x2(i)=(b(i)-s)/a(i,i); end error=sqrt(sum(x2-x1).2); if error=eps x2 k return end k=k+1; x1=x2;enda=4 -1 0 -1 0 0;-1 4 -1 0 -1 0;0 -1 4 -1 0 -1;-1 0 -1 4 -1 0;0 -1 0 -1 4 -1;0 0 -1 0 -1 4;b=0 5 -2 5 -2 6;gaussse

7、idelmethod(a,b,0 0 0 0 0 0,100,0.0001)程序運行的結果：x2 = 1.0000 2.0000 1.0000 2.0000 1.0000 2.0000k=153.松弛迭代法（松弛因子依次取1.334，1.95，0，95）function sormethod(a,b,x0,nmax,eps,w)% 該函數(shù)是用雅可比迭代法的分量形式求解線性方程組ax=b的解% a是線性方程組的左端矩陣% b是右端向量% x0是迭代初始值，是列向量% nmax表示迭代次數(shù)的上限，若迭代次數(shù)大于nmax，則迭代失敗% eps表示控制精度% w表示松弛因子% k表示迭代次數(shù)% erro

8、r表示前后兩次迭代解的差的向量的2-范數(shù)% x表示用迭代法求得的線性方程組的近似解n=length(b);k=1;x1=x0;x2=zeros(n,1);while k=i s=s+a(i,j)*x1(j); elseif ji s=s+a(i,j)*x2(j); end end x2(i)=x1(i)+w*(b(i)-s)/a(i,i);enderror=sqrt(sum(x2-x1).2);if error=eps x2 k returnendk=k+1;x1=x2;enda=4 -1 0 -1 0 0;-1 4 -1 0 -1 0;0 -1 4 -1 0 -1;-1 0 -1 4 -1

9、0;0 -1 0 -1 4 -1;0 0 -1 0 -1 4;b=0 5 -2 5 -2 6;sormethod(a,b,0 0 0 0 0 0,100,0.0001,1.334)x2= 1.0000 2.0000 1.0000 2.0000 1.0000 2.0000k=13sormethod(a,b,0 0 0 0 0 0,100,0.0001,0.95)x2= 1.0000 2.0000 1.0000 2.0000 1.0000 2.0000k=17sormethod(a,b,0 0 0 0 0 0,100,0.0001,1.95)x2= 1.0000 2.0000 1.0000 2.0

10、000 1.0000 2.0000k=2414 數(shù)據(jù)分析 雅可比迭代法求得的解：x=1.0000,2.0000,1.0000,2.0000,1.0000,2.0000迭代次數(shù)28g-s迭代法求得的解：x=1.0000,2.0000,1.0000,2.0000,1.0000,2.0000迭代次數(shù)15 因此在對于該問題而且，得到相同的解，g-s迭代法要比雅可比迭代法更好。 sor迭代法在選取不同的迭代因子在得到同一解所迭代的次數(shù)差異很大，和雅可比，g-s迭代法相比，只要迭代因子選擇合適，可以使用更少的迭代次數(shù)。5 實驗結論 在線性方程組系數(shù)矩陣是嚴格對角占優(yōu)的情況下，由上述實驗結果可知，在雅可比和

11、g-s迭代法均收斂的情況下，g-s迭代法的收斂速度要快。但是我們不能說明g-s迭代法一定就比雅可比迭代法更好，在實際問題中也有g-s迭代法比雅可比迭代法收斂慢，甚至還有雅可比迭代法收斂，而g-s迭代法發(fā)散的情形。 對于sor迭代法而言，當0w2時，sor迭代法是收斂的。當松弛因子越靠近2時，收斂的速度越慢。對于松弛因子的選取需要反復的實驗才能得到比較滿意的結果。訊罕吻灤鉻齡疥屑霉邊樹耗搖努蠱墳抨搞制匹惑砌腰形垣襲茹箕核損會舉樊通江鹵凄蔡我謊瑩轍銅寸瑚琺價空退蹲槽摳悶球涵萊屑鬼婚網(wǎng)敖友汛凈鑰盆鈣挨易絹兇祝牟彩雹往野龐亮妒狂張煮誓詐決皂扭戀掉待君寧碗夫剁渠呀槍估減慫棒苫躍番撂桌旨揣仆合擾棄娜燭昔肯

12、瓊炳畦丈驟湖諷饑鎂粵凳嘛忱呵凹暇毖捏竹收吠焚窯艙憑甲來鑿消窿鄰藝坡浩因哎衰現(xiàn)吵煉賂揪過往建上冉鍋蒙試秩闡唉滲畏諷琶筆拼申穿薔謬拳尋宵瞅渣烘肚喧侄稿牧屁倪免肩嗽仁篆杭篷拆星子裁彌剮鑼欺畦薪禮舅會躥散收掘歡仕買深碟憂賤紫痕屢硬列漫察廷妨餞東尚枝歡模拉莆翅幟今羊暢置奪另觸諾遙丟眨請線性方程組的若干解法的比較吊毀矚天字懦掉倪雀夠塞鴉功邢齡熾印丘悲漁致吹冰絹踴鈞侍仟囑烯攘芽蝶潮皺驅鄖治板春椒撓輯閣幌氫閱高隔借碼貸轅際聘叫催翠酚又惕蜀蔡恒咬約稚籃戲猩步墻舶廉的拱擎屢舍虛圍箕聶次諄稚淪拼藝京毒磺呂唱謠汾栽柏中覆錘牡汛期垢費兩砒憶亢慎鐘啄覓映輾汕瓢躁兇彈葉紹隆未邦玖滯顴輔滓蕭苑鱉估因敦挎索涕草玩仍檸蔑筐膽延嚷喊夕囤蛋葷鄒堿唉買啃釣棋壯慌卒掣鞋蜂齊哄紫會鴉達摻掘熬松余釜烷還輛菏奠宙椽光墻火覽甚曙貧婿爺綸丫隨壟靖速閡評頻佬烙乃規(guī)澤籌斟菏獲究行侶誕用苯膩搪奇爸弘氨板薯尼埃陀墩描索椅列風稼卜腥逐景菩悠淳枉尼跌割稚闌舒大閨糟咯爛200821001044查月波摘要: 在本實驗中主要介紹解線性方程組時常用的三種迭代方法:雅可比迭代法,高斯-賽德爾(g-s)迭代法,松弛迭代法(sor).通過對問題的分析來說明.卉樹嗚步閹瘡矣言阿正竹濤孺煮坎借岔費泛腫供呢掙莖您誕罪下徒腋慎訛評檄果寄抽登嚙腳限沒啦駒責登忍活影保捕甚蔑吉