中考初三圓知識點專題復(fù)習(xí)

1、一、圓中重要的知識點1、垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。推論 1：（ 1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；（ 2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。唬?3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧以上共 4 個定理，簡稱2 推 3 定理：此定理中共5 個結(jié)論中，只要知道其中2 個即可推出其它3 個結(jié)論，即：AB是直徑ABCDCEDE 弧BC弧BD 弧AC弧AD中任意 2 個條件推出其他3 個結(jié)論。推論 2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。A即：在 O 中， AB CDODCE弧 AC 弧BDOCDBAB例題 1、

2、 基本概念1下面四個命題中正確的一個是（）A平分一條直徑的弦必垂直于這條直徑B平分一條弧的直線垂直于這條弧所對的弦C弦的垂線必過這條弦所在圓的圓心D在一個圓內(nèi)平分一條弧和它所對弦的直線必過這個圓的圓心2下列命題中，正確的是（）A過弦的中點的直線平分弦所對的弧B過弦的中點的直線必過圓心C弦所對的兩條弧的中點連線垂直平分弦，且過圓心D弦的垂線平分弦所對的弧例題 2、垂徑定理1、 在直徑為52cm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所示， 如果油的最大深度為 16cm，那么油面寬度AB是 _cm.2、在直徑為52cm 的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，如果油面寬度是48cm，那么油的最大深度為_cm.3、

3、如圖，已知在O中，弦 ABCD ，且 ABCD ，垂足為 H ， OEAB于 E ， OFCD 于 F .（ 1）求證：四邊形OEHF 是正方形 .（2）若 CH3， DH9，求圓心 O到弦 AB和CD的距離 .14、已知： ABC內(nèi)接于 O，AB=AC，半徑 OB=5cm，圓心 O到 BC的距離為 3cm，求 AB的長5、如圖， F 是以 O為圓心， BC為直徑的半圓上任意一點，A 是的中點， AD BC于 D，求證： AD=1 BF.2AFEBDOC例題 3、度數(shù)問題1、已知：在 O 中，弦 AB12cm ， O 點到 AB 的距離等于 AB 的一半，求：AOB的度數(shù)和圓的半徑 .2、 已

4、知： O的半徑 OA1，弦 AB、AC的長分別是2 、3 . 求BAC 的度數(shù)。例題 4、相交問題如圖，已知 O的直徑 AB和弦 CD相交于點E，AE=6cm，EB=2cm， BED=30，求 CD的長 .CEABOD例題 5、平行問題在直徑為50cm的 O中，弦 AB=40cm，弦 CD=48cm，且 AB CD，求： AB與 CD之間的距離 .例題 6、同心圓問題如圖，在兩個同心圓中， 大圓的弦 AB，交小圓于 C、D兩點，設(shè)大圓和小圓的半徑分別為a,b .求證： ADBDa2b2 .2例題 7、平行與相似已知：如圖，AB是 O的直徑， CD 是弦， AECD于 E， BFCD 于 F .

5、求證：ECFD .六、圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等。此定理也稱1 推 3定理，即上述四個結(jié)論中，E只要知道其中的1 個相等，則可以推出其它的3 個結(jié)論，即：AOBDOE ； ABDE ； OC OF； 弧BA 弧BD七、圓周角定理1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半。OACFDBC即：AOB 和ACB 是弧 AB 所對的圓心角和圓周角BOAOB 2ACBA2、圓周角定理的推論：DC推論 1：同弧或等弧所對的圓周角相等； 同圓或等圓中， 相等的圓周角所對的弧是等??；即：在 O 中，C 、D 都是所對的圓周角BOCDA

6、推論 2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑。即：在 O 中， AB 是直徑或C90C90 AB是直徑CBAO推論 3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。即：在 ABC 中， OCOAOB ABC 是直角三角形或C90注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一CBAO3半的逆定理。【例 1】如圖，已知O中， AB為直徑， AB=10cm，弦 AC=6cm， ACB的平分線交O于 D，求 BC、 AD和 BD的長【例 2】如圖所示，已知AB為 O的直徑， AC為弦， ODBC，交 AC于 D，

7、 BC=4cm（ 1）求證： AC OD；（2）求 OD的長；（ 3）若 2sinA 1=0，求 O的直徑【例 3】四邊形 ABCD中， AB DC， BC=b， AB=AC=AD=a，如圖，求BD的長【例 4】如圖 1，AB是半 O的直徑，過 A、B 兩點作半 O的弦，當(dāng)兩弦交點恰好落在半2O上 C 點時，則有ACAC BCBC=AB2（ 1）如圖 2，若兩弦交于點P 在半 O內(nèi)，則 AP AC BP BD=AB是否成立？請說明理由（ 2）如圖 3，若兩弦AC、BD的延長線交于P 點，則 AB2=參照（ 1）填寫相應(yīng)結(jié)論，并證明你填寫結(jié)論的正確性八、圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四

8、邊形的對角互補，外角等于它的內(nèi)對角。CD即：在 O 中，四邊形 ABCD 是內(nèi)接四邊形B CBAD 180BD180DAECAE例 1、如圖 7-107 ， O中，兩弦ABCD， M是 AB的中點，過M點作弦 DE求證： E， M， O，C 四點共圓4九、切線的性質(zhì)與判定定理（ 1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可O即： MNOA 且 MN 過半徑 OA 外端 MN 是 O的切線MAN（ 2）性質(zhì)定理：切線垂直于過切點的半徑（如上圖）推論 1：過圓心垂直于切線的直線必過切點。推論 2：過切點垂直于切線的直線必過圓心。以上三個定理及

9、推論也稱二推一定理：即：過圓心；過切點；垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個。十、切線長定理切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即： PA 、 PB 是的兩條切線B PA PBPO 平分 BPAOPA利用切線性質(zhì)計算線段的長度例 1：如圖，已知： AB是 O的直徑， P 為延長線上的一點， PC切 O于 C，CD AB于 D，又 PC=4， O的半徑為 3求： OD的長5利用切線性質(zhì)計算角的度數(shù)例 2：如圖，已知：AB 是 O的直徑，CD切 O于 C，AECD于 E，BC的延長線與 AE的延長線交于 F，且 AF=BF求：

10、 A 的度數(shù)利用切線性質(zhì)證明角相等例 3：如圖，已知： AB 為 O的直徑，過A 作弦 AC、 AD，并延長與過B 的切線交于M、N求證： MCN=MDN利用切線性質(zhì)證線段相等例 4：如圖，已知： AB是 O直徑， CO AB， CD切 O于 D， AD交 CO于 E求證： CD=CE利用切線性質(zhì)證兩直線垂直例 5：如圖，已知： ABC中， AB=AC，以 AB為直徑作 O，交 BC于 D， DE切 O于 D，交 AC于 E求證： DE AC十一、圓冪定理DBO6PCA（ 1）相交弦定理 ：圓內(nèi)兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等。即：在 O 中，弦 AB 、 CD 相交于點 P ， PA

11、PB PC PD（ 2）推論：如果弦與直徑垂直相交， 那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。即：在 O 中，直徑 ABCD ，CBEA CE2AEBEOD（ 3）切割線定理 ：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。A即：在 O 中， PA 是切線， PB 是割線DE PA2PC PBPOCB（ 4）割線定理 ：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等（如上圖） 。即：在 O 中， PB 、 PE 是割線 PC PB PD PE例 1. 如圖，正方形ABCD的邊長為 1，以 BC為直徑。在正方形內(nèi)作半圓O，過 A

12、作半圓切線，切點為F，交 CD于 E，求 DE： AE的值。例 2. O中的兩條弦 AB與 CD相交于 E，若 AE 6cm， BE 2cm， CD 7cm，那么 CE _cm。例 3. 如圖 3， P 是 O外一點， PC切 O于點 C， PAB是 O的割線，交 O于 A、 B 兩點，如果 PA： PB 1： 4，PC12cm， O的半徑為 10cm，則圓心O到 AB的距離是 _cm。圖 3例 4. 如圖 4，AB 為 O的直徑，過B 點作 O 的切線 BC， OC交 O 于點 E， AE 的延長線交BC于點 D，（ 1）求證：；（ 2）若 AB BC 2厘米，求CE、 CD的長。7圖 4例

13、 5. 如圖 5，在直角三角形 ABC中， A 90，以 AB邊為直徑作于 E。求證： BC 2OE。圖 5十二、兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個圓的的公共弦。如圖： O1O2 垂直平分 AB 。即： O1 、 O2 相交于 A 、 B 兩點 O1O2 垂直平分 AB十三、圓的公切線兩圓公切線長的計算公式：（ 1）公切線長：Rt O1O2C 中， AB2CO1 2O1O22CO2 2 ；O，交斜邊 BC于點 D，過 D 點作 O的切線交 ACAO1O2BABCO1O2CO（ 2）外公切線長：CO2 是半徑之差；內(nèi)公切線長：CO2 是半徑之和。BAD十四、 圓內(nèi)正多邊

14、形的計算（ 1）正三角形在 O 中 ABC 是正三角形，有關(guān)計算在Rt BOD 中進行： OD : BD : OB1:3 : 2 ；BC（ 2）正四邊形OO同理，四邊形的有關(guān)計算在Rt OAE 中進行， OE : AE : OA 1:1:2 ：AEDBA（ 3）正六邊形同理，六邊形的有關(guān)計算在Rt OAB 中進行， AB :OB : OA 1:3:2.81、如圖所示，正六邊形螺帽的邊長是2cm，這個扳手的開口a 的值應(yīng)是 ()A 2 3 cm B 3 cm C 2 3 cm D 1 cm 32、已知圓的半徑是2，則該圓的內(nèi)接正六邊形的面積是（）A3B 9C 18D 363、正三角形、正方形、圓

15、三者的周長都等于l ，它們的面積分別為S1， S2、 S3，則 ()A S1 S2S3BS3 S1 S2C S1 S2 S3D S2 S1S3十五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計算公式1、扇形：（1）弧長公式：nRl；180OS（2）扇形面積公式：Sn R21 lR3602n ：圓心角R ：扇形多對應(yīng)的圓的半徑l ：扇形弧長S ：扇形面積2、圓柱：（ 1）圓柱側(cè)面展開圖ADS表S側(cè) 2S底 = 2 rh 2 r 2底面圓周長BC（ 2）圓柱的體積： Vr 2hB13 . 圓錐側(cè)面展開圖（1） S表S側(cè) S底 = Rrr 2O（ 2）圓錐的體積： V1r 2hR3Cr1如圖，AB切O 于點 B，OA=23 ，