芝罘區(qū)數(shù)學空間角求法題型(線線角、線面角、二面角

1、芝罘區(qū)數(shù)學空間角求法題型（線線角、線面角、二面角） 空間角能比較集中的反映學生對空間想象能力的體現(xiàn)，也是歷年來高考命題者的熱點，幾乎年年必考?？臻g角是線線成角、線面成角、面面成角的總稱。其取值范圍分別是：0 q 90、0 q 90、0 q 180。空間角的計算思想主要是轉(zhuǎn)化：即把空間角轉(zhuǎn)化為平面角，把角的計算轉(zhuǎn)化到三角形邊角關系或是轉(zhuǎn)化為空間向量的坐標運算來解。空間角的求法一般是：一找、二證、三求解，手段上可采用：幾何法（正余弦定理）和向量法。下面舉例說明。一、異面直線所成的角：例1如右下圖，在長方體中，已知，。、分別是線段、上的點，且。求直線與所成的角的余弦值。思路一：本題易于建立空間直角坐

2、標系，把與所成角看作向量的夾角，用向量法求解。思路二：平移線段C1E讓C1與D1重合。轉(zhuǎn)化為平面角，放到三角形中，用幾何法求解。（圖1）解法一：以A為原點，分別為x軸、y軸、z軸的正向建立空間直角坐標系，則有 D1（0，3，2）、E （3，0，0）、F（4，1，0）、C1（4，3，2），于是設EC1與FD1所成的角為，則： 直線與所成的角的余弦值為解法二：延長BA至點E1，使AE1=1，連結(jié)E1F、DE1、D1E1、DF，有D1C1/E1E， D1C1=E1E，則四邊形D1E1EC1是平行四邊形。則E1D1/EC1于是E1D1F為直線與所成的角。在RtBE1F中，。在RtD1DE1中， 在Rt

3、D1DF中，在E1FD1中，由余弦定理得：直線與所成的角的余弦值為?？梢姡稗D(zhuǎn)化”是求異面直線所成角的關鍵。平移線段法，或化為向量的夾角。一般地，異面直線l1、l2的夾角的余弦為： 。二、直線和平面所成的角斜線和平面所成的角是一個直角三角形所成的銳角，它的三條邊分別是平面的垂線段、斜線段及斜線段在平面內(nèi)的射影。因此求直線和平面所成的角，幾何法一般先定斜足、再作垂線找射影、通過解直角三角形求解；向量法則利用斜線和射影的夾角或考慮法向量，設為直線l與平面所成的角，為直線l的方向向量與平面的法向量之間的夾角，則有或（圖2）圖2圖3特別地 時，；時，或。例2如圖3，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底

4、面是等腰直角三角形，側(cè)棱AA1=2，D，E分別是CC1與A1B的中點，點E在平面ABD上的射影是的重心G。求A1B與平面ABD所成角的大小。解 以C為坐標原點，CA所在直線為x軸，CB所在直線為y軸，所在直線為z軸，建立直角坐標系，設，則， ， ， ， 點E在平面ABD上的射影是的重心G， 平面ABD， ，解得 。 ， ， 平面ABD， 為平面ABD的一個法向量。由 得 ， 與平面ABD所成的角為 ，即 。評析 因規(guī)定直線與平面所成角，兩向量所成角，所以用此法向量求出的線面角應滿足。一般地，設n是平面M的法向量，AB是平面M的一條斜線，A為斜足，則AB與平面M所成的角為：。三、二面角的求法：1

5、幾何法：二面角轉(zhuǎn)化為其平面角，要掌握以下三種基本做法：直接利用定義，圖4（1）。利用三垂線定理及其逆定理，圖4（2）最常用。作棱的垂面，圖4（3）。AOBMNababAOPABOPab4（1）4（2）4（3）圖4另外，特別注意觀察圖形本身是否已含有所求的平面角；2向量法：從平面的法向量考慮，設 分別為平面的法向量，二面角的大小為，向量 的夾角為，則有或 （圖5）圖5如果AB、CD分別是二面角的兩個面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小為。例3如圖6，正三棱柱的底面邊長為3，側(cè)棱， D是CB延長線上一點，且。求二面角的大小。解 取BC的中點O，連AO。由題意 平面平面，平面，以O為原點，建立如

6、圖6所示空間直角坐標系， 圖6則 ， ， ， ，由題意 平面ABD， 為平面ABD的法向量。設 平面的法向量為 ，則 ， ， ，即 。 不妨設 ，由 ，得。 故所求二面角的大小為。評析在處理二面角問題時，可能會遇到二面角的具體大小問題，如本題中若取時，會算得，從而所求二面角為，但依題意只為。因為二面角的大小有時為銳角、直角，有時也為鈍角。所以在計算之前不妨先依題意判斷一下所求二面角的大小，然后根據(jù)計算取“相等角”或取“補角”。小結(jié)：1空間各種角的計算方法都是轉(zhuǎn)化為平面角或兩向量的夾角來計算的，對空間各種角概念必須深刻理解。平行和垂直可以看作是空間角的特殊情況。幾何法在書寫上體現(xiàn)：“作出來、證出

7、來、指出來、算出來、答出來”五步。向量法通過空間坐標系把空間圖形的性質(zhì)代數(shù)化，避免了尋找平面角和垂線段等諸多麻煩，使空間點線面的位置關系的判定和計算程序化、簡單化。主要是建系、設點、計算向量的坐標、利用數(shù)量積的夾角公式計算。練習：1、如圖，以正四棱錐VABCD底面中心O為坐標原點建立空間直角坐標系Oxyz，其中Ox/BC，Oy/ABE為VC中點，正正四棱錐底面邊長為2a，高為h。（）求（）記面BCV為，面DCV為，若BED是二面角VC的平面角，求BED解：（I）由題意知B（a，a，0），C（a，a，0），D（a，a，0），E 由此得由向量的數(shù)量積公式有（II）若BED是二面角VC的平面角，則，

8、即有=0又由C（a，a，0），V（0，0，h），有且即這時有2如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，AC=1，CB=，側(cè)棱AA1=1，側(cè)面AA1B1B的兩條對角線交點為D，B1C1的中點為M。求證：（1）CD平面BDM；（2） 求面B1BD與面CBD所成二面角的大小。分析：要證CD平面BDM，只需證明直線CD與平面BDM內(nèi)的兩條相交直線垂直即可；要求二面角，需找出二面角的平面角或轉(zhuǎn)化為 兩直線的夾角。考慮幾何法或向量法求解。解法一：（1）如圖連結(jié)CA1、AC1、CM，則CA1=。為等腰三角形。又知D為其底邊的中點，CDA1B。 A1C1=1，C1B1=。A1B1=。又BB1=1，A1B=2。為直角三角形，D為A1B的中點，又CDMCC1M， A1B、DM為平面BDM內(nèi)的兩條相交直線，CD平面BDM。（2）F 、G分別為BC、BD的中點，連結(jié)B1G、FG、B1F，則CD，F(xiàn)G=CD，F(xiàn)G=，F(xiàn)GBD，由側(cè)面矩形B