高等數(shù)學(xué)考研知識(shí)點(diǎn)總結(jié)8

1、第八講多元函數(shù)微分學(xué)一、考試要求1. 理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義。2. 了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。3. 理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，會(huì)求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性。4. 理解方向?qū)?shù)與梯度的概念并掌握其計(jì)算方法。5. 掌握多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法。6. 了解隱函數(shù)存在定理，會(huì)求多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。7. 了解二元函數(shù)的二階泰勒公式 (數(shù)一 )。8. 理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件， 會(huì)求二元函數(shù)的極值， 會(huì)用拉格朗日乘數(shù)

2、法求條件極值，會(huì)求簡(jiǎn)單多元函數(shù)的最大值和最小值， 并會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題。二、 內(nèi)容提要1、 多元函數(shù)的概念： z=f(x,y), (x,y)D2、 二元函數(shù)的極限定義、連續(xù)limf ( x, y)A,limf ( x, y)f ( x0 , y0 )xx0xx0yy0yy03、 偏導(dǎo)數(shù)的定義、高階偏導(dǎo)、全微分z=f(x,y)f ( x0x, y0 )f (x0 , y0 )f x ( x0 , y0 ) = lim0x,xf y ( x0 , y0 ) = limf (x0 , y0y)f ( x0 , y0 )y0y若 zf ( x0x, y0y)f ( x0 , y0 )f x (

3、x0 , y0 ) x f y ( x0, y0 ) y ( )0則 dzz dxz dyxy4、偏導(dǎo)連續(xù)可微可導(dǎo) (偏導(dǎo) )連續(xù)極限存在5、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（1）多元與一元復(fù)合：設(shè)xx(t ), yy(t ), zz(t) 在在與 t 對(duì)應(yīng)的點(diǎn) (x, y, z)( x(t ), y(t), z(t ) 可微，則 u可微，且t 可微， u f ( x, y, z) f (x(t ), y(t ), z(t) 在 t 處duf dxf dyf dzdtx dty dtz dt1（2）多元與多元復(fù)合：設(shè) u(x, y), v( x, y) 在點(diǎn) (x, y) 存在偏導(dǎo)數(shù)，w f (u, v) 在

4、與 ( x, y) 對(duì)應(yīng)的點(diǎn) (u,v) 可微，則 wf ( ( x, y), ( x, y) 在點(diǎn) (x, y) 存在偏導(dǎo)數(shù)，且wf ufv ，wf uf vxu xvxyu yv y6、隱函數(shù)求導(dǎo)法則要求掌握三種情形：1） F(x,y,z)=0,F ( x, y, z)0,z( x), yy( x)2）zG( x, y, z)0,F ( x, y,u,v)0,uu( x, y)3）0,vv( x, y)G( x, y,u,v)7、二元函數(shù)的二階泰勒公式設(shè) z=f(x,y) 在點(diǎn) (x0 , y0 ) 的某個(gè)鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，( x0 h, y0k ) 為此鄰域內(nèi)一點(diǎn)，則有f ( x

5、0 h, y0 k )f ( x0 , y0 ) (hxk ) f (x0 , y0 )y+ 1 (hk) 2 f ( x0 , y0 ).2!xy1 (hk) 3 f ( x0h, y0k),01.3!xy8、多元函數(shù)的極值1) 定義2) 可能極值點(diǎn)3) 取極值的必要條件4) 取極值的充分條件設(shè) f x ( x0 , y0 ) 0,f y ( x0 , y0 ) 0,Af xx ( x0 , y0 ) , Bf xy ( x0 , y0 ) , Cf yy (x0 , y0 )B2AC若 0 , 則 (x 0 , y0 ) 為 z=f(x,y) 的一個(gè)極值點(diǎn) A 0, 極大值A(chǔ)0, 極小值9

6、、條件極值z(mì)f ( x, y), s.t .( x, y)0構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：F (x, y,)f ( x, y)( x, y)2Fx0由 Fy 0 解得可能極值點(diǎn)，再由實(shí)際問題判斷極值。F010、最值：區(qū)域內(nèi)部或邊界上達(dá)到三、典型題型與例題題型一、基本概念題（討論偏導(dǎo)、連續(xù)、可微之間的關(guān)系）y22yz例 1、 設(shè) z ( y 3x 2 )( x y 4 ) xe x，求x ( 1, 0)例 2 考慮二元函數(shù) f(x,y) 的下面 4 條性質(zhì)： f (x, y) 在點(diǎn) (x0 , y0 ) 處連續(xù)， f (x, y) 在點(diǎn) (x0 , y0 ) 處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)， f (x, y) 在點(diǎn) (

7、x0 , y0 ) 處可微， f (x, y) 在點(diǎn) (x0 , y0 ) 處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在 .若用“ PQ ”表示可由性質(zhì)P 推出性質(zhì) Q, 則有（ A ） .（B） .（ C） .（D） .x 2 y 23 , x2y 20例 3、 設(shè) z ( x 2y2 ) 20, x 2y201）在（ 0，0）點(diǎn)，函數(shù)是否連續(xù)？是否偏導(dǎo)數(shù)存在？是否可微？一階偏導(dǎo)數(shù)是否連續(xù)？2）求 dz3題型二、 求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分本題型包括如下幾個(gè)方面的問題1、初等函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分2、求抽象函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)3、由方程所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分4、含抽象函數(shù)的方程所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分5

8、、由方程組所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)方法：直接求導(dǎo)法；公式法；微分形式不變性。例 4、 設(shè) f ( x, y) x 2 arctan yy2 arctan x，求 f,2 fxyxx y例 5、設(shè) u f ( x ,y ) ，求 du,2 uyzy z4* 例 6、已知函數(shù) z=z(x,y)滿足 x 2 zy 2zz2xyux,11設(shè)11,對(duì)函數(shù)(u,v), 求證0 .vzxuyx例 7、 設(shè) zf ( u, x , y), u xe y ，有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求2 zx y例 8、 設(shè) uf ( x, y, z) 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， yy( x ) 和 zz( x ) 分別由方程xe xyy 0和 e

9、zxz 0 確定，試求 dudx5例 9設(shè)函數(shù) z = z (x, y)由方程 F ( y ,z)0 確定 , 其中 F 為可微函數(shù) , 且 f 2 0, 則zy zxxx_ .xy(A)x.(B)z .(C)x.(D) z .例 10 設(shè) uf ( x , y, xyz) ，函數(shù) zz( x, y) 由方程zxyzz t )dt e 確定，其中 f 可微， g 連續(xù)，求 x uy ug( xyxyxy6例 11、 設(shè) u f ( x ut , yut , z ut ) 求 u , ug( x , y, z) 0x y題型三：變量替換下表達(dá)式的變形* 例 12、設(shè) uf ( x , y) 具有

10、二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而 xs3t , y3s t ，222u2 u2 u2 u證明2y2s2t 2x7題型四反問題解題思路：由已知滿足的關(guān)系式或條件，利用多元函數(shù)微分學(xué)的方法和結(jié)論，求出待定的函數(shù)、參數(shù)等。例 13、 已知 (axy 3y 2 cos x )dx (1 by sin x3x 2 y2 )dy 為某一函數(shù) f ( x , y) 的全微分，求 a, b例 14、 設(shè) zf ( x , y) 滿足2 f2x , f ( x ,1) 0, f ( x,0)sin x ，求 f ( x, y)y2y2 u2 u3例 15、設(shè)函數(shù) uf (ln x2y 2 ), 滿足( x 2y 2 ) 2,

11、 試求函數(shù) f 的表x2y 2達(dá)式 .8題型五、多元函數(shù)的應(yīng)用1、極值的求法步驟： 1) 解方程組 f x x0 ,y 00 ， f y x 0 ,y 00 ，得所有駐點(diǎn)；2) 對(duì)每一個(gè)駐點(diǎn)x0 ,y 0 ，求 A=f xxx 0 ,y 0，Bf xyx 0 ,y 0 ， C=f yyx 0 ,y 0 的值；3）由 B2AC 的符號(hào)確定是否為極值點(diǎn)，是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)。2、最值的求法閉區(qū)域上連續(xù)多元函數(shù)的最值可能在區(qū)域內(nèi)部或邊界上達(dá)到，先求出在區(qū)域內(nèi)部的所有駐點(diǎn)以及偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，比較這些點(diǎn)與邊界上點(diǎn)的函數(shù)值，最大者即為最大值，最小者即為最小值。對(duì)于實(shí)際問題一般根據(jù)實(shí)際背景來確定是否取最值 （如可能極值點(diǎn)唯一， 則極小（大）值點(diǎn)即最?。ù螅┲迭c(diǎn)）。條件極值還可用拉格朗日乘數(shù)法來求。例 16、討論二元函數(shù) zx3y 32( x 2y2 ) 的極值。例 17 求橢圓 x 22xy3 y28 y0 與直線 xy8 之間的最短距離。92* 例 18、（054）求 f(x,y)= x 2y2 2 在橢圓域 D ( x, y) x 2 y 1 上的最大值 4和最小值 .* 例 19、(99 34) 設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品