9A文講義精品一元二次方程講義精品

1、MeiWei 81 重點借鑒文檔】 考點一、概念 (1) 內(nèi)容：只含有一個未知數(shù)， 并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2，這樣的整式方程就是一元二 次方程。 (2) 一般表達式： ax2 bx c 0(a 0) ( 3)關(guān)鍵點： 強調(diào)對最高次項的討論：次數(shù)為“ 2”；系數(shù)不為“ 0”。 典型例題 ： 例 1、下列方程中是關(guān)于 R 的一元二次方程的是() 2 1 1 A3 x 1 2 x 1 B 2 2 0 xx Cax 2 bx c 0Dx2 2x x2 1 變式：當(dāng) k時，關(guān)于 R的方程 kx2 2x x2 3是一元二次方程。 例 2、方程 m 2 x m 3mx 1 0 是關(guān)于 R的一元二次方程，則

2、 m的值為。 針對練習(xí)： 1、方程 8x2 7 的一次項系數(shù)是，常數(shù)項是 。 2、若方 程 m 1x2 m x 1是 關(guān)于 R 的一元 二次方程，則 m 的取值范圍 考點二、方程的解 內(nèi)容： 使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，就是方程的解。 應(yīng)用： 利用根的概念求代數(shù)式的值； 典型例題 ： 例 1、已知 2y2 y 3 的值為 2，則 4y2 2y 1的值為 。 例 2、關(guān)于 R 的一元二次方程 a 2 x2 x a2 4 0 的一個根為 0，則 a 的值 為。 說明： 任何時候，都不能忽略對一元二次方程二次項系數(shù)的限制 . 例 3、已知關(guān)于 R 的一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的系數(shù)

3、滿足 a c b ，則此方程 必有一根為 。 說明： 本題的關(guān)鍵點在于對“代數(shù)式形式”的觀察，再利用特殊根“ -1 ”巧解代數(shù)式的 值。 例 4、已知a b，a2 2a 1 0，b2 2b 1 0，求 a b 變式： 若 a2 2a 1 0 ， b2 2b 1 0，則 a b 的值為。 ba 針對練習(xí)： 1、已知方程 x2 kx 10 0的一根是 2，則 k 為，另一根是 。 2、已知 m是方程 x2 x 1 0 的一個根，則代數(shù)式 m2 m 。 3、已知 a 是 x2 3x 1 0 的根，則 2a2 6a 。 4、方程 a b x2 b c x c a 0 的一個根為() A 1B1Cb c

4、D a 5、若 2x 5y 3 0,則 4x 32y。 作業(yè)： 1、若方程 m 2 x m 1 0 是關(guān)于 R的一元一次方程， 求 m的值；寫出關(guān)于 R 的一元一次方程。 MeiWei_81 重點借鑒文檔】 MeiWei 81 重點借鑒文檔】 x1 2、已知關(guān)于 R的方程 x2 kx 2 0 的一個解與方程 x 1 3的解相同。 x1 求 k 的值；方程的另一個解。 考點三、解法 方法： 直接開方法；因式分解法；配方法；公式法 關(guān)鍵點： 降次 類型一、直接開方法： x2 m m 0 , x m 對于 x a 2 m， ax m 2 bx n 2 等形式均適用直接開方法 典型例題 ： 2 例 1

5、 、解方程： 12x2 8 0; 2 25 16x2 =0; 3 1 x 2 9 0; 例 2 、若 9 x 1 2 16 x 2 2 ，則 R 的值為。 針對練習(xí)： 1、下列方程無解的是() A. x2 3 2x2 1B. x 2 2 0C. 2x 3 1 xD. x2 9 0 類型二、因式分解法 : x x1 x x2 0 x x1,或x x2 方程特點：左邊可以分解為兩個一次因式的積，右邊為“0 ”， 方程形式：如 ax m 2 bx n 2 ， x a x b x a x c ， x2 2ax a2 0 典型例題 ： 例 1 、 2x x 3 5 x 3 的根為() 5 5 2 A x

6、 B x 3C x1,x2 3D x 21 2 2 5 例 2 、若 4x y 2 3 4x y 4 0 ，則 4R+R 的值為 。 變式 1 ： a2 b2a2 b2 6 0,則a2 b2 。 變式 2 ：若 x y 2 x y 3 0，則 R+R 的值為。 變式 3：若 x2 xy y 14， y2 xy x 28 ，則 R+R 的值為。 例 3 、方程 x2 x 6 0 的解為() A. x1 3，x2 2B. x13，x22C. x13，x23D. x1 2，x22 例 4 、解方程： x2 23 1x2 3 40 例 5 、已知 2x2 3xy 2y2 0,則 x y 的值為 。 x

7、y 變式：已知 2x2 3xy 2y2 0,且x 0,y 0,則 x y的值為。 xy 針對練習(xí)： 1、下列說法中： 方程 x2 px q 0的二根為 x1， x2，則 x2 px q (x x1)(x x2) x2 6x 8 (x 2)(x 4). a2 5ab 6b2 (a 2)(a 3) x2 y2 (x y)( x y)( x y) 方程 (3x 1)2 7 0 可變形為 (3x 1 7)(3x 1 7) 0 MeiWei_81 重點借鑒文檔】 MeiWei 81 重點借鑒文檔】 正確的有() A.1 個 B.2 個 C.3 個 D.4 個 2、寫出一個一元二次方程，要求二次項系數(shù)不為

8、 1 ，且兩根互為倒數(shù)： 寫出一個一元二次方程，要求二次項系數(shù)不為 1 ，且兩根互為相反數(shù)： 3、若實數(shù) R、R滿足 x y 3 x y 2 0，則 R+R的值為() A、-1 或-2B 、-1 或2C、1 或-2D、1 或2 1 4、方程： x2 12 2 的解是 x 類型三、配方法 ax2 bx c 0 a 0 x 2a b2 4ac 4a 在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代數(shù)式的值或極值之類的問題。 典型例題 ： 例 1 、試用配方法說明 x2 2x 3 的值恒大于 0， 10 x2 7x 4 的值恒小于 0。 例 2、已知 R、R 為實數(shù)，求代數(shù)式 x2 y2 2x 4y

9、 7 的最小值。 變式：若 t 23x2 12x 9，則 t 的最大值為 ，最小值為 。 例 3 、已知 x2 y2 4x 6y 13 0， x 、y為實數(shù)，求 xy 的值。 變式 1：已知 x2 12 x 1 4 0，則 x 1 . x x x 變式 2：如果 a b c 1 1 4 a 2 2 b 1 4,那么 a 2b 3c的值為 類型四、公式法 條件： a 0, 且 b2 4ac 0 公式： x b b 4ac , a 0, 且b2 4ac 0 2a 典型例題 ： 例 1 、選擇適當(dāng)方法解下列方程： 31 x 2 6. x 3 x 6 8.x2 4x 1 0 3x2 4x 1 0 3

10、x 1 3x 1 x 1 2x 5 說明：解一元二次方程時， 首選方法是因式分解法和直接開方法、 其次選用求根公式法； 一般不選擇配方法。 考點四、根的判別式 b2 4ac 根的判別式的作用： 定根的個數(shù)；求待定系數(shù)的值；應(yīng)用于其它。 典型例題 ： 例 1 、若關(guān)于 x 的方程 x2 2 kx 1 0 有兩個不相等的實數(shù)根，則 k 的取值范圍 是。 例 2 、關(guān)于 R 的方程 m 1 x2 2mx m 0 有實數(shù)根，則 m 的取值范圍是 () A.m 0且m 1B. m 0C.m 1D. m 1 例 3 、已知二次三項式 9x2 (m 6)x m 2是一個完全平方式，試求 m 的值. 說明：若

11、二次三項式為一個完全平方式，則其相應(yīng)方程的判別式 0 即：若 b2 4ac 0 ，則二次三項式 ax2 bx c (a 0) 為完全平方式；反之，若 MeiWei_81 重點借鑒文檔】 MeiWei 81 重點借鑒文檔】 ax2 bx c (a 0)為完全平方式，則 b2 4ac 0. 針對練習(xí)： 1、當(dāng) k時，關(guān)于 R 的二次三項式 x2 kx 9 是完全平方式。 2 、已知方程 mx2 mx 2 0 有兩個不相等的實數(shù)根，則 m 的值是 . 考點五、根與系數(shù)的關(guān)系 前提： 對于 ax2 bx c 0而言，當(dāng)滿足 a 0、 0 時，才能用韋達定理 主要內(nèi)容： x1 x2 b,x1x2 c a

12、a 應(yīng)用： 整體代入求值。 典型例題 ： 例 1、已知一個直角三角形的兩直角邊長恰是方程 2x2 8x 7 0 的兩根，則這個直角 三角形的斜邊是() A. 3 B.3C.6D. 6 說明：要能較好地理解、 運用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系， 必須熟練掌握 a b 、 a b、 ab、 a2 b 2之間的運算關(guān)系 . 例 2 、解方程組： (1) x y 10, xy 24; (2) x2 y2 10, x y 2. 說明：一些含有 x y 、 x2 y2 、 xy的二元二次方程組，除可以且代入法來解外， 往往還可以利用根與系數(shù)的關(guān)系，將解二元二次方程組化為解一元二次方程的問題.有 時，后者顯得

13、更為簡便 例 3 、已知關(guān)于 R 的方程 k 2x2 2k 1 x 1 0 有兩個不相等的實數(shù)根 x1,x2， 1)求 k 的取值范圍； 2)是否存在實數(shù) k ，使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)？若存在，求出 k 的值；若不存 在，請說明理由 典型例題 ： 1 、關(guān)于 R 的方程 m 1 x2 2mx 3 0 有兩個實數(shù)根，則 m 為 , 只有一個根，則 m 為 。 2、解方程，判斷關(guān)于 R 的方程 x2 2 x k k 2 3根的情況。 3、如果關(guān)于 R 的方程 x2 kx 2 0及方程 x2 x 2k 0 均有實數(shù)根，問這兩方程是 否有相同的根？若有， 請求出這相同的根及 k 的值；若沒有，請說

14、明理由。 考點六：一元二次方程應(yīng)用 題 典型例題一 例某公司八月份售出電腦 200臺，十月份售出 242 臺，這兩個月平均每有增長的百分率是多少？ 分析設(shè)平均每月的增長率為 R.那么九月份售出電腦 (200 200 x)臺，即 200(1 x) 臺，十月份 售出 200(1 x) 200(1 x)x 臺，即 200(1 x)2 臺，于是根據(jù)題意，可以列出方程 . 解：設(shè)平均每月增長的百分率為 R. 依題意，有 MeiWei_81 重點借鑒文檔】 MeiWei 81 重點借鑒文檔】 200(1 x)2 242, (1 x)2 1.21, (1 x) 1.1 x1 0.1, x22.1(不符合題意

15、，舍去) 答：平均每月增長的百分率為 10%. 說明在有關(guān)增長率的問題中，要掌握等量關(guān)系： a(1 x)n p，其中 a 為變化前的數(shù)，如本題 中的 200臺， p 為變化后的數(shù)，如本題中的 242臺， R為增長(降低)率， n為變化次數(shù)，如本題從 八月到十月份共變化兩次，因此 n 2. 典型例題二 例某工廠第三年的產(chǎn)量比第一年的產(chǎn)量增長21%，平均每年比上一年增長的百分率為. 解設(shè)平均增長率為 x ，則 (1 x)2 1 21%. 1 x1.1. x1 0.1, x22.1 (不合題意，舍去) . x =10%. 說明：本題主要考查利用一元二次方程求平均數(shù)增長率的問題，解題關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)，

16、列出方程 典型例題四 2)題中，墻的長度 x(35 2x) 150. 米 .當(dāng)寬為 7.5米時， 目 例(安徽省， 1997)如圖，要建一個面積為 150m2 的長方形養(yǎng)雞場，為了節(jié)約材料，雞場的一 邊靠著原有的一條墻，墻長為 a米，另三邊用竹籬笆圍成，如果籬笆的長為 35 米. ( 1)求雞場的長與寬各為多少？( 解起著怎樣的作用？ 解( 1)設(shè)雞場的寬為 x 米，則 x1 10,x2 7.5. 當(dāng)寬為 10 米時，長為 35-20=15 35-15=20 米 . (2)由( 1)的結(jié)果可知，題中的墻長 a 對于問題的解有嚴格的限制作用 . 當(dāng) a 15 時，問題無解； 當(dāng) 15 a 20

17、時，問題有一解，只可建寬為 10 米，長 15 米一種規(guī)格的雞場； 當(dāng) a 20 時，問題有兩解，可建寬 10 米，長 15 米，或?qū)挒?7.5 米，長為 20 米兩種規(guī)格的雞場 . 說明：本題考查利用一元二次方程解與面積有關(guān)的實際問題，解題關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)，表示出 長與寬，根據(jù)面積公式列出方程，易錯點是在討論a 的限制作用時漏解或敘述不清 . 典型例題五 例 將進貨單價為 40 元的商品按 50 元出售時，能賣 500 個，已知該商品每漲價 1 元，其銷售 量就要減少 10 個，為了賺 8000 元利潤，售價應(yīng)定為多少，這時應(yīng)進貨多少個？ 分析： 該題屬于經(jīng)營問題 .設(shè)商品單價為 (50 x

18、)元，則每個商品得利潤 (50 x) 40 元，因為 每漲價 1 元，其銷售量會減少 10 個，則每個漲價 x元，其銷售量會減少 10 x 個，故銷售量為 (500 10 x)個，為了賺得 8000 元利潤，則應(yīng)有 (500 10 x) (50 x) 40 8000，進而可以求解 . 解 設(shè)每個商品漲價 x元，則銷售價為 (50 x)元，銷售量為 (500 10 x) 個. 根據(jù)題意，得 (500 10 x) (50 x) 40 8000 ； 整理，得 x2 40 x 300 0 解之，得 x1 10， x2 30. 經(jīng)檢驗， x1 10， x2 30 都符合題意 . 當(dāng) x 10 時， 50

19、 x 60 ， 500 10 x 400 MeiWei_81 重點借鑒文檔】 MeiWei 81 重點借鑒文檔】 當(dāng) x 30 時， 50 x 80 ， 500 10 x 200 答：要想賺 8000元，售價應(yīng)定為 60元或 80元，若售價為 60 元，則進貨量應(yīng)為 400個；若售 價為 80元，則進貨量應(yīng)為 200 個. 說明：根據(jù)題意列出相應(yīng)的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.對于本題要注意單價的上漲與銷售量的 減少之間的相互關(guān)系 . 典型例題六 例某人將 20RR 元人民幣按一年定期存入銀行，到期后支取 1000 元用于購物，剩下的 1000 元 及應(yīng)得利息又全部按一年定期存入銀行，若存款的利率不變，到期后本金和利息共 1320 元，求這種 存款方式的年利率。 分析：可設(shè)存款的年利率為 x ，依題意，以本利和為主線列方程解之。 解 設(shè)這種存款的年利率為 x ，則 20RR 元存入一年后，應(yīng)得本金