高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)3-1導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算同步練習(xí)北師大版

1、基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1. 曲線y= x3- 2x+ 1在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為()A. y = x 1B . y= x 1C. y = 2x 2 D . y= 2x 2答案A解析本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程的求法，在解題時(shí)應(yīng)首先驗(yàn)證點(diǎn)是否在 曲線上，然后通過(guò)求導(dǎo)得出切線的斜率，題目定位于簡(jiǎn)單題.由題可知，點(diǎn)(1,0)在曲線y = x3 2x + 1上，求導(dǎo)可得y = 3x2 2，所以在點(diǎn)(1,0)處3的切線的斜率k = 1,切線過(guò)點(diǎn)(1,0)，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式可得過(guò)點(diǎn)(1,0)的曲線y=x 2x +1的切線方程為y = x 1,故選A.2. 若函數(shù)f(x) = x2+ bx + c的圖

2、像的頂點(diǎn)在第二象限，則函數(shù) f (x)的圖像是(解析由題意可知b2,4c- b24在第二象限4c b2b0,又 f (x) = 2x + b,故選 C.廠0153. (文)如果函數(shù) f (x) = x4 x2,那么 f (i)=(A. 2i B . 2iC. 6i D . 6i答案D解析因?yàn)?f (x) = 4x3 2x,所以 f (i) = 4i3 2i = 6i.(理)設(shè)函數(shù)f(x) = (1 2x3)4，則f 等于()A. 0 B . 1C. 24 D . 24答案D332解析 f (x) = 4(1 2x) ( 6x),f (1) = 4(1 2)3x ( 6) = 24.4. 下列求

3、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是()1 , 1 ,1A.(x+ x) =1+嚴(yán)(gg 2x)=旋C. (3x) = 3xlog 3e D . (x C.-D. 1cos x) = 2xsin x答案B11XX解析(x+ x) = 1 - x2，A 錯(cuò)；(3) = 3ln3 , C錯(cuò)；2 2(x cosx) = 2xcosx x sinx, D錯(cuò)； 故選 B.15. (文)已知函數(shù)f (x)在x = 1處的導(dǎo)數(shù)為一2貝U f (x)的解析式可能為()1xA. f (x)=歹2 ln xB. f(x) = xeC. f (x) = sin xD. f (x) = -+ xx答案D解析本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)

4、算公式知只有D符合題意.x(理)若函數(shù)f (x) = e sin x,則此函數(shù)圖像在點(diǎn)(4 , f(4)處的切線的傾斜角為()nA. yB. 0C.鈍角D .銳角答案C解析f(x) = exsin x + excosx=ex(sin x+ cosx) = 2exsin( x + 才).nf =:0e2 答案A 解析sin（4 + ） v 0，則此函數(shù)圖像在點(diǎn)（4 , f（4）處的切線的傾斜角為鈍角,故選C.12）處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)126. （文）（2012 臨川高三模擬）若曲線y= x在點(diǎn)（a, a軸圍成的三角形的面積為18,則a=（）A. 64 B . 32C. 16 D . 8答案A解析求

5、導(dǎo)得y12x32(x0)，所以曲線y = x12在點(diǎn)(a, a12）處的切線l的斜率k= y|12,由點(diǎn)斜式,1得切線I的方程為y a-2_ 31 22a ( x12，所以直線I與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成3a），易求得直線l與x軸，y軸的截距分別為3a,尹1 1的三角形面積S= 1x3ax 2a 2 = 9a2 = 18,解得a= 64.（理）曲線y= e2x+ 1在點(diǎn)（0,2）處的切線與直線y = 0和y = x圍成的三角形的面積為( )1 1A.3B.2本小題考查的內(nèi)容是導(dǎo)數(shù)的幾何意義. y，= (e 2x+ 1) = 2 e 亠， 令 x = 0, y= 2, k= 2, 切線方程為y= 2x +

6、 2.y= 2x + 2如圖，聯(lián)立y= xx= 31 2s=x1X 3=13.y= 3二、填空題327. (文)已知 f (x) = ax + 3x + 2,若 f ( 1) = 4,貝U a 的值為10 答案亍2解析f (X)= 3ax + 6x, ， 10 又 f ( 1) = 3a 6 = 4,. a= 3.132(理)(2012 荷澤模擬)若函數(shù) f(x) = xf ( 1) x + x+ 5，則 f (1) =答案6132解析 f (x) = 3X f ( 1)x+ x+ 5,2f(x) = x 2f ( 1)x + 1,- f ( 1) = ( 1) 2f ( 1)( 1) + 1

7、 ,解得 f ( 1) = 2. f (x) = x + 4x+ 1,.f (1) = 6.&過(guò)原點(diǎn)作曲線y = ex的切線，則切點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，切線的斜率為 .答案(1 , e) e解析設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(牝沖)， 則切線的斜率&二ym二宀切點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率T k =e = . /. % = 1 切點(diǎn)為(I ,e)北=巳三、解答題1 349.已知曲線y= 3X + 3.求曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程；(2)求曲線過(guò)點(diǎn)P(2,4)的切線方程.分析(1)在點(diǎn)P處的切線以點(diǎn)P為切點(diǎn).(2)過(guò)點(diǎn)P的切線，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，需要設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo).2解析(1) y= x ,在點(diǎn)P(2,4)處的切線的斜率k =

8、 y|x =2 = 4.曲線在點(diǎn) R2,4)處的切線方程為y 4 = 4( x 2),即 4x y 4 = 0.1 3 41 3 4(2)設(shè)曲線y = 3X + 3與過(guò)點(diǎn)F(2,4)的切線相切于點(diǎn) A xo, -xo+ 3 ,則切線的斜率 k= y I x=x = xO.01 342切線方程為 y 3x0+ 3 = xo(x xo),2 - ( Xo+ 1)( Xo 2) = O,解得 Xo= 1 或 Xo= 2.故所求的切線方程為4xy 4 = O或x y + 2= O.能力提升一、選擇題3 1 1 .(文)已知f o(x)= COSX, f 1( x)= f o(x) ,f 2( x) =

9、 f1( x),f3(x) = f2( x)，,fn +1( x) = f n( x) , n N+,則 f 2 014( x)=()A. sin xB. sin xC. cosxD. cosx即 y = xo x：xo+ .3 32 2 3 4點(diǎn) F(2,4)在切線上， 4 = 2xo 3x0+ 3,32322即 xo 3xo+ 4= O. -xo + xo 4xo + 4= O.2-Xo( Xo+ 1) 4( Xo + 1)( Xo 1) = O.答案D解析fi（x） = sin x, f 2（ x） = cosx, f 3（x） = sin x,f4（x） = cosx, f 5（x）

10、= sin x，故 f n（x）的周期為 4,f 2014（ x） = f 2（x） = cosx.（理）設(shè)函數(shù) f （x） = si； B X3 + 3cs e x2 + tan 0，其中 B 0, 5n，則導(dǎo)數(shù) f （1）的取值范圍為（）A. 2,2 B . ；2,:3C. 、3 2 D . ：2, 2答案D解析T f（ x） = sin 0 x2 + .3cos 0 x, f （1） = sin 0 + ：3cos 0 = 2sin5 n冗n 3 n0 0, ，. 0 + =12 ，33 4 sin 0 + y # 1 , f （1） ：2, 2，故選 D.sin x1n2. （文）曲線

11、y= -_+ 2在點(diǎn)M匚,0）處的切線的斜率為（）sin x十 cosx241 1A產(chǎn)2c.答案B解析本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義，求導(dǎo)公式.-y =cosx sin x+ cosx sin x cosx sin xsin x + cosx 212.1sin x+ cosx(理)(2013 北大附中河南分校高三年級(jí)第四次月考)如果f (x)是二次函數(shù)，且f (x)的圖像開(kāi)口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1 , , 3)，那么曲線y = f(x)上任一點(diǎn)的切線的傾斜角a的取值范圍是()nn nA. (0， B .亍 p, n 2 n、 n .C (2，_ D 3，冗)答案B解析由題意可設(shè)f (x) = a(x 1)

12、2+ ;3, (a0)，因此函數(shù)圖像上任一點(diǎn)處切線 的斜率為 k= f ( x) = a(x 1)2+ .3 ,3，即 tan a ：3 所以 w a 2，選 B.二、填空題3. (2012 新課標(biāo)文，13)曲線y = x(3ln x + 1)在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為 .答案4x y 3 = 0解析本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查切線方程的求法.y= 3lnx + 4，故y|=1 = 4，所以曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y 1 = 4(x 1)，化 為一般式方程為 4x y 3= 0.在過(guò)某一點(diǎn)的切線方程時(shí)，先通過(guò)求導(dǎo)得出切線的斜率，利用點(diǎn)斜式即可寫(xiě)出切線方程， 注意最后應(yīng)將方程化為一般式

13、.4點(diǎn)P是曲線y = x2 Inx上任意一點(diǎn)，則P到直線y = x 2的距離的最小值是 .答案.2解析作直線y= x 2的平行線使其與曲線 y= x2 Inx相切，則切點(diǎn)到直線y= x 2 的距離最小.11入由 y = 2x x= 1,得 x = 1,或 x= 2(舍去)切點(diǎn)為(“)，它到直線x-y-2=0的距離為d=(h詩(shī)=三、解答題155. (2012 修水模擬)若存在過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線與曲線y = x272721525x0= 2時(shí)，由 y = 4x丁與 y=ax+2x9相切可得 a= 1，所以 a= 1 或.和y = ax2+x 9都相切,求a的值.解析設(shè)過(guò)(1,0)的直線與y = x

14、3相切于點(diǎn)(xo, x3), 所以切線方程為y x3 = 3x0( x xo),323 j即 y = 3xx 2X0,又(1,0)在切線上，則 x= 0 或 x=-,當(dāng)x= 0時(shí)，,.215 丄/口25由y = 0與y = ax + x 9相切可得 a=二,4 641156. (文)求曲線y = 3X3 + x2在點(diǎn)F(1 ,百)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積.5y 6= 2( x 1),與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)解析t y = x + x, yl x=1= 2,. k = 2.1 a 1 5函數(shù)y = fx3 + 2x2在點(diǎn)F(1 , 處的切線方程為為(o , 7),(, o),所以切線與兩坐

15、標(biāo)軸圍成的三角形的面積為17S= 2 % 1 - 61 %74912 = 144.(理)(2012 玉山模擬)設(shè)函數(shù)f(x) = ax x,曲線y=f(x)在點(diǎn)(2 , f (2)處的切線方程x為 7x 4y 12= 0.(1) 求f (x)的解析式；(2) 證明：曲線y = f (x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x = 0和直線y= x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值.71b解析(1)方程 7x 4y 12= 0可化為 y= tx 3.當(dāng) x= 2 時(shí),y=-.又 f ( x) = a + 孑1 - 2=b 一 2-a27 - 4=b 一 4+a解得a_ ,b= 3.3 故 f(x) = x

16、x.3(2)設(shè)P(xo, yo)為曲線上任一點(diǎn)，由y= 1 + 知曲線在點(diǎn)P(xo, yo)處的切線方程為x3y yo= 1 + x (x xo),33即 y xox;= 1+懇(x xo)-6 令x = 0得y= ，從而得切線與直線 x= 0的交點(diǎn)坐標(biāo)為0，一.Xoxo令y = x得y = x= 2xo，從而得切線與直線y= x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2xo,2xo).1 6所以點(diǎn)P(xo, yo)處的切線與直線x = o, y= x所圍成的二角形面積為 乙|2 xo| = 6.2Xo故曲線y =f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x = o, y= x所圍成的三角形的面積為定值，此定值為6.7.已知曲線S

17、: y= 3x x3及點(diǎn)P(2,2).求過(guò)點(diǎn)P的切線方程.解析設(shè)切點(diǎn)為(xo, yo),32則 yo= 3xo xo.又 f (x) = 3 3x ,y o 22切線斜率 k=，= 3 3xo,xo 2即 3Xo Xo 2 (Xo 2)(3 3Xo)(xo 1)( Xo 1)2 3 = 0,解得 Xo= 1 或 Xo= 1 ,相應(yīng)的斜率k= 0或k= 963.切線方程為 y= 2 或 y= ( 96 . 3)( X 2) + 2.(理)已知函數(shù)f(x) = X3+ X 16.(1)求曲線y = f(X)在點(diǎn)(2 , 6)處的切線的方程； 直線l為曲線y = f (x)的切線，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求直線

18、l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo);一 1 一 如果曲線y= f (X)的某一切線與直線 y= -X + 3垂直，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的方程.2解析 f (x) = 3x + 1, f(x)在點(diǎn)(2 , 6)處的切線的斜率為 k = f (2) = 13.切線的方程為 y= 13x 32.(2)解法1：設(shè)切點(diǎn)為(xo, yo),則直線I的斜率為f (xo) = 3x2 + 1,直線 I 的方程為 y = (3xo + 1)( x xo) + xo+ xo 16,又直線I過(guò)原點(diǎn)(o,o),23 o= (3 Xo+ 1)( Xo) + Xo+ Xo 16,整理得，Xo= 8, Xo= 2, yo = 26, k = 13.直線I的方程為y = 13x，切點(diǎn)坐標(biāo)為(一2, 26).3xo+ Xo 16yo o xo