八個(gè)有趣模型——搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球(教師版)

1、八個(gè)有趣模型一一搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球 、有關(guān)定義 1球的定義：空間中到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合（軌跡）叫球面，簡(jiǎn)稱球 2 外接球的定義：若一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面 體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的外接球 3. 內(nèi)切球的定義：若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體， 這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球 二、外接球的有關(guān)知識(shí)與方法 1性質(zhì)： 性質(zhì)1:過球心的平面截球面所得圓是大圓，大圓的半徑與球的半徑相等； 性質(zhì)2 :經(jīng)過小圓的直徑與小圓面垂直的平面必過球心，該平面截球所得圓是大圓； 性質(zhì)3:過球心與小圓圓心的直線垂

2、直于小圓所在的平面（類比：圓的垂徑定理）； 性質(zhì)4:球心在大圓面和小圓面上的射影是相應(yīng)圓的圓心； 性質(zhì)5 :在同一球中，過兩相交圓的圓心垂直于相應(yīng)的圓面的直線相交，交點(diǎn)是球心（類比：在同圓中， 兩相交弦的中垂線交點(diǎn)是圓心） 2. 結(jié)論： 結(jié)論1 :長(zhǎng)方體的外接球的球心在體對(duì)角線的交點(diǎn)處，即長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的中點(diǎn)是球心； 結(jié)論2 :若由長(zhǎng)方體切得的多面體的所有頂點(diǎn)是原長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)，則所得多面體與原長(zhǎng)方體的外接球相同； 結(jié)論3:長(zhǎng)方體的外接球直徑就是面對(duì)角線及與此面垂直的棱構(gòu)成的直角三角形的外接圓圓心，換言之， 就是：底面的一條對(duì)角線與一條高（棱）構(gòu)成的直角三角形的外接圓是大圓； 結(jié)論4:圓柱體的

3、外接球球心在上下兩底面圓的圓心連一段中點(diǎn)處； 結(jié)論5:圓柱體軸截面矩形的外接圓是大圓，該矩形的對(duì)角線（外接圓直徑）是球的直徑； 結(jié)論6:直棱柱的外接球與該棱柱外接圓柱體有相同的外接球； 結(jié)論7:圓錐體的外接球球心在圓錐的高所在的直線上； 結(jié)論 (2) 若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為 3，則其外接球的表面積是 解: 4R23 3 3 9, S 4 R29 ； (3) 在正三棱錐 S ABC中，M、N分別是棱 SC、BC的中點(diǎn)，且AM MN ,若側(cè)棱SA 2、3,則 正三棱錐S ABC外接球的表面積是 36 取AB,BC的中點(diǎn)D,E，連接AE,CD , AE,CD交于H，連接SH 則H是

4、底面正三角形 ABC的中心， SH 平面 ABC , SH AB, AC BC , AD BD , CD AB,AB 平面 SCD, AB SC,冋理：BC SA, AC SB，即正三棱錐的對(duì)棱互垂直, 本題圖如圖(3) -2 ,AM MN , SB/MN , AM SB, AC SB,SB 平面 SAC, SB SA, SB SC, SB SA, BC SA, SA 平面 SBC,SA SC , 故三棱錐S ABC的三棱條側(cè)棱兩兩互相垂直， 解：引理：正三棱錐的對(duì)棱互相垂直 .證明如下：如圖（3） -1 , （3）題-1（引理） 題-2 （解答圖） (2R)2 (2.3)2 (2、3)2 (

5、2、3)2 36 , 2 即4R 36 ,正三棱錐 S ABC外接球的表面積是36 （4）在四面體S ABC中，SA 平面ABC , BAC 120 ,SA AC 2, AB 1,則該四面體的外接 球的表面積為（D ） A.11 B.7 eV 3 d.40 3 解：在 ABC中, BC2 AC2 2 AB 2AB BC 2r工- sin BAC 2.7 3， 2 (2R)(2r) 2 BC ABC的外接球直徑為 （5）如果二棱錐的二個(gè)側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為 解：由已知得三條側(cè)棱兩兩垂直，設(shè)三條側(cè)棱長(zhǎng)分別為 ab bc 12 abc 24, a 3, b 4, c ac （6）已知某幾何

6、體的三視圖如圖所示, 何體外接球的體積為 解：（2r）2 b2 c2 R2 40 ,S 3 6、4、3，那么它的外接球的表面積是 a,b, c ( a,b,c R 2, (2r)2 a2 b2 ），則 c229, S 4 R229 , 3-3 8 類型二、對(duì)棱相等模型（補(bǔ)形為長(zhǎng)方體） 題設(shè)：三棱錐（即四面體）中，已知三組對(duì)棱分別相等， 求外接球半徑 第一步：畫出一個(gè)長(zhǎng)方體，標(biāo)出三組互為異面直線的對(duì)棱； (AB CD , AD BC , AC BD ) 第二步：設(shè)出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為a,b,c, AD BC x, AB CD AC BD z,列方程組, 2 a b2 2 c b2 2 c 2

7、a 2 x 2 y 2 z 2 (2R) 2 , 2 2 abc x2 補(bǔ)充： 2-1 中, VA BCD abc 1 abc 6 4 abc. 3 a :訂 y c 、 f L C T A -X . - 圖2-1 i 2 2 2 第三步根據(jù)墻角模型，2R 、a2 b2 c2； Z R2 x2y2z2 8 ， 求出R. 思考：如何求棱長(zhǎng)為a的正四面體體積，如何求其外接球體積? 例2（ 1）如下圖所示三棱錐 A BCD，其中AB CD 5, AC BD 6, AD BC 7,則該三棱錐外接 球的表面積為. 解：對(duì)棱相等，補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，如圖 2 2 2 2 a b c 55， 4R 55, 2-1

8、，設(shè)長(zhǎng)寬高分別為a,b,c，2（a b S 55 c2) 25 36 49110 （2）在三棱錐A BCD中, 球的表面積為 AB 29 解: 如圖 2-1， b2 b2 (3) （i）題圖 CD 2，AD BC 3, AC BD 4，則三棱錐 BCD外接 設(shè)補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，三個(gè)長(zhǎng)度為三對(duì)面的對(duì)角線長(zhǎng), 設(shè)長(zhǎng)寬高分別為 a, b,c， 2b29， 2 2 c a 16 29，4R2 2 2(a2 29 ，S 2 2 2 b c ) 9 4 16 2 2 29， 2(a b c2) 9 1629， 29 2 正四面體的各條棱長(zhǎng)都為 2，則該正面體外接球的體積為 解：正四面體對(duì)棱相等的模式，放入正方

9、體中, V3433 R ，V 238 （4）棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過該球球心的一個(gè)截面如下圖，則圖中三 角形（正四面體的截面）的面積是 （4）題解答圖 解：如解答圖，將正四面體放入正方體中，截面為 PCOi，面積是. 2 . 類型三、漢堡模型（直棱柱的外接球、 F O2 O C A E B Ci Bi Ai 圖3-1 圓柱的外接球） Ci Ai B i C A B 圖3-2 - _ O2 Oi Ci Oi 圖3-3 題設(shè)：如圖3-i，圖3-2，圖3-3,直三棱柱內(nèi)接于球（同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是 任意三角形） 第一步：確定球心 0的位置，Oi是 A

10、BC的外心，則OOj 平面ABC ； 1 i 第二步：算出小圓 0!的半徑A0i r，00i - AAi -h（ AA, h也是圓柱的高）； 2 2 第三步：勾股定理：OA2 O,A2 O,O2R2 (-)2 r2R r2 (h)2，解出 R 2V 2 例3（ i） 一個(gè)正六棱柱的底面上正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上, 9 且該六棱柱的體積為 -，底面周長(zhǎng)為3，則這個(gè)球的體積為 解：設(shè)正六邊形邊長(zhǎng)為 8 a，正六棱柱的咼為 h，底面外接圓的半徑為 r，則a 1 2 正六棱柱的底面積為 S 6 二（丄）2 3、3 ,V柱 Sh 3、3 , h 9 h - 3, 4

11、R2 12 C 3)24 42 8 8 8 243 2 i 也可R2( 3)2(丄) 2 1), R 1, 球的體積為V球 4 ; 2 2 3 （2）直三棱柱ABC AiBiCi的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若 AB AC AA, 2, BAC 120，則此 球的表面積等于 V13廠2 3 13, r c ,r 2 QD, R 4 , R 2 , S 表 16 2 2 4 4 法二：OiM 解： BC 2 . 3 , 2r2 3 sin 120 4 , r 2 , R 5, S 20 ； (3) 已知 EAB所在的平面與矩形 ABCD所在的平面互相垂直， EA EB 3, AD 2, AEB 60

12、，則多面體 E ABCD的外接球 的表面積為 16 解：折疊型, 法一: :EAB的外接圓半徑為r1 、3 , OO1 1, R . 1 32 ； .換一種方式，通過算圓柱 法三：補(bǔ)形為直三棱柱，可改變直三棱柱的放置方式為立式，算法可同上，略 的軸截面的對(duì)角線長(zhǎng)來求球的直徑: (2R)2 (2、一 3)2 22 16，S表 16 （4）在直三棱柱 ABC A1B1C1中, AB 4, AC 6, A, AA1 4，則直三棱柱 3 ABC A1B1C1的外接 球的表面積為 160 解: 法一: BC2 16 36 28， BC ”，2r 2；4 J r 2、7 3， R2 r2 (AA1)2 2

13、 160 3 法二：求圓柱的軸截面的對(duì)角線長(zhǎng)得球直徑，此略 第二講錐體背景的模型 類型四、切瓜模型（兩個(gè)大小圓面互相垂直且交于小圓直徑一一正弦定理求大圓直徑是通法） 1 如圖4-1，平面PAC 平面ABC，且AB BC （即AC為小圓的直徑），且P的射影是 ABC的外 心 三棱錐P ABC的三條側(cè)棱相等 三棱P ABC的底面 ABC在圓錐的底上，頂點(diǎn) P點(diǎn)也是圓 錐的頂點(diǎn). 解題步驟： 第一步：確定球心 0的位置，取 ABC的外心01，則PQ,。!三點(diǎn)共線; 第二步：先算出小圓 01的半徑A01 r，再算出棱錐的高 P01 h （也是圓錐的高） 第三步：勾股定理：OA2 OiA2 O1O2R2

14、 （h R）2 r2，解出R ； 2.如圖4-2，平面PAC 平面ABC，且AB BC （即AC為小圓的直徑），且PA AC，則 利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：（2R） PA (2r)2R . PA (2r); R2 r2 OO12R 3.如圖4-3，平面PAC 、r2 OO12 平面ABC，且AB BC （即AC為小圓的直徑） 事實(shí)上，ACP的外接圓就是大圓，直接用 正弦定理也可求解出R. OC2 OlC2 O1O2R2 r2 O1O2 AC 2 R2 O1O2 4題設(shè)：如圖4-4，平面PAC 平面ABC，且AB BC （即AC為小圓的直徑） 第一步：易知球心 0必是 PAC的外心，即

15、PAC的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑AC 2r ; 第二步：在 PAC中，可根據(jù)正弦定理 a sin A b sin B 2R，求出R. sin C 例4（ 1）正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上， 若該棱錐的高為1，底面邊長(zhǎng)為2.3，則該球的表面積為 _. 解：法一：由正弦定理（用大圓求外接球直徑）；法二：找球心聯(lián)合勾股定理， 2R 7, S 4 R249 （2）正四棱錐S ABCD的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為 2，各頂點(diǎn)都在同一球面上，則此球體積為 解：方法一：找球心的位置，易知r 1 , h 方法二：大圓是軸截面所的外接圓，即大圓是 4 2R 2, R 1 , V 3 （3） 一個(gè)正三棱錐的四個(gè)

16、頂點(diǎn)都在半徑為 三棱錐的體積是（） 4 V 3 SAC的外接圓，此處特殊，Rt SAC的斜邊是球半徑， 1, h r，故球心在正方形的中心 ABCD處，R 1, 1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正 （4）在三棱錐P ABC中，PA PB PC .3 ,側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60 ,則該三棱錐外 A. 33 4 B. C. 3 3 d 4 3 .72 解：高h(yuǎn) R 1,底面外接圓的半徑為R 1，直徑為 2R 2, 設(shè)底面邊長(zhǎng)為 a，則 2Ra2 , a 、3 , S 仝 23.3 a2，三棱錐的體積為V Sh、3 sin 60 4 4 34 接球的體積為（ A. B

17、. C. 4 D. 解：選D,由線面角的知識(shí)，得 ABC的頂點(diǎn) A, B,C在以 -為半徑的圓上，在圓錐中求解，R 1 ; （5）已知三棱錐S ABC的所有頂點(diǎn)都在球 徑,且SC 2，則此棱錐的體積為（ O的求面上, ）A ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球O的直 A 2 B.仝 6 6 D. 解：OOiR2 r2 1 （ ；）2 弓,h 2、6 3 怙1三空三 33 436 類型五、垂面模型(一條直線垂直于一個(gè)平面) 1題設(shè)：如圖5, PA 平面ABC，求外接球半徑 解題步驟： 第一步：將 ABC畫在小圓面上， A為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑AD，連接PD，則PD必過 球心0 ; 第

18、二步：0,為 ABC的外心，所以00, 平面ABC，算出小圓0,的半徑0,D r (三角形的外接圓直 徑算法：利用正弦定理，得 a b c sin Asin BsinC 1 2r），00i - PA ； 2 第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：(2R)2 PA2 (2r)22R PA2 (2r)2 ； R2 r2 0012Rr2 0012 . 2題設(shè)：如圖5-1至5-8這七個(gè)圖形，P的射影是 ABC的外心 三棱錐P ABC的 三條側(cè)棱相等三棱錐P ABC的底面 ABC在圓錐的底上，頂點(diǎn) P點(diǎn)也是圓錐的 頂點(diǎn) 第一步：確定球心 0的位置，取 ABC的外心Oi，則P,O,Oi三點(diǎn)共線; 第二

19、步：先算出小圓 01的半徑A01 r，再算出棱錐的高 P01 h （也是圓錐的高） 第三步: 勾股定理：OA201A2 OiO2 R2 (h R)2 r2，解出 R 方法二: 小圓直徑參與構(gòu)造大圓，用 正弦定理求大圓直徑得球的直徑 例5 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為 16 3 ()C A. 3 C. D.以上都不對(duì) B. 解：選C， 球心在圓錐的高線上, 法一：（勾股定理）利用球心的位置求球半徑, (3 R)2 1 RR23，S 4R2 PMN的外接圓是大 法二：（大圓法求外接球直徑）如圖，球心在圓錐的高線上，故圓錐的軸截面三角形 24 圓，于是2R，下略; sin

20、60 了3 第三講 二面角背景的模型 類型六、折疊模型 題設(shè)：兩個(gè)全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊（如圖6） A 第一步：先畫出如圖 6所示的圖形，將 BCD畫在小圓上，找出 BCD和 ABD的外心H“和H2; 第二步：過Hi和H2分別作平面BCD和平面ABD的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為球心0，連接OE,OC ； 第三步：解 OEHj，算出0比，在Rt OCH1中，勾股定理： OH； CH； 0C2 注：易知O,Hi,E,H2四點(diǎn)共面且四點(diǎn)共圓，證略 例6( 1)三棱錐P ABC中，平面PAC 平面ABC， PAC和厶ABC均為邊長(zhǎng)為2的正三角形，則 三棱錐P ABC外接球的半徑為 解：

21、如圖，2r1 2r2 2 sin 60 4 3，r1 R2 o2h2 、15 法二: O2H 1 .3 ，OiH AH 1, (1)題 R2 AO2 AH 201H2 O1O2 (2)在直角梯形 ABCD中, AB/CD， A 90， C 45，AB AD 1，沿對(duì)角線BD折成四面 體A BCD，使平面ABD 表面積為4 平面 BCD，若四面體A BCD的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上, 則該項(xiàng)球的 (2)題-1 (2)題-2 S C 題 解：如圖，易知球心在 BC的中點(diǎn)處，S表4 (3)在四面體 S ABC 中，AB BC, AB BC 面體S ABC的外接球表面積為 6 解：如圖，法一： cos SO

22、,B cos(一) 2 、2，二面角S AC B的余弦值為,則四 3 BD C為120的四 60，沿對(duì)角線BD折成二面角A 一小V3 、6 sin OO-|O2 cos OO1O2 5 3 3 O1O2 2 1 3 OO1 ，R 1 ，S 4 cos OO1O2 2 2 2 法二: 延長(zhǎng)BO1到D使DO1 BO1 r1， 由余弦定理得 (4)在邊長(zhǎng)為2 3的菱形ABCD中, BAD R26； SB . 6，SD 、2，大圓直徑為 2R SB . 6 ； 面體ABCD，則此四面體的外接球表面積為 28 (4)題圖 解：如圖，取BD的中點(diǎn)M , ABD和 CBD的外接圓半徑為r1 2， ABD 和

23、 CBD 的外心 O1,O2 到弦BD的距離(弦心距)為 d1 d2 1， 法一：四邊形 OO1MO2的外接圓直徑OM 2，R . 7，S 28 法二：OO1 法三：作出 CBD的外接圓直徑CE,則AM CM 3, CE ME 1，AE cos AEC 7 16 27 2 7 4 1，sin AEC 3 3，2R 2“72、7 AC sin AEC 3327，R 7 ； 3. 3 2、7 在四棱錐 ABCD 中， BDA 120 , BDC 150 , AD BD 2, CD .3 ,二面角 A BD C 的平面角的大小為120，則此四面體的外接球的體積為 解：如圖，過兩小圓圓心作相應(yīng)小圓所在

24、平面的垂線確定球心， C抽象化 (5)題解答圖-2 AB 2 3， 2，弦心距02M BC ,13， 1 .13，弦心距0,M O1O2. 21，OM 。1。2 sin 120 2.7， 法一：R2 0D2 MD2 0M 229, 116 . 29 ; 3 法二：00； 0M 2 2 O2M25 ,R2 0D2 r； 2 00229，R . 29， 116 29 類型七、兩直角三角形拼接在一起(斜邊相同，也可看作矩形沿對(duì)角線折起所得三棱錐 )模型 題設(shè)：如圖7，APB ACB 90，求三棱錐P ABC外接球半徑(分析：取公共的斜邊的中點(diǎn)O， 1 連接0P,0C，則0A OB 0C OP -AB

25、 ,0為三棱錐P ABC外接球球心，然后在 0CP中 2 求出半徑)，當(dāng)看作矩形沿對(duì)角線折起所得三棱錐時(shí)與折起成的二面角大小無關(guān)，只要不是平角球半徑都 為定值 例7 (1)在矩形ABCD中，AB 4, ABCD的外接球的體積為 125 9 R - , V 2 AB 2, BC 則四面體 A.空 12 解：(1)2R AC 5， (2)在矩形ABCD中, BC R3 3，沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角 B AC D , ) 125 6 125 8 125 3 3 3，沿BD將矩形 125 ，選C 6 ABCD折疊，連接AC，所得三棱錐A BCD 的外接球的表面積為 解: BD的中點(diǎn)是球心O

26、, 2R BD 13 , S 4 R2 13 第四講多面體的內(nèi)切球問題 類型八、錐體的內(nèi)切球問題 模型 1.題設(shè)：如圖8-1，三棱錐P ABC上正三棱錐，求其內(nèi)切球的半徑 第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，E,H分別是兩個(gè)三角形的外心； 1 第二步：求DH BD , PO PH r, PD是側(cè)面 ABP的高； 3 第三步：由 POE相似于 PDH，建立等式： 竺 PO，解出r DH PD 2題設(shè)：如圖8-2，四棱錐P ABC是正四棱錐，求其內(nèi)切球的半徑 c A 第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，P,O, H三點(diǎn)共線； 1 第二步：求FH BC , PO PH r , PF是側(cè)面PCD的高; 2 OG

27、po 第三步：由 POG相似于 PFH，建立等式：OG -PO，解出 HF PF 2 & 圖 3題設(shè)：三棱錐 P ABC是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑 方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和相等 第一步：先畫出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體體積； 第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為 r，建立等式：VP ABC VO ABC VO PAB Vo pacPBC 1 S 1 S 1 S 1 S 1 c c VP ABC S ABC r SPAB r SPAC r SPBC r (S ABCS 3 3 3 3 3 PAB 第三步：解出r SPACS pbc ) 3V P ABC SO ABCS

28、O PABSO PAC So PBC 例8(1)棱長(zhǎng)為a的正四面體的內(nèi)切球表面積是 解:設(shè)正四面體內(nèi)切球的半徑為 r,將正四面體放入棱長(zhǎng)為 a2的 中(即補(bǔ)形為正方體)，如圖，則 33 Vv1 aa Vpabc 3V正方體3 2、.2 6、. 2 2 a 6 正方體 B 1 1 3 2 r 3 2 乂 Vp abc 4 Sr 4 a r a r , 3 3 4 3 D A (1)題 13 62，r .7 1 2 2 2 2a 內(nèi)切球的表面積為 S表 4 r(注：還有別的方法，此略) 6 (2)正四棱錐S ABCD的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為3，則其內(nèi)切球的半徑為 解：如圖，正四棱錐S ABCD的高h(yuǎn) -.,7，正四棱錐S ABCD的體積為 V abcd 側(cè)面斜高h(yuǎn),2. 2，正四棱錐S ABCD的表面積為S表 4 8 2， 正四棱錐S ABCD的體積為VS abcd -S表 r 4 8 2 r， 33 4 8、2 3 4一7.7 4 8、21 2、2 7(2