《有理數(shù)》(基礎(chǔ))知識講解

1、有理數(shù)全章復(fù)習(xí)與鞏固（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標】1 理解正負數(shù)的意義，掌握有理數(shù)的概念.2理解并會用有理數(shù)的加、減、乘、除和乘方五種運算法則進行有理數(shù)的混合運算.3學(xué)會借助數(shù)軸來理解絕對值、有理數(shù)比較大小等相關(guān)知識.4.理解科學(xué)記數(shù)法及近似數(shù)的相關(guān)概念并能靈活應(yīng)用.5.體會數(shù)學(xué)知識中體現(xiàn)的一些數(shù)學(xué)思想.【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點梳理】要點一、有理數(shù)的相關(guān)概念1有理數(shù)的分類：（ 1）按定義分類：（2）按性質(zhì)分類：要點詮釋： （ 1）用正數(shù)、負數(shù)表示相反意義的量；（ 2）有理數(shù)“ 0”的作用：作用表示數(shù)的性質(zhì)舉例0 是自然數(shù)、是有理數(shù)表示沒有3個蘋果用 +3 表示，沒有蘋果用0 表示表示某種狀態(tài)00C 表示冰點表

2、示正數(shù)與負數(shù)的界點0非正非負，是一個中性數(shù)2數(shù)軸： 規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線要點詮釋：（1）一切有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示出來，數(shù)軸上的點不都表示的是有理數(shù)，如（ 2）在數(shù)軸上，右邊的點所對應(yīng)的數(shù)總比左邊的點所對應(yīng)的數(shù)大3相反數(shù)： 只有符號不同的兩個數(shù)互稱為相反數(shù)，0 的相反數(shù)是0要點詮釋： （1）一對相反數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點位于原點兩側(cè)，并且到原點的距離相等，這兩點是關(guān)于原點對稱的（ 2）求任意一個數(shù)的相反數(shù)，只要在這個數(shù)的前面添上“”號即可（ 3）多重符號的化簡：數(shù)字前面“ ”號的個數(shù)若有偶數(shù)個時，化簡結(jié)果為正，若有奇數(shù)個時，化簡結(jié)果為負4絕對值：（ 1) 代數(shù)意義：一個正數(shù)的絕

3、對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0 的絕對值是0 數(shù)a 的絕對值記作a a( a0)| a | 0( a 0)a(a0)（ 2) 幾何意義：一個數(shù)a 的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a 的點與原點的距離要點二、有理數(shù)的運算1 法則：（ 1）加法法則：同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)（ 2）減法法則：減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù)即a-b=a+(-b)（ 3）乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘任何數(shù)同0 相乘，都得 0（ 4）除法法則：除以一個不等于

4、0 的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)即ab=a 1 (b 0)b（ 5）乘方運算的符號法則：負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)；正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)， 0 的任何非零次冪都是 0(6) 有理數(shù)的混合運算順序：先乘方，再乘除，最后加減；同級運算，從左到右進行；如有括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行要點詮釋： “奇負偶正”口訣的應(yīng)用：（1）多重負號的化簡，這里奇偶指的是“”號的個數(shù)，例如： （ 3） = 3， + （ 3） =3 （ 2）有理數(shù)乘法，當多個非零因數(shù)相乘時，這里奇偶指的是負因數(shù)的個數(shù)，正負指結(jié)果中積的符號，例如： （ 3）（ 2）（ 6） = 36，而（ 3）（

5、2） 6=36（ 3）有理數(shù)乘方，這里奇偶指的是指數(shù)，當?shù)讛?shù)為負數(shù)時，指數(shù)為奇數(shù)，則冪為負；指數(shù)為.0.1 米，說明結(jié)果與實際數(shù)相差偶數(shù)，則冪為正，例如：2運算律：（ 1）交換律 : 加法交換律（ 2）結(jié)合律 :加法結(jié)合律：（ 3）分配律： a(b+c)=ab+ac要點三、有理數(shù)的大小比較( 3)29，( 3)327:a+b=b+a ； 乘法交換律 :ab=ba ；(a+b)+c=a+(b+c)；乘法結(jié)合律： （ ab） c=a(bc)比較大小常用的方法有： （ 1）數(shù)軸比較法；（ 2）法則比較法： 正數(shù)大于0，0 大于負數(shù)，正數(shù)大于負數(shù)；兩個負數(shù)，絕對值大的反而?。?(3) 作差比較法 （

6、4）作商比較法； （ 5) 倒數(shù)比較法要點四、科學(xué)記數(shù)法、近似數(shù)及精確度1.科學(xué)記數(shù)法： 把一個大于10 的數(shù)表示成a 10n 的形式（其中 1 a 10 ， n 是正整數(shù)），此種記法叫做科學(xué)記數(shù)法例如：200 000= 2105 2.近似數(shù)： 接近準確數(shù)而不等于準確數(shù)的數(shù)，叫做這個精確數(shù)的近似數(shù)或近似值. 如長江的長約為6300 ，這里的 6300 就是近似數(shù) .要點詮釋： 一般采用四舍五入法取近似數(shù)，只要看要保留位數(shù)的下一位是舍還是入.3. 精確度： 一個近似數(shù)四舍五入到哪一位，就稱這個數(shù)精確到哪一位，精確到的這一位也叫做這個近似數(shù)的精確度 .要點詮釋：（ 1）精確度是指近似數(shù)與準確數(shù)的接

7、近程度.（ 2）精確度有兩種形式：精確到哪一位保留幾個有效數(shù)字這兩種的形式的意義不一樣，一般來說精確到哪一位可以表示誤差絕對值的大小，例如精確到不超過 0.05米，而有效數(shù)字往往用來比較幾個近似數(shù)哪個更精確些【典型例題】類型一、有理數(shù)相關(guān)概念1若一個有理數(shù)的： ( 1) 相反數(shù)；（ 2）倒數(shù)； ( 3) 絕對值； ( 4) 平方； (5) 立方，等于它本身 則這個數(shù)分別為 ( 1) _； ( 2) _；( 3) _； ( 4) _；（ 5） _【答案】（ 1） 0；(2)1和- 1；( 3) 正數(shù)和0；( 4)1 和 0；( 5)- 1、0 和 1【解析】 根據(jù)定義，把符合條件的有理數(shù)寫全.【

8、總結(jié)升華】 要全面正確地理解倒數(shù)，絕對值，相反數(shù)等概念.舉一反三：【高清課堂：有理數(shù)專題復(fù)習(xí)357133概念的理解與應(yīng)用】【變式】 (1) 12的倒數(shù)是；1 2的相反數(shù)是； 1 2的絕對值是.333-（ -8 ）的相反數(shù)是；1 的相反數(shù)的倒數(shù)是 _.2(2)某種食用油的價格隨著市場經(jīng)濟的變化漲落，規(guī)定上漲記為正， 則 -5.8元的意義是 _；如果這種油的原價是76 元，那么現(xiàn)在的賣價是.(3)上海浦東磁懸浮鐵路全長30km，單程運行時間約為8min, 那么磁懸浮列車的平均速度用科學(xué)記數(shù)法表示約為m min.(4)若 a、 b 互為相反數(shù)， c、 d 互為倒數(shù)，則 3cd2 (ab) _ .3(

9、5)近似數(shù) 0.4062精確到位，近似數(shù) 5.47 105 精確到位，近似數(shù)3.5萬精確到位，3.4030 105 精確到千位是.【答案】（ 1）3；12； 12 ； -8 ；2 （2）降價 5.8元， 70.2元；（ 3）3.753；（4） 3；53310（ 5）萬分；千；千； 3.40 1052如果 ( x- 2) 2+| y- 3| 0，那么 ( 2x- y) 2005 的值為 () A 1B- 1C 22006D 32005【思路點撥】 利用非負數(shù)的性質(zhì)，求出x , y 的值再代入計算【答案】 A【解析】 因為 ( x- 2) 2，| y- 3| 都是非負數(shù)， 且 ( x- 2) 2+

10、| y- 3| 0， 所以由非負數(shù)的性質(zhì)先求出x=2 ，y =3 的值，代入得：( 2x- y) 2005=1 2005=1【總結(jié)升華】 偶次方與絕對值都具有非負性3在下列兩數(shù)之間填上適當?shù)牟坏忍枺?005 _ 2006 20062007【思路點撥】 根據(jù)“ a-b 0， a-b 0， a-b 0 分別得到 a b，a b， a b”來比較兩數(shù)的大小【答案】 【解析】 法一：作差法由于 20052006200520072006200610 ，所以 20052006200620072006200720062007200620072006112007法二：倒數(shù)比較法：因為1200512006200

11、52006所以 2005200620062007【總結(jié)升華】比較大小常用的有五種方法，要根據(jù)數(shù)的特征選擇使用舉一反三：【變式】比較大小：( 1)12_0. 001；( 2)_- 0. 68993【答案】（ 1）（ 2）類型二、有理數(shù)的運算4（ 1）（ 12） 5+（ 14）（ 39）（ 2） 32（ 3） 2+3 （ 2） +| 4|（ 3）（ 4）1526061215410.7515522（5） 121112 113 32 124142434( 0.2)3【答案與解析】解：（ 1）（ 12） 5+（ 14）（ 39）=12 5 14+39=31+39=8（ 2） 32（ 3） 2+3 （ 2

12、） +| 4| =99 6+4 =1 6+4=3（ 3）152606 12 15= 60 60 60=10 25 8=23（ 4）410.7515522= （） （） 32= 2 32= 30=24（5） 1211121 1332 124142434( 0.2)312457552411654343151452472455241254043412705633012540112140120 3940【總結(jié)升華】有理數(shù)的混合運算首先弄清運算順序，先乘方，再乘除，最后算加減，有括號先算括號里邊的，同級運算從左到右依次進行計算，然后利用各種運算法則計算，有時可以利用運算律來簡化運算舉一反三：【變式】計算

13、： （ 1）( 2)11(2)22（2） 24610320061【答案】 解：（ 1） ( 2)11( 2)(1) 1(2) (1)2(2) 4222（2） 24610320061=-16+4-3 1=-15類型三、數(shù)學(xué)思想在本章中的應(yīng)用5（ 1）數(shù)形結(jié)合思想：有理數(shù)a 在數(shù)軸上對應(yīng)的點如圖所示，則a， - a，1 的大小關(guān)系A(chǔ) - aa 1B 1- a aC 1- a aD a1 - a（ 2）分類討論思想：已知| x| 5， | y| 3求 x- y 的值（ 3）轉(zhuǎn)化思想：計算：3135( )147【答案與解析】解：（ 1）將 - a 在數(shù)軸上標出，如圖所示，得到a 1 - a，所以大小關(guān)

14、系為：a 1 - a所以正確選項為：D（ 2）因為 | x| 5，所以 x 為 - 5 或 5因為 | y| 3，所以 y 為 3 或 - 3當 x 5， y 3 時， x- y 5- 32當 x 5， y - 3 時， x- y 5-(- 3) 8當 x - 5， y 3 時， x- y - 5- 3 - 8當 x - 5， y - 3 時， x- y- 5-(- 3) - 2故（ x- y）的值為 2 或 8（ 3）原式 = 353(7) 35737 246114142【總結(jié)升華】 在解題中合理利用數(shù)學(xué)思想，是解決問題的有效手段數(shù)形結(jié)合“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”使問題簡單化，具體化；分類討

15、論中注意分類的兩條原則：分類標準要統(tǒng)一，而且分類要做到不重不漏； 轉(zhuǎn)化思想就是把 “新知識” 轉(zhuǎn)化為 “舊知識”，將“未知” 轉(zhuǎn)化為 “已知”舉一反三：【變式】若a 是有理數(shù)， | a|- a 能不能是負數(shù) ?為什么 ?【答案】 解：當 a 0 時， | a|- a a- a 0；當 a 0 時， | a|- a 0- 0 0；當 a 0 時， | a|- a - a- a - 2a0所以，對于任何有理數(shù) a，| a|- a 都不會是負數(shù)類型四、規(guī)律探索6將 1，1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 1 ， ，按一定規(guī)律排列如下：23456請你寫出第20 行從左至右第10 個數(shù)是 _【思路點撥】通過觀察題目所給的圖形、表格或一段語言敘述，然后歸納總結(jié)，尋找規(guī)律【答案】12