利用空間向量解立體幾何完整版

1、向 量 法 解 立 體 幾 何 、基本工具 1. 數(shù)量積：a b a|b cos 2. 射影公式：向量a在b上的射影為a b lb 3. 直線Ax By C 0的法向量為 A,B，方向向量為B, A 4. 平面的法向量(略) 二、用向量法解空間位置關(guān)系 1. 平行關(guān)系 線線平行兩線的方向向量平行 線面平行線的方向向量與面的法向量垂直 面面平行兩面的法向量平行 2. 垂直關(guān)系 線線垂直(共面與異面)兩線的方向向量垂直 線面垂直線與面的法向量平行 面面垂直兩面的法向量垂直 三、用向量法解空間距離 1. 點(diǎn)點(diǎn)距離 點(diǎn) P %, %,召與Q x2, y2,Z2 的 距離為 PQ 7(x2_xi)2 (

2、y2yj2 億_Z)2 2. 點(diǎn)線距離 求點(diǎn)P x,y至U直線l:Ax By C 0的距離： 方法：在直線上取一點(diǎn)Q x, y , 則向量PQ在法向量n A,B上的射影 uuu PQ n = |AXg By。c n VA2 b2 即為點(diǎn)P到l的距離. 3. 點(diǎn)面距離 求點(diǎn)P xo,yo到平面的距離： 方法：在平面 上去一點(diǎn)Q x,y，得向量PQ 計(jì)算平面的法向量n， 計(jì)算PQ在 上的射影，即為點(diǎn)P到面 的距離. 四、用向量法解空間角 1. 線線夾角（共面與異面） 線線夾角 兩線的方向向量的夾角或夾角的補(bǔ)角 2. 線面夾角 求線面夾角的步驟： 先求線的方向向量與面的法向量的夾角， 若為銳角角即可

3、，若 為鈍角，則取其補(bǔ)角； 再求其余角，即是線面的夾角. 3. 面面夾角（二面角） 若兩面的法向量一進(jìn)一出，則二面角等于兩法向量的夾角；法 向量同進(jìn)同出，貝匸面角等于法向量的夾角的補(bǔ)角 實(shí)例分析 亠、運(yùn)用法向量求空間角 向量法求空間兩條異面直線a, b所成角B,只要在兩條異面直線 a, b 上各任取一個(gè)向量 uuir uuirr .ujir unr亠 AA和BB，則角 =0 或 n - 0, 因?yàn)?uuur uuir 9是銳角，所以COS 0 = BBr ,不需要用法向量 AA BB 1、運(yùn)用法向量求直線和平面所成角 線AB和平面a所成的角0的正弦值為 設(shè)平面a的法向量為n= (X, y, 1

4、)，則直 uuu r sin 0 = cos( - 0) = |cos AB , n 二 2 uuu r AB ? n -tutur- AB ? n 2、運(yùn)用法向量求二面角 設(shè)二面角的兩個(gè)面的法向量為n ,n2 ,則n 1, n2 或n - ni,n2是所求 角。這時(shí)要借助圖形來(lái)判斷所求角為銳角還是鈍角，來(lái)決定口,n2 是所求，還是n - n1, n2是所求角。 二、運(yùn)用法向量求空間距離 1、求兩條異面直線間的距離 設(shè)異面直線a、b的公共法向量為n 在a、b上任取一點(diǎn)A、B,則異面直線a 離 uuu r d =AB cos / BAA =|AB-?n| |n| 略證：如圖，EF為a、b的公垂線

5、段，a為過(guò)F與a平行的直 線， / / / / 在a、b上任取一點(diǎn)A B,過(guò)A作AA = EF,交a于A , ULULT r/LLin r 則AA?/n，所以/ BAA = (或其補(bǔ)角) / UUU T 異面直線 a、b 的距離 d =AB cos/ BAA =|A?n| * |n| 其中，n的坐標(biāo)可利用a、b上的任一向量a,b (或圖中的AE.BF ), 及n的定義得 TTT T 解方程組可得n nan?a0 TTT T nbn?b0 2、求點(diǎn)到面的距離 求A點(diǎn)到平面a的距離，設(shè)平面a的法向量法為n (x, y,1)，在a UUL T 內(nèi)任取一點(diǎn)b,則a點(diǎn)到平面a的距離為d二wBz, n的坐

6、標(biāo)由n與 |n| 平面a內(nèi)的兩個(gè)不共線向量的垂直關(guān)系， 得到方程組(類似于前面所 述，若方程組無(wú)解，則法向量與XOY平面平行，此時(shí)可改設(shè)n (1,y,0), 下同)。 3、求直線到與直線平行的平面的距離 求直線a到平面a的距離，設(shè)平面a的法向量法為 n (x,y,1)，在 直線a上任取一點(diǎn)A,在平面a內(nèi)任取一點(diǎn)B,則直線a到平面a的 UUT T 距離d =孝山 |n| 4、求兩平行平面的距離 設(shè)兩個(gè)平行設(shè)平面a、B的公共法向量法為n (x,y,1),在平面a、 UJU T B內(nèi)各任取一點(diǎn) A B,則平面a到平面B的距離d = |n| 、證明線面、面面的平行、垂直關(guān)系 設(shè)平面外的直線a和平面a、

7、 (3,兩個(gè)面a、B的法向量為n-i,n2 , 四、應(yīng)用舉例: 例1 如右下圖，在長(zhǎng)方體ABCA1B1GD中，已知AB=4, AD=3, AA= 2. E、F分別是線段 AB BC上的點(diǎn)，且EB= FB=1. (1) 求二面角C- DE-Ci的正切值; 求直線EC與FD所成的余弦值. (I )以A為原點(diǎn)， (2) 解： 建立空間直角坐標(biāo)系, 貝S D(0,3,0) C(432) uur 于是，DE 設(shè)法向量n 、D(0,3,2) uir uur uurr AB,AD,AA1分別為X軸, 、E(3,0,0)、F(4,1,0) uur (3, 3,0), EC1 (x,y,2)與平面CDE垂直，則

8、有 umr (1,3,2), FD1( 4,2,2) y軸,z軸的正向 (II )設(shè)EG與FD所成角為B,則 例2:如圖，已知四棱錐P-ABCD底面ABC兎菱 形，/ DAB=60, PDL平面 ABCD PD=AD 點(diǎn) E為 AB中點(diǎn)，點(diǎn) F為PD中點(diǎn)。 (1)證明平面 PEDL平面 PAB (2)求二面角 P-AB-F的平面角的余弦值 證明：(1)V 面 ABCD菱形，/ DAB=60 ABD是等邊三角形，又E是AB中點(diǎn)，連結(jié)BD / EDB=30, / BDC=60EDC=90 如圖建立坐標(biāo)系 D-ECP設(shè)AD=AB=1貝S PF二FD2 , ED3 , 2 2 P (0, 0，1)，E

9、(萼, 0), B (亦 uuruur PB=(竝,丄，-1 ) , PE = 2 2 -1 ), uuir 平面PED的一個(gè)法向量為DC = (0, 1, 0) 設(shè)平面 PAB的法向 量為n= (X, y, 1) r uuu n PB r uuu n PE 運(yùn)1 (X,yJ)?,? 1) (x,y,1)? ,0, 1) X 2 X 2 1y1 2 3 0 ；,0, 1) lur uuur / DC n=0 即 DC 丄 n 二平面 PEDL平面 PAB (2)解：由(1)知：平面PAB的法向量為 r 2 n=煌，0, 1), 設(shè)平面 FAB的法向量為n1二(X, y, -1), 由(1)知:

10、 urn F( 0, 0,寸),FB = / 3 (T, i), ur FE n1 uuu FB uuu FE (X, y, (x, y, 73 1 1 亍孑1) (怕0,2) 1 尹 1 0 2 r 一 /1 n1= (- .3 ,0, -1) .二面角 P-AB-F的平面角的余弦值COS 0 = |cos| 5.7 14 例3:在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-AiCD中，C是正方形ABGD的中 心，點(diǎn)P在棱CG上，且CG=4CP. （I ）求直線AP與平面BCGB所成的角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表 示）； （II）設(shè)C點(diǎn)在平面DiAPh的射影是H,求證：DH丄AP; （皿）求點(diǎn)P到平面ABD

11、的距離. 解：（I ）如圖建立坐標(biāo)系D-ACD A (4, 0, 0), B(4, 4, 0), P (0, 4, 1) - uur 顯然 DC = (0, 4, 0) uuu AP = (-4, 4, 1), 為平面BCGB的一個(gè)法向量 直線AP與平面BCGB1所成的角B的正弦值 sin 0 = |cosi=1L J42 42 1?V? 33 P “為銳角直線AP與平面BC所成的角。為a 堺 (皿)設(shè)平面ABD的法向量為n= (x, y, 1), uuu /、 ADi = (-4 , 0, 4) uuu /、 AB= (0, 4, 0), 丄 r uuu rujun 由n丄AB , n丄AD

12、1 得 y4x04 0 n= ( 1,0, 1), 點(diǎn)P到平面ABD勺距離d = uuu AP -r n 3、2 2 例4:在長(zhǎng)、寬、高分別為 2, 2, 3的長(zhǎng)方體ABCD-AiGD中，0 是底面中心，求AO與BC的距離。 解：如圖, 建立坐標(biāo)系 D-ACD,則0（ 1, 1, (2, 2, 3), uujr 二 AO ( 1,1, C(0, 2, 0) uiur 3) B1C ( 2,0, 設(shè)AO與BC的公共法向量為n r uiur n AO r uiur n B1C (x,y,1)?( 1,1, 3)0 (x, y,1)?( 2,0, 3) 0 x 2x -3 ,1) 2 2 A1O與B

13、C的距離為 uuuj r d =IABr?n| |n| 3 3 0,2,0?3,3,1 2 2 :3232 1 ；22 3 11 3 22 11 例5:在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-/BCD1中, 的中點(diǎn)，求A到面BDFE的距離。 解：如圖，建立坐標(biāo)系 D-ACD,則B（ 1, E (1 , 1, 1) 2 uuuuuu BD( 1, 1,0) BE 1 （丹） uur AB 設(shè)面BDFE勺法向量為n (x,y,1), 二 n (2, 2,1) A 至U面 BDFE的 luuu 3)A1B1(0,2,0) E、F分別是BC、 1, 0)，Ai (1, 0, 距離為 CD 1）， (0,1, uuur r = IAB?n| O,1, 1 ? 2, 2,11 |n|:2 2 13 五、課后練習(xí): 1、如圖,已知正四棱柱 ABCD-A1CD, AB=1,AA=2,點(diǎn)E為CG中點(diǎn)， 點(diǎn)F為BD中點(diǎn).(1)證明EF為BD與CG的公垂線；(2)求 點(diǎn)D到面BDE的距離. 2、已知正方形ABCD邊長(zhǎng)為1過(guò)D作PDL平面 E、F分別是AB和BC的中點(diǎn)，(1)求D到平面PEF 直線AC到平面PEF的距離 3、在長(zhǎng)方體 ABCD-ABCD 中，AB=4 BC=3