概率統(tǒng)計(jì)：第3章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1、2021-5-51 , 2 , 1,)(ipxXP ii i ii px .)( i i i pxXE 1. 1. 離散隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望離散隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 定義定義: : 設(shè)離散隨機(jī)變量X的概率函數(shù)為 若級數(shù)絕對收斂 則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 (簡稱期望期望或均值均值) 為 否則，稱X的數(shù)學(xué)期望不存在. ),),| | |( ( i ii px即即 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 2021-5-52 注注1 E X 是一個常數(shù)是一個常數(shù), 它是一種它是一種加權(quán)平均加權(quán)平均. . 與一般的平均值不同與一般的平均值不同, 它從本質(zhì)上體現(xiàn)了它從本質(zhì)上體現(xiàn)了X 取取 可能值的可能值的真正的平均值真正的平

2、均值, 也稱也稱均值均值. 注注2 級數(shù)的絕對收斂性級數(shù)的絕對收斂性保證了級數(shù)的和不隨保證了級數(shù)的和不隨 級數(shù)各項(xiàng)次序的改變而改變級數(shù)各項(xiàng)次序的改變而改變. . 因?yàn)閿?shù)學(xué)期望是反映隨機(jī)變量因?yàn)閿?shù)學(xué)期望是反映隨機(jī)變量X 取可能值的取可能值的 平均值平均值, 它不因可能值的排列次序而改變它不因可能值的排列次序而改變. . .) )( ( i i i pxXE 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 2021-5-53 則X的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望（或均值均值）為 .)()( dxxxfXE dxxxf)(絕對收斂 2. 2. 連續(xù)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望連續(xù)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 若積分 否則，稱X的數(shù)學(xué)期望不存在. ,dxxf|x|

3、)( 即 定義定義. 設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X的概率密度為f (x), 2021-5-54 任一隨機(jī)變量X都有數(shù)學(xué)期望（或均值）嗎？ 反例：反例：設(shè)X服從柯西分布(Cauchy distribution ), ., ) 1( 1 )( 2 x x xf 求數(shù)學(xué)期望E(X). 解: . （不絕對收斂）（不絕對收斂）不存在不存在 密度函數(shù)為 dxxfx)( dx x x 1 1 2 0 2 1 2 dx x x 0 2 ) 1ln( 1 x ) 1ln(lim 1 2 x x 思考思考 2021-5-55 定理定理 設(shè)X是一個隨機(jī)變量, Y g(X), 則 當(dāng)X為離散型時, P(Xxi) pi , (i

4、1,2,); 為連續(xù)型. 為離散型; Xxxfxg Xpxg XgEYEi ii ,d , 當(dāng)X為連續(xù)型時, X的密度函數(shù)為f (x). 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望：公式法隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望：公式法 2021-5-56 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) ；為常量CCCE,)() 1 ( ；為常量則存在若CXCECXEXE),()(,)()2( ；，)()()()()()3(YEXEYXEYEXE則存在與若 ，為常量存在若 n C, 2n CCXEXEXE 121 )(,),()( ) 3 ( ，存在與相互獨(dú)立與若)()()4(YEXEYX ； n i ii n i ii XECXCE 11 )()

5、(則 . )()()(YEXEXYE則 2021-5-57 例例. .設(shè)X服從超幾何分布H(n,M,N),求E(X). 問題還原：設(shè)有一批產(chǎn)品共N件， 其中有M件次品 和N-M件合格品， 不放回地抽取n件樣品， n件樣品中的次品數(shù)X的數(shù)學(xué)期望。 求抽出的 解：設(shè)Xi表示第i次取出的樣品中的次品數(shù)，則 Xi服從“0-1”分布： i X i p 01 N MN N M ni, 2 , 1 2021-5-58 Xi的數(shù)學(xué)期望 )( i XE 則X的數(shù)學(xué)期望 n i i XX 1 )E(X 常見的基本方法：常見的基本方法：可以將一個比較復(fù)雜的隨可以將一個比較復(fù)雜的隨 機(jī)變量機(jī)變量 X 拆成有限多個比較

6、簡單的隨機(jī)變量拆成有限多個比較簡單的隨機(jī)變量 Xi 之和之和, 再利用期望性質(zhì)求得再利用期望性質(zhì)求得X的期望的期望. N M N MN 10 n次抽樣中的次品數(shù)X, )( 1 n i i XE n i i XE 1 )( N M n. N nM . N M 2021-5-59 方差方差 (Variance 或或 Dispersion) .XEXEXD 2 )()( )(XD (),X 定義定義. 設(shè)X是一隨機(jī)變量， 則稱EX-E(X)2稱為X的方差方差記作D(X) 即 方差的算術(shù)平方根 稱為 X 的標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差， 記作即 ).()()()( 2 XXDXDX或 若EXE(X)2存在， 2 ()

7、X或 2021-5-510 注注: : (2) 方差D(X) 用來體現(xiàn)隨機(jī)變量X取值分散的程度, 反映了X偏離其數(shù)學(xué)期望E(X)的程度. (3) 如果D(X)值越大(小小)， 表示X取值越分散(集中集中), 以E(X)作為隨機(jī)變量X的代表性越差（好好）. 0 ;(1) 由定義知，D(X)=EX-E(X)2 2021-5-511 方差的計(jì)算方差的計(jì)算 i ii pXExXD 2 )()( , 2 , 1,)(ipxXPX ii 的分布列為其中 dxxfXExXD)()()( 2 (1)利用隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望公式 離散隨機(jī)變量的方差 連續(xù)隨機(jī)變量的方差 ).(的概率密度為其中xfX 2021-

8、5-512 (2)利用方差公式 . 22 )()()(XEXEXD )(XD)( 2 XEXE 且E(X2) 也存在, 則 證明: )()(2 22 XEXXEXE 22 )()()(2)(XEXEXEXE .)()( 22 XEXE 定理：設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)存在， 2021-5-513 ；為常量CCD, 0)() 1 ( ；為常量則存在,若CXDCCXDXD),()()()2( 2 則存在與且相互獨(dú)立與若，)()()3(YDXDYX . )()()(YDXDYXD 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì) 則為常量,相互獨(dú)立,若 n2 C,C, 121 ,)3(CXXX n . )()( 1 2 1

9、 n i ii n i ii XDCXCD 2021-5-514 U( (a, b) ) e(e( ) ) 其其它它,0 ; , 1 )( bxa ab xf P( ( ) ) 2 a b 2 () 12 b a ! )( k e kXP k 1 2 1 B( (n, p) ) ( (01) ) p pq np npq kkq pkXP 1 )( k n k n k qpCkXP ) ( 1,10,1 , 0qppk 1 , 1 0, 1 , 0qppnk , 1 , 0,0k ,0; ( ) 0,0. x ex f x x 常用隨機(jī)變量的期望與方差常用隨機(jī)變量的期望與方差 分布分布分布列或密度函數(shù)分布列或密度函數(shù) 期望期望方差方差 2021-5-515 原點(diǎn)矩與中心矩原點(diǎn)矩與中心矩 1. k 階原點(diǎn)矩：階原點(diǎn)矩：)( k XE )( k XEXE2. k 階中心矩：階中心矩： 特別地，k=1,E(X)為數(shù)學(xué)期望. k=2, EX-E(X)2為方差. k=2,E(X2)為2階原點(diǎn)矩,其計(jì)算公式 . 22 )()()(XEXDXE 特別地，k=1, EX-E(X)=0. 2021-5-516 1.1.協(xié)方差協(xié)方差 ).()()(YEYXEXEX,Ycov 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù) .YEXEXYE)()()()(X,Yc