分式方程競賽題（經(jīng)典實(shí)用）

1、第一講 分式方程(組)的解法分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程解分式方程的基本思想是轉(zhuǎn)化為整式方程求解，轉(zhuǎn)化的基本方法是去分母、換元，但也要靈活運(yùn)用，注意方程的特點(diǎn)進(jìn)行有效的變形變形時(shí)可能會(huì)擴(kuò)大(或縮小)未知數(shù)的取值范圍，故必須驗(yàn)根例1 解方程 解 令yx22x8，那么原方程為去分母得y(y15x)(y9x)(y15x)y(y9x)0，y24xy45x20，(y5x)(y9x)0，所以 y9x或y5x由y9x得x22x89x，即x27x80，所以x11，x28；由y5x，得x22x85x，即x27x80，所以x38，x41經(jīng)檢驗(yàn)，它們都是原方程的根例2 解方程180解 設(shè)y，則原方程可化為y18

2、0y218y720，所以 y16或y212當(dāng)y6時(shí)，x24x6x6，故x22x60，此方程無實(shí)數(shù)根當(dāng)y12時(shí)，x24x12x12，故x28x120,故x28x120，所以 x12或x26經(jīng)檢驗(yàn)，x12，x26是原方程的實(shí)數(shù)根例3 解方程分析與解 我們注意到：各分式的分子的次數(shù)不低于分母的次數(shù)，故可考慮先用多項(xiàng)式除法化簡分式原方程可變?yōu)椋淼?，去分母、整理得x90，x9經(jīng)檢驗(yàn)知，x9是原方程的根例4 解方程分析與解 方程中各項(xiàng)的分子與分母之差都是1，根據(jù)這一特點(diǎn)把每個(gè)分式化為整式和真分式之和，這樣原方程即可化簡原方程化為，即，所以(x6)(x7)(x2)(x3)解得x經(jīng)檢驗(yàn)x是原方程的根例5

3、解方程分析與解 注意到方程左邊每個(gè)分式的分母中兩個(gè)一次因式的差均為常數(shù)1，故可考慮把一個(gè)分式拆成兩個(gè)分式之差的形式，用拆項(xiàng)相消進(jìn)行化簡原方程變形為，整理得去分母得x29x220，解得 x12，x211經(jīng)檢驗(yàn)知，x12，x211是原方程的根例6 解方程分析與解 分式方程如比利式，且本題分子與分母的一次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)符號(hào)相反，故可考慮用合比定理化簡原方程變形為，所以x0或2x23x22x25x3解得x0或x經(jīng)檢驗(yàn)，x0或x都是原方程的根例7 解方程分析與解 形式與上例相似本題中分子與分母只是一次項(xiàng)的符號(hào)相反，故可考慮用合分比定理化簡原方程變形為即當(dāng)x0時(shí)，解得x1經(jīng)檢驗(yàn)，x1是原方程的根，且x0也是原

4、方程的根說明 使用合分比定理化簡時(shí)，可能發(fā)生增根和失根的現(xiàn)象，需細(xì)致檢驗(yàn)像這類特殊類型的方程可以化成一元二次方程，因而至多有兩個(gè)根顯然a1時(shí)，x1a與x2就是所求的根例如，方程，即，所以x13，x2例8 解方程解 將原方程變形為，設(shè)，則原方程變?yōu)榻獾?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，x1；經(jīng)檢驗(yàn)x1及x均是原方程的根例9 解關(guān)于x的方程解 設(shè)y，則原方程變?yōu)樗詙12或y2由，得x1a2b；由，得x2b2a將x1a2b或x2b2a代入分母bx，得ab或2(ba)，所以，當(dāng)ab時(shí)，x1a2b及x2b2a都是原方程的根當(dāng)ab時(shí)，原方程無解例10 如果方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求a的值及對(duì)應(yīng)的原方程的根分析與解 將原方程變

5、形，轉(zhuǎn)化為整式方程后得2x22x(a4)0 原方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，因此，方程的根的情況只能是：(1)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即442(a4)0解得a此時(shí)方程的兩個(gè)相等的根是x1x2（2）方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，而其中一根使原方程分母為零，即方程有一個(gè)根為0或2（i）當(dāng)x0時(shí)，代入式得a40，即a4這時(shí)方程的另一個(gè)根是x1(因?yàn)?x22x0，x(x1)0，x10或x21而x10是增根)它不使分母為零，確是原方程的唯一根（ii）當(dāng)x2時(shí)，代入式，得2422(a4)0，即a8這時(shí)方程的另一個(gè)根是x1(因?yàn)?x22x40(x2)(x1)0，所以x12(增根)，x21)它不使分母為零，確是原方程的唯一根因此，若原分式方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，所求的a的值分別是，4，8，其對(duì)應(yīng)的原方程的根一次為，1，1練習(xí)一1填空：（1）方程的一個(gè)跟是10，則另一個(gè)跟是_（2）如果方程有等值異號(hào)的根，那么m_（3）如果關(guān)于x的方程有增根x1