高中數(shù)學(xué)必修5用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式

1、用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式在高中數(shù)學(xué)教材中， 有很多已知等差數(shù)列的首項(xiàng)、 公比或公差 (或者通過(guò)計(jì)算可以求出數(shù)列的首項(xiàng) ,公比 ),來(lái)求數(shù)列的通項(xiàng)公式。但實(shí)際上有些數(shù)列并不是等差、等比數(shù)列,給出數(shù)列的首項(xiàng)和遞推公式 ,要求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。而這些題目往往可以用構(gòu)造法，根據(jù)遞推公式構(gòu)造出一個(gè)新數(shù)列，從而間接地求出原數(shù)列的通項(xiàng)公式。對(duì)于不同的遞推公式，我們當(dāng)然可以采用不同的方法構(gòu)造不同的類(lèi)型的新數(shù)列。下面給出幾種我們常見(jiàn)的構(gòu)造新數(shù)列的方法：一利用倒數(shù)關(guān)系構(gòu)造數(shù)列。an11n例如： 數(shù)列中，若 a1 2,4(nN ), 求 aan 1an設(shè)bn1, 則 bn 1bn +4,an即 bn 1bn ，b

2、n 是等差數(shù)列?？梢酝ㄟ^(guò)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出bn ,然再求后數(shù)列 an 的通項(xiàng)。練習(xí)： 1)數(shù)列 an中， n ，且滿(mǎn)足a111, (n N ),求 ana 0, an 1123an2)數(shù)列 an 中， a11, an12an, 求 an 通項(xiàng)公式。an2n中 , a11, an0,且an2an an 1an 1n3)數(shù)列 a0(n 2, n N ), 求 a .二構(gòu)造形如 bnan2的數(shù)列。例：正數(shù)數(shù)列 a n 中，若 a15, an12an24(nN ), 求an解：設(shè) bnan2, 則bn 1 bn4,即bn1bn4精品文檔數(shù)列 bn 是等差數(shù)列，公差是4， b1225a1bn25(n

3、1)(4)294n即 an24n29a n294n , (1n7, nN )練習(xí)：已知正數(shù)數(shù)列 a n 中， a12, an 2an 1 (n2, nN ) ,求數(shù)列 a n 的通項(xiàng)公式。三構(gòu)造形如 bnlg an 的數(shù)列。例：正數(shù)數(shù)列 a n中，若 11lg an1 , (n2, nN ),求 ana =10,且 lg an.2解：由題意得：lg an1， 可設(shè) bn lg an，lg an 12即 bn1 ,bn 12bn 是等比數(shù)列，公比為1， b1lg 10 12bn 1 (1) n 1( 1)n 1 ,(n N) .22( 1 ) n 1 , a n(1) n 1即 lg a n10

4、 22練習(xí)：（選自 2002 年高考上海卷）數(shù)列 a n中，若12,n是正整數(shù)，求數(shù)列n的通項(xiàng)公式。a =3, an 1an a 四構(gòu)造形如 bnanm 的數(shù)列。例：數(shù)列 a n中，若 1n+1n求數(shù)列n的通項(xiàng)公式。a =6,a=2a +1, a解： an+1n即 n+1（ n）設(shè) bn+1=2a +2,a+1=2a +1n則 nn-1= a +1,b = 2 b首項(xiàng) = a+17,則數(shù)列 b n是等比數(shù)列，公比是2,bbn7 2 n 1,即 an1 7 2 n 1.an7 2n 11 ， (n N )構(gòu)造此種數(shù)列，往往它的遞推公式形如：an 1c and, (c 1)和 Sn ann 2的形

5、式 。如： an+1 c an+d,設(shè)可化成 an+1+x=c(an+x),an+1=c an+(c-1)x用待定系數(shù)法得：(c-1)xd x= d . c 1又如： n+an=n+2,則n-1+an-1=n+1,二式相減得： n n-1 +a na n-1 =，即 an +a na n-1 =， 2 a nan-1=，an = 1 an-1+ 1 .22如上提到 bn = a n 11d = a n 1練習(xí)： 1. 數(shù)列 ancn求 n滿(mǎn)足 n+12.數(shù)列 aa=3a +2,a 滿(mǎn)足+a =2n+1, 求 annnn五構(gòu)造形如 bnan 1an 的數(shù)列。例：數(shù)列 a n中，若 1 =3,an

6、+2n+1nN),求 n。解： an+2n+1na =， a+ 4 a - 5a =0 (na得：n+2n+1（ n n）+ 4 a - 5a =0aa = - 5aa設(shè) bn = an an，則數(shù)列 b n 是等比數(shù)列，公比是 -5,首項(xiàng) b= a2- a12, an an=2?(-5)n-1即 a a =2?(-5) a a =2?(-5)a a =2?(-5)an an =2?(-5)n-2以上各式相加得： an a =2?（-5） (-5) (-5)（ -5）n-1n 1n1 （5）即： a a=2?( 5)1an1 1 ( 5) n 1，即 an4 ( 5)n 1，（ n N )33

7、精品文檔當(dāng)遞推公式中， an 與 an 的系數(shù)相同時(shí)，我們可構(gòu)造 bn = an an， 然后用疊加法得： b1+b2 +b3+b4+bn = an-a1通過(guò)求出數(shù)列 bn前 n-1 項(xiàng)和的方法，求出數(shù)列 a n 的通項(xiàng)公式。1) 當(dāng)遞推公式中形如 :an+1=a n+an+b ;an+1=a n+qn(q1) ;an+1=a n+qn +an+b 等情形時(shí)，可以構(gòu)造 bnn n得n；nnnn。= aa ,:b = an+bb = q ;b =q+an+b求出數(shù)列前 n-1 項(xiàng)的和 Tn-1,Tn-1= a( n 1) n(n 1)b ;2Tn-1= q(1q n1 ) ；1qTn-1= q(

8、1q n1 ) + a(n21)n( n1)b1q即：n=a(n1) n(n1)b;a a2n = q(1q n 1 );a a1qn=a( n1) nnbq(1q n 1 )a(1) +a21q從而求出n+a(n1)n(n1)b;a=a2n + q(1q n 1 );a = a1qan =a + a(n 1)n(n 1)b + q(1 q n 1 ) 。21q2）當(dāng)遞推公式中形如 :1；an+1=a n+1；an+1=a n+1等情形an+1=a n+1)1）(2n1)nnn(n（2n1可以構(gòu)造 bnn n得： n1；bn=1； bn=1= aa ,:b =n(n1)1)n 1（ 2n 1）

9、(2nn.n11n111n=n 1n即 b=n；b =2(1 2n) ；bn12n1從而求出求出數(shù)列前 n-1 項(xiàng)的和 Tn-1,Tn-1=11 ；Tn-1= 1 (11) ；Tn-1= n 1n22n 11即：an a =1;nn=11) a(1;a2n12n =n1aa從而求出an +11;=anan= a + 1 (11) ;22n1an =a +n1練習(xí)： 1）數(shù)列 a n中，若1n+1nn.a =1，a-a =2n,求通項(xiàng) a2）數(shù)列 a n 中，若 a1=1，an+1-a n=2n,求通項(xiàng) an.3)數(shù)列 an中，若1an1an2nn ，求通項(xiàng) an.a =2，六構(gòu)造形如 bnan

10、1的形式。an例：數(shù)列 an中，若1，(n1)an1n.a =1nan ，求 a解：由 (n1) an 1an1nna n 得：ann1a21，a32，a43ann 12a23a34， na1an 1用累乘法把以上各式相乘得：an1a1n an1 。n當(dāng)遞推公式形如： anq n an ； ( n1)an 1nan ； nan 1 (n1)an 等形式，我們可精品文檔以構(gòu)造 bnan1。an可得 :bnq n ;bnnn ; bnn 1 .1n然后用疊乘法得： b1b2b3bn 1an。a1令數(shù)列 b n的前n-1項(xiàng)的積為An-1 則,n( n1)1 ; An 11An 1q 2； An 1n

11、nann( n 1)an1an1從而得到：q2；a1a1na1nn (n1)1 ； ana1 1 。an a1 q 2； ana1nn練習(xí)： 1）數(shù)列 an中，若1an2 n an，求 an.a =2，七構(gòu)造形如 bnan 1man 的形式。例：數(shù)列 an中， 1， nn-1，求 n.a =2S =4a+1a解：=4a+1S =4a+1Sn n-1，n-1n-2二式相減： Sn-Sn-1=4an-1-4an-2an =4an-1 -4an-2an -2an-1=2（an-1-an-2）設(shè) bn n+1 n，=a -2aSn+1nn+2n+1n等形式時(shí)，因當(dāng)遞推公式形如=4a +2;a=pa +qa (p+q=1)an-2an+1=2(an+1-2a