易拉罐的優(yōu)化設(shè)計(jì)

1、易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)組員：邢登峰，張娜，劉夢(mèng)云摘要研究易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)可以節(jié)約的資源是很可觀的。問題一，我們通過實(shí)際測(cè)量得岀（355ml）易拉罐各部分的數(shù)據(jù)。問題二，在假設(shè)易拉罐蓋口厚度與其他部分厚度之比為3： 1的條件下，建 立易拉罐用料模型垃）=2/（厶+ 2門，山微積分方法求最優(yōu)解，結(jié)論：易拉 Trr罐高與直徑之比2： r用料最??；在假定易拉罐高與直徑2： 1的條件下，將 易拉罐材料設(shè)想為外體積減內(nèi)體積，得用料模型：min s（rji）g（r,h） = r2h-v = Os.t 0/0用微積分方法得最優(yōu)解：易拉罐蓋子鳳度與其他部分厚度為3： lo問題三，在易拉罐基本尺寸，

2、高與直徑之比2： 1的條件下，將上面為正圓 臺(tái)的易拉罐用料優(yōu)化設(shè)計(jì)，轉(zhuǎn)化為正圓柱部分一定而研究此正圓臺(tái)的用料優(yōu)化設(shè) 計(jì)。模型圓臺(tái)面積5(r) = nr1 + r)9,2(r2 +rR + R2)2+ (Z)2用數(shù)學(xué)軟件求得最優(yōu)解r=1.467, h=1.93時(shí)，s=45.07最小。結(jié)論：易拉罐總高：底直徑=2： 1,上下底之比2,與實(shí)際比較分析了各 種原因。問題四，從重視外觀美學(xué)要求（黃金分割），認(rèn)為高與直徑之比1: 0.4更別 致、美觀。對(duì)這種比例的正圓柱體易拉罐作了實(shí)際優(yōu)化分析。另從美學(xué)及經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度提出正四面柱體易拉罐的創(chuàng)新設(shè)想，分析了這樣易 拉罐的優(yōu)缺點(diǎn)和尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)。最后寫出了我們對(duì)

3、數(shù)學(xué)建模的體會(huì)文章。關(guān)鍵詞：易拉罐 最優(yōu)設(shè)計(jì) 數(shù)學(xué)建模問題重述在生活中我們會(huì)發(fā)現(xiàn)銷量很大的飲料（例如飲料量為355毫升的可口可樂、青島啤酒等）的飲料罐（即易拉罐）的形狀和尺寸兒乎都是一樣的。看來，這并非 偶然，這應(yīng)該是某種意義下的最優(yōu)設(shè)計(jì)。當(dāng)然，對(duì)于單個(gè)的易拉罐來說，這種最 優(yōu)設(shè)計(jì)可以節(jié)省的錢可能是很有限的，但是如果是生產(chǎn)兒億，甚至兒十億個(gè)易拉 罐的話，可以節(jié)約的錢就很可觀了?，F(xiàn)在就請(qǐng)你們小組來研究易拉罐的形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)問題。具體說，請(qǐng) 你們完成以下的任務(wù)：1-取一個(gè)凈含量為355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可樂飲料 罐，測(cè)量你們認(rèn)為驗(yàn)證模型所需要的數(shù)據(jù)，例如易拉罐各部分的直徑、高

4、度, 厚度等，并把數(shù)據(jù)列表加以說明；如果數(shù)據(jù)不是你們自己測(cè)量得到的，那么 你們必須注明出處。2. 設(shè)易拉罐是一個(gè)正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計(jì)？其結(jié)果是否可以 合理地說明你們所測(cè)量的易拉罐的形狀和尺寸，例如說，半徑和高之比，等 等。3. 設(shè)易拉罐的中心縱斷面如下圖所示，即上面部分是一個(gè)正圓臺(tái)，下 面部分是一個(gè)正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計(jì)？其結(jié)果是否可以合理地說明你們所測(cè)量的易拉罐的 形狀和尺寸。4. 利用你們對(duì)所測(cè)量的易拉罐的洞察和想象力，做出你們自己的關(guān)于易拉 罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)。問題的提出我們只要稍加留意就會(huì)發(fā)現(xiàn)銷量很大的飲料（例如飲料量為355毫升的可口 可怎、青島啤酒等）的飲料罐（即

5、易拉罐）的形狀和尺寸兒乎都是一樣的?？磥?， 這并非偶然，這應(yīng)該是某種意義下的最優(yōu)設(shè)計(jì)。當(dāng)然，對(duì)于單個(gè)的易拉罐來說， 這種最優(yōu)設(shè)計(jì)可以節(jié)省的錢可能是很有限的，但是如果是生產(chǎn)兒億，甚至兒十億 個(gè)易拉罐的話，可以節(jié)約的錢就很可觀了。對(duì)于易拉罐的形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì) 我們提出了以下問題：1. 取一個(gè)飲料量為355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可樂飲料罐， 測(cè)量你們認(rèn)為驗(yàn)證模型所需要的數(shù)據(jù)，例如易拉罐各部分的直徑、高度，厚度等, 并把數(shù)據(jù)列表加以說明；如果數(shù)據(jù)不是你們自己測(cè)量得到的，那么你們必須注明 出處。2. 設(shè)易拉罐是一個(gè)正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計(jì)？其結(jié)果是否可以合理 地說明你們所測(cè)量的易拉罐

6、的形狀和尺寸，例如說，半徑和高之比，等等。3設(shè)易拉罐的中心縱斷面如圖所示，即上面部分是一個(gè)正 圓臺(tái)，下面部分是一個(gè)正圓柱體，什么是它的最優(yōu)設(shè)計(jì)？其結(jié)果是 匚否可以合理地說明你們所測(cè)量的易拉罐的形狀和尺寸。4.利用你們對(duì)所測(cè)量的易拉罐的洞察和想象力，做出你們自己的關(guān)于易拉 罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)。二.模型假設(shè)1、假設(shè)易拉罐的各個(gè)組成部分是同一種材料；不考慮具體的用料（假設(shè) 為鋁材），也不考慮易拉罐的工藝過程。2、易拉罐的形狀和尺寸假設(shè)為“正圓柱體”或“正圓臺(tái)與正圓柱體的結(jié)合” 等等。3、實(shí)際測(cè)量允許有一定的誤差。4、問題二中的假設(shè)： 在本問題的研究中，假設(shè)易垃罐是一個(gè)正圓柱體； 假設(shè)易拉罐側(cè)面和

7、底面的厚度相同，頂部的厚度是側(cè)面厚度的3倍;三模型的假設(shè)與求解問題一：我們測(cè)得355ml易拉罐（雪碧）尺寸如下（單位mm）：（以后尺寸均以其為上 圓臺(tái)上底直徑59蓋厚0.30下底直徑67上圓臺(tái)側(cè)面厚0.20高度13正 圓柱直徑67壁厚0.10高度110基本單位）問題1:本題建立在易拉罐是一個(gè)正圓柱體的基礎(chǔ)之上，如圖（2） 假設(shè)易拉罐側(cè)面厚度與底面厚度相同，與頂蓋厚度不同。1. 符號(hào)說明： r：易拉罐的半徑； h：易拉罐的同； V：易拉罐內(nèi)體積（容積）； SV：易拉罐所用材料的體積; b:易拉罐除頂蓋外的厚度；a ：頂蓋厚度參數(shù)，即頂蓋厚度a。2. 問題分析與模型由于易拉罐尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)要研究到易

8、拉罐各部分厚度問題，可設(shè)想一個(gè)易拉 罐所用材料是易拉罐外形體積減去內(nèi)部體積(見圖2)。易拉罐用料=側(cè)面材料+底面材料+頂蓋材料sv=( (r + b)2-7rr2 )(h+( 1+ 0/z03. 模型求解由約束條件g(rji) = r2h-v = 0 ,得h =二，代入目標(biāo)函數(shù) nr2v?5(r,/z(r) = Z? + /r(l + a)廠(r 0)因?yàn)閟 = 4b 2;r(l + a) +二 0所以一極小值點(diǎn)。乂山于極值點(diǎn)只有此一個(gè)，因此也是全局極小。又由于力=厶=上也）2=（1 + q）J_L_ =仆+ a）r,則由對(duì)問題二 7tr V vY（l + tz）龍的前一解的結(jié)論，力=4廠，得

9、4 = 1 + q,結(jié)論：a = 3。4. 結(jié)果分析易拉罐頂蓋片度是側(cè)而片度的3倍（z = 3 ）,與我們對(duì)355ml可I可樂等易 拉罐的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)完全一致（見問題（1）的解）。問題三：本題建立在易拉罐上面是一個(gè)正圓臺(tái)，下面是一個(gè)正圓柱體的基礎(chǔ)之上，如 圖（3）1.符號(hào)說明R：易拉罐正圓柱體半徑（也即是正圓臺(tái)下底半徑）; r：易拉罐正圓臺(tái)上底半徑；hl：易拉罐正圓柱體高；VI：易拉罐正圓柱體容積；h :易拉罐正圓臺(tái)高；V：易拉罐正圓臺(tái)容積。3問題分析與模型因?yàn)樯鲜鼋鈫栴}二的結(jié)論（正圓柱體易拉罐用料最省的形狀和尺寸的最優(yōu) 設(shè)計(jì)是h=2D）已確定了圓柱形易拉罐的基本尺寸，若易拉罐體積一定，則基本 的

10、高與半徑可大致確定，即易拉罐的圓柱體部分確定。所以這里我們可以山此簡(jiǎn) 化問題為研究正圓臺(tái)部分的優(yōu)化設(shè)計(jì)。以常見的可口可樂等355ml易拉罐為例， 易拉罐可取定R=32mm,hl=110mm, p是測(cè)算岀V=355ml于是問題三轉(zhuǎn)化為，已知易拉罐上部正圓臺(tái)體積V定，底半徑R定時(shí), 其上底半徑r和高h(yuǎn)為何值（或r與h比例是多少）正圓臺(tái)的表面積最小，如圖（4）：（4）求正圓臺(tái)的面積得模型：正圓臺(tái)面積二頂蓋面積+圓臺(tái)側(cè)面積5 = /rr2 + 7r(r + 7?) J/P +(R r)2v =l/r/2(r2 +/7? + 7?2)3V即 h = 一廠丄TT(廠 + /7? + 7?)代入有S=/rr2 +/r(r+ /?)/一一 +(R-r2)Y 丁(廠 + rR + 7?)用數(shù)學(xué)軟件求S的最小值(其中如前分析取V=35ml,R=3.2cm),得： 當(dāng) r=1.467cm,h=1.93cm 時(shí)，結(jié)論：常見的正圓臺(tái)與正圓柱體結(jié)合的易拉罐，只考慮形狀和尺寸變化用料 最少的優(yōu)化設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)是：總高度與底直徑之比為2： 1,正圓臺(tái)的高與上底 直徑之比約為2： 3(即h： 2r2： 3),相應(yīng)易拉罐上下底直徑之比為2r:2/?l:2o問題四：新設(shè)計(jì)現(xiàn)今常見的易拉罐都是圓柱形，對(duì)于一定容積的柱體，以正圓柱體的表面積 最小，且圓柱形的外形也較為美觀。但易拉罐流行至今兒十年都是圓柱形，也太 常見有審美疲