函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用畢業(yè)論文

1、 本科生畢業(yè)論文函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用院 系： 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班 級： 2010級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)(2)班 學(xué) 號： 201004110203 姓 名： 張廣寧 指導(dǎo)教師： 陳志恩 完成時間： 2014年5月20日 函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用摘 要： 函數(shù)是數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，它既是數(shù)學(xué)研究的對象，又是解決數(shù)學(xué)問題的基本思想、方法，不僅使人類數(shù)學(xué)思維發(fā)生了質(zhì)的飛躍，而且推動了數(shù)學(xué)科學(xué)的蓬勃發(fā)展，在數(shù)學(xué)的各個分支中都起到重要作用.函數(shù)也是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要的教學(xué)內(nèi)容，一直是高考的熱點、重點內(nèi)容.要順利的解決關(guān)于函數(shù)的問題，就要熟練掌握函數(shù)的性質(zhì).本論文著重從函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、

2、周期性、有界性、以及反函數(shù)的存在性、可微性、等方面入手.討論函數(shù)的各種性質(zhì)在解題中的運用技巧與規(guī)律.旨在幫助學(xué)生認識并學(xué)會靈活應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)解決函數(shù)的相關(guān)問題.查閱到的參考文獻中，分別就函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性及反函數(shù)所具有的特征來解決函數(shù)類的問題作出了說明，有的文獻詳細闡述了函數(shù)所具有的特征還穿插了部分恰當(dāng)?shù)睦}來幫助讀者理解；有的對函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性的特殊函數(shù)做出了深刻的分析；有的收集了近幾年高考及今年高考的預(yù)測關(guān)于利用函數(shù)的性質(zhì)解決各類數(shù)學(xué)問題涉及到單獨利用性質(zhì)或綜合幾種性質(zhì)的結(jié)合，它們集中體現(xiàn)了高考中函數(shù)類問題的考試方向.解決函數(shù)問題時，可以運用整體思想、方程思想、數(shù)形結(jié)

3、合思想等對函數(shù)問題做一簡單化處理，將抽象的問題形象化、具體化，以達到事半功倍的效果.關(guān)鍵詞: 函數(shù) 技巧 規(guī)律 結(jié)合 形象化 數(shù)形結(jié)合 方程思想 abstract: unction is one of the most important concepts in mathematics, it is not only the object of the mathematics study, but also basic thought and method to solve the problems of mathematics. functions effect one the develo

4、pment of mathematics is immeasurable, it not only make a qualitative leap to the mathematical thinking of human beings but also led to the vigorous development of the science of mathematics, function plays an important role in every branch of mathematics. function is also an important content of cou

5、rses in middle school mathematics, it has always been the hot spot and the key content of the college entrance examination, to solve the problems of the function the most important is to master the nature of function. this paper mainly discusses from the functions monotonicity, parity, periodic, bou

6、ndedness, and the existence of inverse function and differentiability, integrability and other aspects. which also discusses the function of the application of all kinds of properties in the problem solving skills and rules. the paper designed to help students to understand and learn the properties

7、of the flexible application of function to solve the problem of the related to the function.keywords:function;monotonicity;parity;periodic;boundedness;inverse;unction-sex;differentiability integrable.目 錄1 引言12 函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用1 2.1 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用1 2.1.1 函數(shù)單調(diào)性的概念1 2.1.2 函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)1 2.1.3 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用2 2.2 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用3 2.2.1

8、函數(shù)奇偶性的概念3 2.2.2 函數(shù)奇偶性的性質(zhì)4 2.2.3 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用5 2.3 函數(shù)周期性的應(yīng)用7 2.3.1 函數(shù)周期性的概念7 2.3.2 函數(shù)周期性的性質(zhì)7 2.3.3 函數(shù)周期性的應(yīng)用8 2.4 函數(shù)有界性的應(yīng)用8 2.4.1 函數(shù)有界性的概念8 2.4.2 有界函數(shù)的性質(zhì)9 2.4.3.有界函數(shù)的應(yīng)用9 2.5 函數(shù)的可導(dǎo)性應(yīng)用10 2.5.1 可導(dǎo)函數(shù)的概念11 2.5.2 導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用123 結(jié)論24謝辭25參考文獻261 引言函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要的教學(xué)內(nèi)容，它滲透在數(shù)學(xué)各個部分的內(nèi)容中，一直是高考的熱點、重點內(nèi)容.要順利解決關(guān)于函數(shù)的問題，就要首先熟練掌握

9、函數(shù)的性質(zhì).從近幾年的考題來看，運用函數(shù)的性質(zhì)解體更是得到命題老師的青睞，函數(shù)的各類問題，幾乎都與函數(shù)的性質(zhì)有關(guān)，比如指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)，三角函數(shù)等的問題都是結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)解決問題.高考常利用函數(shù)的一種或同時幾種性質(zhì)聯(lián)合起來解決問題.因此，只有掌握函數(shù)的性質(zhì)才能更好、更快速的解決高考中的函數(shù)問題，才能為其他試題贏來寶貴的時間.函數(shù)的性質(zhì)是解決函數(shù)問題的精髓，是達到劃歸目的的橋梁.函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用的背景和意義 函數(shù)是數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，它既是數(shù)學(xué)研究的對象，又是解決數(shù)學(xué)問題的基本思想、方法，不僅使人類數(shù)學(xué)思維發(fā)生了質(zhì)的飛躍，而且推動了數(shù)學(xué)科學(xué)的蓬勃發(fā)展，在數(shù)學(xué)的各個分支中都起到重要作用.

10、函數(shù)也是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要的教學(xué)內(nèi)容，一直是高考的熱點、重點內(nèi)容.針對最近幾年高考數(shù)學(xué)中對函數(shù)性質(zhì)的考察，函數(shù)性質(zhì)一直以來都是各個省份考試的熱點，一直受到高考命題專家的青睞.本論文通過對函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用技巧和規(guī)律的總結(jié)，希望能夠?qū)忌龊瘮?shù)部分試題有幫助.2 函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用2.1 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用12.1.1 函數(shù)單調(diào)性的概念一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為：如果對于屬于內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值、，當(dāng)時都有.那么就說在這個區(qū)間上是增函數(shù)；相反地，如果對于屬于內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值、，當(dāng)時都有.那么就說在這個區(qū)間上是減函數(shù).函數(shù)的單調(diào)性也叫做函數(shù)的增減性.在某一區(qū)間上的增函數(shù)(或減函數(shù))叫

11、做單調(diào)函數(shù).2.1.2 函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)（1）函數(shù)單調(diào)性的幾何特征：在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的.“當(dāng)時，都有”等價于隨增大而增大；“當(dāng)時，都有”等價于隨增大而減小.幾何解釋：遞增等價于函數(shù)圖象從左到右逐漸上升；遞減等價于函數(shù)圖象從左到右逐漸下降.（2）函數(shù)單調(diào)性是針對某一個區(qū)間而言的，是一個局部性質(zhì).有些函數(shù)在整個定義域內(nèi)是單調(diào)的；有些函數(shù)在定義域內(nèi)的部分區(qū)間上是增函數(shù)，在部分區(qū)間上是減函數(shù)；有些函數(shù)是非單調(diào)函數(shù)，如常數(shù)函數(shù).函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在一個單調(diào)區(qū)間上的“整體”性質(zhì)，具有任意性，不能用特殊值代替.（3）函數(shù)單調(diào)性還具有以下性質(zhì)1、與具有相同單調(diào)性；2、與在

12、時有相同單調(diào)性，當(dāng)時，具有相反單調(diào)性；3、當(dāng)、都是增（減）函數(shù)時，若都恒大于零，則同為增（減）函數(shù)；若兩者都恒小于零，則都是減（增）函數(shù)；4、兩個增函數(shù)之和仍為增函數(shù)；5、增函數(shù)減去減函數(shù)為增函數(shù)；6、兩個減函數(shù)之和仍為減函數(shù)；7、減函數(shù)減去增函數(shù)為減函數(shù)；8、函數(shù)值在區(qū)間內(nèi)同號時， 增（減）函數(shù)的倒數(shù)為減（增）函數(shù).2.1.3 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用2 (一)比較函數(shù)值的大小例1 已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增加，則滿足的的取值范圍是（a）a. b. c. d.解析 由題意可得或，解得，故選a. 小結(jié) 本題應(yīng)用了方程的思想，通過解不等式，達到了解題的目的. (二)求參數(shù)的取值或范圍 例2 若函數(shù)的單調(diào)增

13、區(qū)間是，則？ 解析 由，可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，故，解得.小結(jié) 方法同上.2.2 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用32.2.1函數(shù)奇偶性的概念 一般地，對于函數(shù)(1)如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個，都有，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù).(2)如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個，都有，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù).(3)如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個，與同時成立，那么函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，稱為既奇又偶函數(shù).(4)如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個，或都不能成立，那么函數(shù)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，稱為非奇非偶函數(shù).說明 奇、偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，對整個定義域而言； 奇、偶函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點對稱，如果一個函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱

14、，則這個函數(shù)一定不是奇（或偶）函數(shù).分析 判斷函數(shù)的奇偶性，首先是檢驗其定義域是否關(guān)于原點對稱，然后再嚴格按照奇、偶性的定義經(jīng)過化簡、整理、再與比較得出結(jié)論 判斷或證明函數(shù)是否具有奇偶性的根據(jù)是定義、變式.變式 奇：； ； . 偶：； .2.2.2 函數(shù)奇偶性的性質(zhì) 定理 奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點成中心對稱圖形，偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱.如果對于任意一個，有，那么函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱.奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱點，偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱點；奇函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)遞增，則在它的對稱區(qū)間上也是單調(diào)遞增；偶函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)遞增，則在它的對稱區(qū)間上單調(diào)遞減. 兩個偶函數(shù)相加所得的和為偶函數(shù)； 兩個奇函數(shù)相加

15、所得的和為奇函數(shù)； 兩個偶函數(shù)相乘所得的積為偶函數(shù)； 兩個奇函數(shù)相乘所得的積為偶函數(shù)； 一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)相乘所得的積為奇函數(shù)； 幾個函數(shù)復(fù)合，只要有一個是偶函數(shù)，結(jié)果是偶函數(shù)；反之是奇函數(shù)； 偶函數(shù)的和差積商是偶函數(shù)； 奇函數(shù)的和差是奇函數(shù)； 奇函數(shù)的偶數(shù)個積商是偶函數(shù)； 奇函數(shù)的奇數(shù)個積商是奇函數(shù)； 奇函數(shù)的絕對值為偶函數(shù)； 偶函數(shù)的絕對值為偶函數(shù).2.2.3 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用4 （一）判斷函數(shù)的奇偶性 例1 判定函數(shù)的奇偶性.解 函數(shù)的定義域滿足，即為，函數(shù)的圖象表示兩個點：，.其圖象既關(guān)于原點對稱，又關(guān)于軸對稱.從而函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).小結(jié) 本題通過轉(zhuǎn)化將函數(shù)的定義域求出，再

16、通過周期函數(shù)的概念加以判斷，很好的達到了解題的目的.（二）求函數(shù)的函數(shù)值 例2 設(shè)（其中為常數(shù)），且，試求的值. 解 設(shè)，易證是奇函數(shù)，故，,于是兩式相加得：，即 （三）函數(shù)的解析式7 例3 設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，.試求此函數(shù)的解析式.解 （1）當(dāng)時，于是； （2）當(dāng)時，則，由于是定義在上的奇函數(shù)，則，此函數(shù)的解析式為小結(jié) 本題通過分類討論就各種情形加以說明，加以函數(shù)奇偶性概念的應(yīng)用，很快的達到了解題的目的.（四）解不等式8例4 解不等式 解 設(shè)，因，則是偶函數(shù)，即的奇數(shù)次方為0，可設(shè)，以代入，得解得，即，原不等式可化為：，即，所以.因而,即或 （五）在二項式的展開式中的應(yīng)用例5 若，求

17、的值. 解 設(shè)，則是偶函數(shù)，則的奇數(shù)次方的系數(shù)，則.小結(jié) 本題通過轉(zhuǎn)化用函數(shù)的方法研究問題，大大的簡化了運算. （六）函數(shù)的奇偶性的綜合應(yīng)用題 例6 已知函數(shù)是奇函數(shù)，時，有最小值2，其中，且. （1）試求的解析式； （2）問函數(shù)的圖象上是否存在關(guān)于點對稱的兩點，若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.解 (1)由題意可知函數(shù)是奇函數(shù)，則由于，所以，由，又，于是,解得，又因為，所以，因此. (2)設(shè)點存在關(guān)于點對稱點，此兩點均在函數(shù)的圖象上，則，.聯(lián)立以上兩式得，即. 從而，當(dāng)時，得；當(dāng)時，得.即存在點，（）關(guān)于點對稱.小結(jié) 本題通過用方程的方法，靈活的簡化了解題步驟.2.3 函數(shù)周期性的應(yīng)

18、用52.3.1 函數(shù)周期性的概念定義 對于函數(shù)，如果存在一個不為零的常數(shù),使得當(dāng)取定義域內(nèi)的每一個值時，都有，則稱函數(shù)是周期函數(shù).如果在所有正周期中有一個最小的，則稱它是函數(shù)的最小正周期.由定義可得：周期函數(shù)的周期是與無關(guān)的非零常數(shù)，且周期函數(shù)不一定有最小正周期.如常數(shù)值函數(shù)（是常數(shù)）是實數(shù)集上以任意非零實數(shù)為周期的周期函數(shù).狄利克萊函數(shù)是實數(shù)集上任意非零有理數(shù)為周期的周期函數(shù).由于正實數(shù)和正有理數(shù)都沒有最小的，因而它們都沒有最小正周期.2.3.2 函數(shù)周期性的性質(zhì) (1)若是的周期，則也是的周期.（因.因而周期函數(shù)必定有正周期.) (2)若是的周期，則（為任意非零整數(shù)）也是的周期. (3)若

19、與都是的周期，則也是的周期.（因.)(4)如果有最小正周期，那么的任何正周期一定是的正整數(shù)倍.否則必存在（為正整數(shù)）使，則對（的定義域）有，所以也是的正周期，與是的最小正周期矛盾.所以必是的正整數(shù)倍.2.3.3 函數(shù)周期性的應(yīng)用6 例1 若函數(shù)是上周期為5的奇函數(shù)，且滿足，則 解析 因為 函數(shù)的周期是5，所以 ，因為是上奇函數(shù)，所以，故.例2 設(shè)函數(shù)是定義在上的周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)時，則 的值. 解析 依題意得，則.2.4 函數(shù)有界性的應(yīng)用2.4.1 函數(shù)有界性的概念5 設(shè)為定義在上的函數(shù)，若存在數(shù)，使得對每一個有：，則稱在上有上（下）界的函數(shù)，稱為在上的一個上（下）界. 設(shè)為定義在上的函數(shù)，

20、若存在正數(shù)，使得對每一個有：，則稱為上的有界函數(shù).2.4.2 有界函數(shù)的性質(zhì) 在中學(xué)，我們學(xué)過的有界函數(shù)典型的有正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，它們在定義域內(nèi)是有界的即，.此結(jié)論在解題中有著廣泛的應(yīng)用,舉例說明.2.4.3.有界函數(shù)的應(yīng)用 (一)求值域或最值例1 求函數(shù)的值域. 解 原函數(shù)可變?yōu)椋海驗?，即，解?故所求函數(shù)的值域為. 例2 求函數(shù)的最值. 解 由原函數(shù)得：，即.又因為，所以，故. 小結(jié) 這兩道題通過轉(zhuǎn)化法將問題轉(zhuǎn)化為解不等式，再運用函數(shù)有界的性質(zhì). (二)證明等式或不等式 例3 已知，求證：. 證明 因為，所以，即因為是實數(shù)，所以，即.而，所以.又因為，所以，所以.又當(dāng)時，方程有解，故.

21、 （三）求參數(shù)的范圍 例4 要使有意義，求的范圍. 解 因為，故.又，即，解得.例5 設(shè)，若對任意的實數(shù)都有，則實數(shù)的取值范圍是?解 由題意知，則，所以.(四)討論函數(shù)的性質(zhì)例6 證明函數(shù)在上有界.證明 令，則，故函數(shù)在上有界.例7 設(shè)為無理數(shù)，求證函數(shù)不可能是周期函數(shù).證明 假設(shè)是周期函數(shù)，則存在常數(shù)，使對于任意的都成立.令得：因為，所以成立必有.所以，所以，由于，所以為有理數(shù)，即為有理數(shù)，這與已知為無理數(shù)矛盾，故函數(shù)不可能是周期函數(shù).2.5 函數(shù)的可導(dǎo)性應(yīng)用2.5.1 可導(dǎo)函數(shù)的概念 第一定義5 設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在處有增量（）也在該鄰域內(nèi))時，相應(yīng)地函數(shù)取得增量；如果

22、與之比當(dāng)時極限存在，則稱函數(shù)在點處可導(dǎo)，并稱這個極限值為函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)記為，即也記作 ，或 . 第二定義 設(shè)函數(shù) 在點 的某個鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量 在 處有變化 ( ，也在該鄰域內(nèi))時，相應(yīng)地函數(shù)變化；如果 與 之比當(dāng)時極限存在，則稱函數(shù) 在點 處可導(dǎo)，并稱這個極限值為函數(shù) 在點處的導(dǎo)數(shù)記為 ，即 導(dǎo)函數(shù)的定義 如果函數(shù) 在開區(qū)間內(nèi)每一點都可導(dǎo)，就稱函數(shù) 在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo).這時函數(shù) 對于區(qū)間內(nèi)的每一個確定的 值，都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)，這就構(gòu)成一個新的函數(shù)，稱這個函數(shù)為原來函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)，記作 ， ， ， .導(dǎo)函數(shù)簡稱導(dǎo)數(shù).幾何意義 函數(shù) 在點的導(dǎo)數(shù) 的幾何意義：表示函數(shù)曲線在點 處的切線的斜

23、率（導(dǎo)數(shù)的幾何意義是該函數(shù)曲線在這一點上的切線斜率）.2.5.2 導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用78 (一)判斷單調(diào)性一個函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)的單調(diào)增減性的變化規(guī)律，是在研究函數(shù)圖形時首先考慮的問題.在中學(xué)，已經(jīng)知道函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)單調(diào)增減性的定義.下面利用導(dǎo)數(shù)這一工具來判斷函數(shù)增減性及其確定單調(diào)區(qū)間.從圖形直觀分析：若在內(nèi)，曲線上每一點的導(dǎo)數(shù)都大于0，即，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，在內(nèi)，曲線上每一點的切線斜率都為正，這時曲線是上升的，即函數(shù)是單調(diào)遞增的.反之，若在內(nèi)，曲線上每一點的導(dǎo)數(shù)都小于0（即曲線上每一點的切線斜率都為負），這時曲線是下降的，即函數(shù)是單調(diào)遞減的對于上升或者下降的曲線，它的切線在個別點可能平行

24、于軸（此點的導(dǎo)數(shù)值為0，即）.因此，函數(shù)的增減性反映在導(dǎo)數(shù)上，有如下定理：定理1 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則：若時恒有，則在單調(diào)增加；若時恒有，則在單調(diào)減少. 例1 求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間解 因，由得,所以單調(diào)遞增區(qū)間為 (二)判斷凹凸性及拐點在研究函數(shù)圖形的變化狀況時，知道它的上升和下降顧慮很有好處，但不能完全反映它的變化規(guī)律.所示的函數(shù)的圖形在區(qū)間內(nèi)雖然是一直上升的，但卻有不同的彎曲形狀.因此，研究函數(shù)圖形時，考察它的彎曲形狀以及扭轉(zhuǎn)彎曲方向的點是必要的.看出，曲線向下彎曲的弧度在這段弧段任意點的切線下方，曲線向上下彎曲的弧度在這段弧段任意點的切線上方，據(jù)此給出定義如下：定義1 在某區(qū)間內(nèi)，若曲線

25、弧位于其上任意一點的切線上方，則稱曲線在該區(qū)間內(nèi)是上凸的（也稱在該區(qū)間內(nèi)此函數(shù)為凹函數(shù)）；在某區(qū)間內(nèi)，若曲線弧位于其上任意一點的切線下方，則稱曲線在該區(qū)間內(nèi)是下凹的（也稱在該區(qū)間內(nèi)此函數(shù)為凸函數(shù)）那么曲線的凹凸性與導(dǎo)數(shù)之間有什么關(guān)系呢？按定義是很難判斷凹凸性的，對于凹凸性可以用二介導(dǎo)數(shù)來確定.即有判定定理.定理2 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有二介導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時，則曲線為凸（此時在該區(qū)間為凹函數(shù)）；當(dāng)時，則曲線為凹（此時在該區(qū)間為凸函數(shù)）.通過圖形的直觀性來說明該定理的正確性.若曲線呈現(xiàn)凸狀，當(dāng)增大時，切線斜率隨之變小，說明一階導(dǎo)數(shù)函數(shù)在上為減函數(shù)，由函數(shù)單調(diào)性判別法，必有，即.說明：若曲線為凸性，必有.同理

26、，若曲線為凹，必有.從另一角度講，該定理為二階導(dǎo)數(shù)的幾何意義.定義2 若函數(shù)在點的左右鄰域上凹凸性相反，則點叫做曲線的拐點（注意拐點不是）由拐點的定義可知，判斷某點是否拐點，只需看該點左右兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)是否異號，與該點一階、二階導(dǎo)數(shù)是否存在無關(guān) 例2 求函數(shù)的凹凸區(qū)間及拐點.解 因，則令，得.所以0+0-0+凹1拐點凸 拐點凹(三)求函數(shù)的極值和最值（1）求函數(shù)的極值函數(shù)由增加變?yōu)闇p少或由減少變?yōu)樵黾樱冀?jīng)過一個轉(zhuǎn)折點，即圖中的“峰”點和“谷”點，這些點是在研究函數(shù)中是十分重要的.定義2 設(shè)函數(shù)在點及其某鄰域左右兩側(cè)附近有定義，若對該鄰域內(nèi)的任意點（）恒有，則為極大值；若成立，則為極小值.應(yīng)當(dāng)注

27、意 極值是一個局部概念，它只限于的某一鄰域內(nèi)，通過函數(shù)值相比較才能顯示出來.在一個區(qū)間上，函數(shù)可能有幾個極大、極小值.可能會有極大值小于極小值.極值點和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系如何？看下面定理可知：定理2 若是函數(shù)的極值點，則或者不存在.將導(dǎo)數(shù)為0的點或者不可導(dǎo)的點統(tǒng)稱為駐點.因此函數(shù)的極值必在駐點處取得，但駐點不一定是極值點，所以在求得函數(shù)極值的駐點后，就是找到了所有極值可疑點.下面介紹函數(shù)在駐點或?qū)?shù)不存在的點取得極值的充分條件，即極值的判斷方法.定理3（極限存在的充分條件之一） 設(shè)在連續(xù)，在某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，若（左側(cè)）時，而（右側(cè)），則函數(shù)在處取極大值；若（左側(cè)）時，而（右側(cè)）時，則函數(shù)在處取極小值；若兩

28、側(cè)不變號，則在處無極值.該定理的直觀含義為：函數(shù)由單調(diào)增加（或單調(diào)減少）變成單調(diào)減少（或單調(diào)增加）的轉(zhuǎn)折點，即為極大值點（或極小值點）. 例3 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值解 ，當(dāng)時，；而時不存在.因此，函數(shù)只可能在這兩點取得極值.+不存在-+ 極大值極小值由表可見，函數(shù)在區(qū)間，單調(diào)遞增；在區(qū)間單調(diào)遞減.在處有極大值，在點處有極小值.若函數(shù)的二介導(dǎo)數(shù)存在，有如下的判定定理； 定理4（極限存在的充分條件之二） 設(shè)，存在，若，則為的極小值；若，則為的極小值；若，本方法無效，需用極限存在的充分條件之一這個定理來進一步判定.因為，則曲線在點的左右兩側(cè)呈凹狀，因此為極小值；反之，若，則曲線在點的左右兩側(cè)呈凸狀

29、，因此為極大值. 例4 求函數(shù)的極值.解 因為，令，得駐點.所以， 又因為，所以函數(shù)在處取得極小值.因為，則定理應(yīng)用定理4失效.下面利用定理3.當(dāng)時，；當(dāng)時，所以函數(shù)在處無極值同理函數(shù)在處去極值 （2）求函數(shù)的最值在經(jīng)濟活動和日常生活中，常遇到在一定條件下.怎樣用料最省、成本最低、效率最高或者效益效率最好的問題，這些歸納到數(shù)學(xué)問題上，即為函數(shù)的最大值或最小值問題.假定函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則必存在最大、最小值，其判定方法為：找出可能為極值點的函數(shù)值（即區(qū)間內(nèi)使或不存在的所有點的函數(shù)值）；計算出端點處的函數(shù)值；比較極值和端點值的大??；其中最大的就是函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值，其中最小的就是函數(shù)在閉區(qū)間

30、上的最小值.最值與極值是不同的：極值反映的是函數(shù)形態(tài)，即極值只是與該點在附近的函數(shù)值比較而言的，而對于遠離該點的情形不予考慮；而最值則是函數(shù)整體形態(tài)的反映，它是指函數(shù)在所考察的區(qū)間上全部函數(shù)值中的最大者（或最小者）. 例5 求函數(shù)在區(qū)間上的最大、最小值.解 ，令即解得，變化時，的變化如下表：0+0由上表可知最大值是，最小值為 例6 已知，函數(shù)，當(dāng)為何值時，取得最小值？證明你的結(jié)論.解 ，由，得，變化時，的變化如下表：+00+極大值極小值當(dāng)時，.而當(dāng)時，；時，.所以當(dāng)時，取得最小值. （3）求函數(shù)的值域求函數(shù)的值域是中學(xué)數(shù)學(xué)的難點，下面介紹利用高中教材新增加內(nèi)容-導(dǎo)數(shù)來求解值域 例7 求函數(shù)的值

31、域.解 函數(shù)的定義域為，又，可見當(dāng)時，.所以在上是增函數(shù).而，所以函數(shù)的值域是（4）導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用 例8 （2004年全國高考題）甲方是一農(nóng)場，乙方是一工廠，由于乙方生產(chǎn)須占用甲方的資源，因此甲方有權(quán)向乙方索賠以彌補經(jīng)濟損失并獲得一定的凈收入.在乙方不賠付甲方的情況下，乙方的年利潤（元）與年產(chǎn)量（噸）滿足函數(shù)關(guān)系式.若乙方每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付甲方元（以下稱為賠付價格）.(1)將乙方的年利潤（元）表示為年產(chǎn)量（噸）的函數(shù)，并求出乙方獲的最大利潤的年產(chǎn)量；(2)甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟損失金額（元），在乙方按照獲得最大利潤的產(chǎn)量進行生產(chǎn)的前提下，甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應(yīng)向乙方

32、要求的賠付價格是多少？ 解 （1）由題意得，乙方的實際年利潤為： 因為，所以當(dāng)時，取的最大值，因此乙方獲的最大利潤的年產(chǎn)量（噸）. (2) 設(shè)甲方在索賠中獲得的凈收為元，則，將乙方獲的最大利潤的年產(chǎn)量代入上式，可得到甲方凈忙收入與賠付價格之間的函數(shù)關(guān)系式，令得.因當(dāng)時；當(dāng)時，所以當(dāng)時，可取最大值.故甲方向乙方要求的賠付價格是20（元/噸）時，可獲得最大凈收入. （四）描繪函數(shù)圖形為有助于某些函數(shù)圖形的描繪，下面介紹曲線的漸近線.（1）曲線的漸近線定義3 若曲線上的一點沿著曲線趨于無窮遠時，該點與某天直線的距離趨于0，則稱此直線為曲線的漸近線.水平漸近線 若曲線的定義域是無限區(qū)間，且有：，或，則

33、直線為曲線的水平漸近線.垂直漸近線 若曲線有：，或，則直線為曲線的垂直漸近線.斜漸近線 若成立，則是曲線的一條斜漸近線.下面介紹求的公式.由有：.所以即，將求出并代入即可確定. 例10 求曲線的漸近線.解 因，所以是曲線的垂直漸近線；由和可知是曲線的斜漸近線. （2）函數(shù)圖形的作法導(dǎo)數(shù)未納入高中教材時，做圖形主要依靠描點作圖，這樣的圖形比較粗糙.導(dǎo)數(shù)的出現(xiàn)能更好的反應(yīng)出導(dǎo)數(shù)的各種性態(tài).描繪圖形的一般步驟：確定函數(shù)的定義域、值域及函數(shù)初等形態(tài)（對稱性、周期性、奇偶性）等；求出，；列表討論函數(shù)單調(diào)性、凹凸性及極值、拐點；確定曲線的漸近線；由曲線方程找出一些特殊點的坐標；用光滑曲線連接，畫出的圖象.

34、 例11 作函數(shù)的圖形.解 函數(shù)的定義域為，令，得；令，得.列表如下：0+不存在0+不存在+拐點極小值不存在 又因為，所以為曲線的水平漸進線因為，所以為曲線的鉛垂?jié)u進線曲線經(jīng)過，這幾個點通過上面的討論可大致繪出圖形 （五）求參數(shù)問題利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的范圍，它是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的延伸. 例12、（05湖北理）已知向量，若在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù)，求的取值范圍. 解 由向量的數(shù)量積定義， 所以，又在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù)，則在 (-1,1)上恒成立.令在區(qū)間-1,1上，則，故在區(qū)間(-1,1)上使恒成立，只需即可，即.即的取值范圍是. （六）導(dǎo)數(shù)在曲線中的應(yīng)用曲線在點處

35、的導(dǎo)數(shù)在幾何上表示為：曲線在點a處切線的斜率.即.利用導(dǎo)數(shù)這一幾何意義可以幫助我們解決解析幾何中有關(guān)曲線的一些問題 例13 已知p是拋物線上的動點，求過p到直線的最小距離.解 由得，易知上的點到直線的距離最小.由得，于是曲線上過點且與直線，那么點到直線的距離為故拋物線上的動點，求過p到直線的最小距離為. （七）研究方程的根 例14 已知，是否存在實數(shù)，使方程有四個不同的實數(shù)根，若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.解 令則.令，得.當(dāng)變化時，、的變化關(guān)系如下表：010+00+極小值極大值0極小值故存在，使方程有4個不同的實數(shù)根. （八）證明不等式利用高中新增內(nèi)容的導(dǎo)數(shù)來證明不等式，關(guān)鍵是

36、“構(gòu)造函數(shù)”，解決問題的依據(jù)是函數(shù)的單調(diào)性，這一方法在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用的非常廣泛，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的工具，也是與高等數(shù)學(xué)接軌的有力點. 例15 若，證明：證明 令，則，平行的斜率為，得，則.又，則,則當(dāng)時，為增函數(shù)當(dāng)時，為減函數(shù),所以當(dāng)時，取得最大值.因此當(dāng)時恒有，即時，有. （九）在數(shù)列中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)與不等式方面的應(yīng)用是考試的熱點，而數(shù)列作為實質(zhì)意義上的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究數(shù)列的單調(diào)性及最值問題更簡便.例16 已知函數(shù)，數(shù)列滿足.（1）求；（2）證明數(shù)列是遞減數(shù)列 解 （1）由已知有，即得又，所以 （2）令，則，因，所以所以是遞減函數(shù)，則也是遞減的.所以數(shù)列是遞減數(shù)列 （十）利用導(dǎo)數(shù)求極限洛必達法

37、則 （1）“”型和“”型定理 若函數(shù)與滿足條件：（1）；（2）存在，且；（3） 存在，則必有： 例17 求. 解 （2）其他形式洛必達法則只適應(yīng)于“”型和“”型，對于其他式子，需要經(jīng)過一系列變換轉(zhuǎn)化為“”型和“”型，在利用洛必達法則來求解.其步驟如下：（“”表示可轉(zhuǎn)化為）型或型型，再經(jīng)過通分型.對于型，型，型，先取對數(shù)型，在利用的方法求解. 例18 求下列極限 解 （型）（型）3 結(jié)論（結(jié)束語）從文中的例題及解析可以看出函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性及函數(shù)的反函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的可微性、可積性是討論函數(shù)問題的重要工具.在處理函數(shù)綜合問題時，若能靈活運用函數(shù)的這些性質(zhì)則會降低題目的難度，使解題取得事半功倍的效果.教師在講解函數(shù)的性質(zhì)在函數(shù)解題中的應(yīng)用時，應(yīng)深入剖析每一性質(zhì)及其應(yīng)用技巧，以幫助學(xué)生掌握如何應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)解題，讓學(xué)生領(lǐng)悟其應(yīng)用規(guī)律.同時還應(yīng)加強學(xué)生縱向思維的拓展，幫助學(xué)生建立各塊知識之間的聯(lián)系與區(qū)別.當(dāng)然學(xué)生在學(xué)習(xí)和解題過程中應(yīng)認真思考，發(fā)現(xiàn)和歸納函數(shù)性質(zhì)在解題中的應(yīng)用.整合函數(shù)所具有的各種性質(zhì)