現(xiàn)代數(shù)值分析復(fù)習(xí)題

1、復(fù)習(xí)題（一）一、填空題：1、求方程的根，要求結(jié)果至少具有6位有效數(shù)字。已知，則兩個(gè)根為，.（要有計(jì)算過(guò)程和結(jié)果）2、，則A的LU分解為。3、 ，則，.4、已知，則用拋物線（辛卜生）公式計(jì)算求得，用三點(diǎn)式求得5、 ，則過(guò)這三點(diǎn)的二次插值多項(xiàng)式中的系數(shù)為 ，拉格朗日插值多項(xiàng)式為.二、單項(xiàng)選擇題：1、Jacobi迭代法解方程組的必要條件是（）.A A的各階順序主子式不為零B.C.D.2、設(shè),均差=（).B. -3C. 53、設(shè),則為（).A. 2B. 5C. 7D. 34、三點(diǎn)的高斯求積公式的代數(shù)精度為（）.A. 2B.5C. 3 D. 45、幕法的收斂速度與特征值的分布（）。A.有關(guān)B.不一定C.

2、 無(wú)關(guān)三、計(jì)算題：1、 用高斯-塞德?tīng)柗椒ń夥匠探M，取，迭代四次（要求按五位有效數(shù)字計(jì)算）.2、 求A、B使求積公式的代數(shù)精度盡量高，并求其代數(shù)精度；利用此公式求（保 留四位小數(shù)）。3、已知13452 654分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求的三次插值多項(xiàng)式，并求的近似值 （保留四位小數(shù)）.4、取步長(zhǎng)，用預(yù)估-校正法解常微分方程初值問(wèn)題5、已知-2-101242135求的二次擬合曲線，并求的近似值。6、證明方程=0在區(qū)間（0,1 ）內(nèi)只有一個(gè)根，并用迭代法（要求收斂）求根 的近似值，五位小數(shù)穩(wěn)定。復(fù)習(xí)題（一）參考答案一、1、，2 、3 、，84、5、-1，、三、1、迭代格式k000012342

3、、是精確成立，即得求積公式為當(dāng)時(shí)，公式顯然精確成立；當(dāng)時(shí)，左=，右=。所以代數(shù)精度為32、差商表為一階均差二階均差三階均差1236245-1-154-104、解:即n012345015、解:0-2 n44-816r -8161-121-11-2220 ”1000r 003131113342 154816r 102001510034341正規(guī)方程組為復(fù)習(xí)題（二）一、填空題：1近似值關(guān)于真值有（）位有效數(shù)字；2、的相對(duì)誤差為的相對(duì)誤差的（） 倍;3、設(shè)可微,求方程的牛頓迭代格式是（）4、對(duì), 差商(),( ) ；5、計(jì)算方法主要研究 ( ) 誤差和 ( ) 誤差；6、用二分法求非線性方程f (x)

4、=0在區(qū)間(a, b)內(nèi)的根時(shí)，二分n次后的誤差 限為 ( ) ；7、 求解一階常微分方程初值問(wèn)題= f (x, y) ， y(x0)=y0 的改進(jìn)的歐拉公式為( ) ；8已知f(1) = 2, f (2) = 3, f=，則二次Newton插值多項(xiàng)式中x2系數(shù)為 ( )；9、兩點(diǎn)式高斯型求積公式 ()，代數(shù)精度為( ) ；10、解線性方程組 Ax=b 的高斯順序消元法滿足的充要條件為 ( )。二、單項(xiàng)選擇題：1、 求解線性方程組Ax=b的LLt分解法中，A須滿足的條件是()。A. 對(duì)稱陣B.正定矩陣C. 任意陣D.各階順序主子式均不為零2、舍入誤差是 ( ) 產(chǎn)生的誤差。A. 只取有限位數(shù)

5、B. 模型準(zhǔn)確值與用數(shù)值方法求得的準(zhǔn)確值C. 觀察與測(cè)量 D. 數(shù)學(xué)模型準(zhǔn)確值與實(shí)際值3、 是n的有()位有效數(shù)字的近似值。A. 6 B. 5 C. 4 D. 74、冪法是用來(lái)求矩陣 ( ) 特征值及特征向量的迭代法。A. 按模最大 B. 按模最小 C. 所有的 D. 任意一個(gè)5、用1 + x近似表示ex所產(chǎn)生的誤差是() 誤差。A. 模型 B. 觀測(cè) C. 截?cái)?D. 舍入6、 解線性方程組的主元素消去法中選擇主元的目的是( )。A. 控制舍入誤差B.減小方法誤差C.防止計(jì)算時(shí)溢出D.簡(jiǎn)化計(jì)算7 、解線性方程組 Ax=b 的迭代格式 x(k+1)=Mx(k)+f 收斂的充要條件是 ( )。A

6、. B. C. D.三、計(jì)算題：1為了使的近似值的相對(duì)誤差限小于 %要取幾位有效數(shù)字2、已知區(qū)間,的函數(shù)表如用二次插值求的近似值，如何選擇節(jié)點(diǎn)才能使誤差最小并求該近似值。3、 構(gòu)造求解方程的根的迭代格式，討論其收斂性，并將根求出來(lái)，。4、利用矩陣的LU分解法解方程組。5、對(duì)方程組(1) 試建立一種收斂的Seidel迭代公式，說(shuō)明理由；(2) 取初值，利用(1)中建立的迭代公式求解，要求。6、用復(fù)合梯形求積公式計(jì)算，則至少應(yīng)將0,1分為多少等份才能保證所得積 分的近似值有5位有效數(shù)字復(fù)習(xí)題(二)參考答案、1、2!；2、倍；34、；5 、截?cái)?，舍入? ；7、；8 、；9 、；10、A的各階順序主

7、子式均不為零。、1、B 2、A 3、B 4、A 5、C 6、A 7、D、1、解：設(shè)有n位有效數(shù)字，由，知令，取，故1、解：應(yīng)選三個(gè)節(jié)點(diǎn)，使誤差盡量小，即應(yīng)使盡量小，最靠近插值點(diǎn)的三個(gè)節(jié)點(diǎn)滿足上述要求。即取節(jié)點(diǎn) 最好，實(shí)際計(jì)算結(jié)果且3、解：令.且，故在(0,1)內(nèi)有唯一實(shí)根將方程變形為則當(dāng)時(shí)故迭代格式收斂。取，計(jì)算結(jié)果列表如下：n0123127 872424 785877 325n4567595 993517 340525 950525 008且滿足所以4、解：令得，得5、解：調(diào)整方程組的位置，使系數(shù)矩陣嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)故對(duì)應(yīng)的高斯一塞德?tīng)柕ㄊ諗?迭代格式為取,經(jīng)7步迭代可得:6、解：當(dāng)0x1時(shí)

8、，ex，貝U，且有一位整數(shù). 要求近似值有5位有效數(shù)字，只須誤差.由，只要即可，解得所以，因此至少需將0,1 68 等份。復(fù)習(xí)題（三）一、填空題：1、為了使計(jì)算 的乘除法次數(shù)盡量地少，應(yīng)將該表達(dá)式改寫(xiě)為，為了減少舍入誤差，應(yīng)將表達(dá)式改寫(xiě)為。2、用二分法求方程在區(qū)間0,1內(nèi)的根,進(jìn)行一步后根的所在區(qū)間為 _ 進(jìn)行兩步后根的所在區(qū)間為3、設(shè),，則,4、 計(jì)算積分,取4位有效數(shù)字。用梯形公式計(jì)算求得的近似值為 ，用辛卜生公式計(jì)算求得的近似值為 ，梯形公式的代數(shù)精度為 ，辛卜生公式的代數(shù)精度為 。5、 求解方程組的高斯一塞德?tīng)柕袷綖椋摰袷降牡仃嚨淖V半徑=。二、計(jì)算題：1、已知下列實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

9、Xif(Xi)試按最小二乘原理求一次多項(xiàng)式擬合以上數(shù)據(jù)2、 用列主元素消元法求解方程組.3、取節(jié)點(diǎn),求函數(shù)在區(qū)間0,1上的二次插值多項(xiàng)式,并估計(jì)誤差。4、 用幕法求矩陣按模最大的特征值及相應(yīng)的特征向量，取，精確至7位有效數(shù) 字。5、用歐拉方法求在點(diǎn)處的近似值6、給定方程1）分析該方程存在幾個(gè)根；2）用迭代法求出這些根，精確到 5位有效數(shù)字;3）說(shuō)明所用的迭代格式是收斂的。復(fù)習(xí)題（三）參考答案2、,1,4 、， 1, 3;5、，收斂的；、1、解：列表如下012設(shè)所求一次擬合多項(xiàng)式為，則解得，因而所求的一次擬合多項(xiàng)式為2、解:回代得3、解:又故截?cái)嗾`差。4、解：幕法公式為：取Xo=（1,1）：列表

10、如下:kT ymkT X1(102，102(1,2J(1,3,33.)(1,4(99.,33.)99.(1,因?yàn)?，所?、解：等價(jià)于（）記,取,.則由歐拉公式J可得 ，6、解：1）將方程（1）改寫(xiě)為（2）作函數(shù)，的圖形（略）知（2）有唯一根。2）將方程（2）改寫(xiě)為構(gòu)造迭代格式計(jì)算結(jié)果列表如下：k123456789Xk3），當(dāng)時(shí)，且所以迭代格式對(duì)任意均收斂復(fù)習(xí)題（四）一、填空題：1、 設(shè),則，的二次牛頓插值多項(xiàng)式為。2、 分別作為？的近似值有 ,位有效數(shù)字。3、 求積公式的代數(shù)精度以（）求積公式為最高，具有（）次代數(shù)精度。；4、 解線性方程組的主元素消元法中，選擇主元的目的是（）；5、已知f （

11、1）=1, f （3）=5, f （5）=-3,用拋物線求積公式求（）。6、設(shè) f （1）=1 , f （2）=2 , f （3）=0，用三點(diǎn)式求（）。一、單項(xiàng)選擇題：1、用1+近似表示所產(chǎn)生的誤差是（） 誤差。A.舍入 B. 觀測(cè) C. 模型 D. 截?cái)?、 是舍入得到的近似值，它有（）位有效數(shù)字。A. 5 B. 6 C. 7 D. 83、 反幕法是用來(lái)求矩陣（）特征值及相應(yīng)特征向量的一種向量迭代法。A.按模最大B.按模最小C. 全部 D.任意一個(gè)4、 （） 是解方程組Ax=b的迭代格式x（k+1）=M（k）+f收斂的一個(gè)充分條件；A. 1 B. 1 C. 1 D. 15、 用s*=gt2表

12、示自由落體運(yùn)動(dòng)距離與時(shí)間的關(guān)系式（g為重力加速度）， St是在時(shí)間t內(nèi)的實(shí)際距離，貝U St- s是（ ）誤差。A.舍入 B. 觀測(cè) C. 模型 D. 截?cái)?、 設(shè)f （-1）=1, f （0）=3, f （2）=4,則拋物插值多項(xiàng)式中x2的系數(shù)為（）;A. - B. 0.5 C. 2 D. -27、三點(diǎn)的高斯型求積公式的代數(shù)精度為（）。A. 3 B. 4 C. 5 D. 2&求解線性方程組Ax=b的LLt分解法中，A須滿足的條件是（）。A.對(duì)稱陣 B.各階順序主子式均大于零C. 任意陣 D. 各階順序主子式均不為零三、是非題(認(rèn)為正確的在后面的括弧中打 ?，否則打 ?)1、已知觀察值 , 用

13、最小二乘法求 n 次擬合多項(xiàng)式時(shí)，的次數(shù) n 可以任意取。 ( )2、用 1-近似表示 cosx 產(chǎn)生舍入誤差。( )3、表示在節(jié)點(diǎn)xi的二次(拉格朗日)插值基函數(shù)。()4 、任給實(shí)數(shù)及向量，則。( )5 、牛頓插值多項(xiàng)式的優(yōu)點(diǎn)是在計(jì)算時(shí)， 高一級(jí)的插值多項(xiàng)式可利用前一次插值的結(jié)果。( )6 、有六位有效數(shù)字，誤差限？。( )7、矩陣人=具有嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)。 ( )8 、數(shù)據(jù)擬合的步驟是：1 )作散點(diǎn)圖； 2)解正規(guī)方程組； 3)確定函數(shù)類型( )9、 LLT分解可用于求系數(shù)矩陣為實(shí)對(duì)稱的線性方程組。()10 、冪法的收斂速度與特征值的分布無(wú)關(guān)。( )四、計(jì)算題：(每小題 7 分，共 42 分)

14、2、用牛頓(切線)法求的近似值。取 x0=, 計(jì)算三次，保留五位小數(shù)。2、已知 A=，求，。4、已知 f (-1)=2 ， f (1)=3， f (2)=-4 ，求拉格朗日插值多項(xiàng)式及 f 的近似值， 取五位小數(shù)。4、n=3,用復(fù)合梯形公式求的近似值(取四位小數(shù))，并求誤差估計(jì)。5、用幕法求矩陣A=按模最大特征值及相應(yīng)特征向量，列表 計(jì)算三次，取Xo=(1，1，1)T，保留兩位小數(shù)。6 、用 Gauss-Seidel 迭代法求解線性方程組 = ， 取 x(0) =(0,0,0) T, 列表計(jì)算三次，保留三位小數(shù)。7、用預(yù)估一校正法求解(0?x?1)，h=，取兩位小數(shù)。復(fù)習(xí)題(四)參考答案一、1

15、 、，； 2 、 4 ,3 ,3；3 、高斯型，； 4 、減少舍入誤差； 5 、 12； 6 、二、1D， 2C ， 3B ， 4A ， 5C ， 6A ， 7C ， 8B三、1 、 ?， 2、 ?， 3、 ? 4 、 ?， 5、 ?， 6、 ?， 7、 ?， 8、 ?， 9、 ?， 10、四、1、解：是的正根，牛頓迭代公式為取 x0=, 列表如下：1232、解:,得，所以5、解：6、解：，時(shí),至少有兩位有效數(shù)字。5、幕法公式為，取Xo=(1,1,1) 丁，列表如下:kT ymkT X1(4，0 ， 1)(1, 0,2(4，(1,3(4,(1,6、解：Gauss-Seidel迭代格式為:系數(shù)矩

16、陣嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，故Gauss-Seidel迭代收斂.取x(0) =(0,0,0) T，列表計(jì)算如下：1237、解：預(yù)估一校正公式為其中，h二，代入上式得:12345自測(cè)題、填空題(15 分):1、是 舍入得到的近 似值，它 有 ( ) 位有效數(shù)字， 相對(duì) 誤差 限為 ( ) 。2 、二分法求非線性方程在區(qū)間(1,3) 內(nèi)的根時(shí)，二分 9 次后的誤差限為( ) 。3、f(1) = 1, f(3) = , f(4)=，則過(guò)這三點(diǎn)的二次插值多項(xiàng)式中x2的系數(shù)為() ，插值基函數(shù) l 1(x)=()，二次插值多項(xiàng)式P2(x)=()。7、已知f (1) = 1, f (3) = 2, f (5) = 4

17、,用復(fù)合梯形求積公式求得()。5、 (Xi,yJ i =1,2,15的線性擬合曲線的正規(guī)方程組為()。6、冪法的迭代公式為 ()。7、已知 f (1) = 1, f(3) = 2,則()。二、單項(xiàng)選擇題： (5 分 )1. 截?cái)嗾`差是 ( )產(chǎn)生的誤差。A. 只取有限位數(shù)B. 模型準(zhǔn)確值與用數(shù)值方法求得的準(zhǔn)確值C. 觀察與測(cè)量 D. 數(shù)學(xué)模型準(zhǔn)確值與實(shí)際值2. 用 x 近似表示 sin x 所產(chǎn)生的誤差是()誤差。A. 模型 B. 觀測(cè) C. 截?cái)?D. 舍入3. 解線性方程組 Ax=b 的迭代格式 x(k+1)=Mx(k)+f 收斂的充要條件是( )。A. 1 B. 1 C. 1 D. 14. 設(shè)為 n 維向量 x 的范數(shù),則 ()。A. II x | 1 C. | x | 0 D. | x | 05. 冪法是求矩陣( )特征值及相應(yīng)特征向量的一種向量迭代法。A. 按模最小 B. 所有 C. 按模最大 D. 任意一個(gè)三、計(jì)算題：(50分)1. 證明方程 x2-x-3=0 在區(qū)間 (2,3) 內(nèi)有且僅有一個(gè)根 , 并用迭代法求方程在區(qū) 間(2,3)