高數(shù)極限（干貨分享）

1、1 高數(shù)極限 2020/12/152 微積分學(xué)乃至分析數(shù)學(xué)的基本概念之一，用于描述變量在某一變化 過(guò)程中的變化趨勢(shì)。 完完 極限的樸素思想和應(yīng)用可追溯到古代，中國(guó)早在2000年前就已能算 出方形、圓形、圓柱等幾何圖形的面積和體積，3 世紀(jì)劉徽創(chuàng)立的割圓 術(shù)，就是用圓內(nèi)接正多邊形面積的極限是圓面積這一思想來(lái)近似計(jì)算圓 周率的。 2020/12/153 第二章 極限 本章學(xué)習(xí)要求： 了解數(shù)列極限和函數(shù)極限的概念，在后面內(nèi)容的學(xué)習(xí)中逐步加深對(duì)極 限思想的理解。 掌握函數(shù)極限存在與左右極限之間的關(guān)系，了解函數(shù)極限的性質(zhì)，了 解極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則：夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界準(zhǔn)則 。 掌握極限的四項(xiàng)運(yùn)算法則，會(huì)用

2、兩個(gè)重要極限求極限。 理解無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念，掌握無(wú)窮小量階的比較，會(huì)用等價(jià) 無(wú)窮小量求極限。 2020/12/154 第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的極限函數(shù)的極限 的極限時(shí)一 )( , .xfx 的極限時(shí)二 )( , . 0 xfxx 的左、右極限時(shí)四 )( , . 0 xfxx 函數(shù)極限的性質(zhì)三 . 2020/12/155 有時(shí)使當(dāng)若 , , 0 , 0XxX , , )( ,極限存在時(shí)當(dāng)則稱函數(shù)成立xxf , )(limaxf x | )( |axf 的極限函數(shù)時(shí) )( , . 1xfx . )( )( xaxf或記為 記為為其極限值常數(shù) , a 想想：如何從幾何的角度來(lái)表示該定義？ )(

3、|)(|axfaaxf 2020/12/156 的幾何意義 )(limaxf x Ox y ay ay ay X )(xfy , )( , 即函數(shù)的圖時(shí)當(dāng)axfaXx . 之間和形夾在兩條平行線ayay 2020/12/157 Ox y ay ay ay XX )(xfy . , 函數(shù)的極限時(shí)我們將得到x 2020/12/158 有時(shí)使當(dāng)若 , , 0 , 0XxX , , )( ,極限存在時(shí)當(dāng)則稱函數(shù)成立xxf , )(limaxf x | )( |axf 的極限函數(shù)時(shí) )( , . 2xfx . )( )( xaxf或記為 記為為其極限值常數(shù) , a . )(lim )(lim的情形類似的

4、幾何意義與axfaxf xx 2020/12/159 Ox y ay ay ay XX )(xfy 現(xiàn)在從整體上來(lái)看這個(gè)圖形現(xiàn)在從整體上來(lái)看這個(gè)圖形 , , 你有什么想法你有什么想法? ? 0 |XxXxXx或 2020/12/1510 Ox y ay ay ay XX )(xfy 你能否由此得出 一個(gè)極限的定義 和一個(gè)重要的定理. 0 |XxXxXx或 現(xiàn)在從整體上來(lái)看這個(gè)圖形現(xiàn)在從整體上來(lái)看這個(gè)圖形 , , 你有什么想法你有什么想法? ? 2020/12/1511 有時(shí)使當(dāng)若 , | , 0 , 0XxX , , )( ,極限存在時(shí)當(dāng)則稱函數(shù)成立xxf , )(limaxf x | )(

5、|axf 的極限函數(shù)時(shí) )( , . 3xfx . )( )( xaxf或記為 記為為其極限值常數(shù) , a 2020/12/1512 由于 | x | X 0 x X 或 x X, 所以, x 按絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí), 又包含了 x 的情形. 既包含了 x +, 2020/12/1513 . )(lim)(lim )(limaxfxfaxf xxx 及極限的三個(gè)定義即可證明該定理. 0)( | XXxXxXx或 由絕對(duì)值關(guān)系式: 2020/12/1514 . 2 1 2 1 lim 3 3 x x x 證明： 證證 , 0 , 2 1 2 1 3 3 x x 要 , |2 1 3 x 即要 , 2

6、 1 | 3 x即 , | , 2 1 3 有時(shí)則當(dāng)故取XxX 2 1 2 1 3 3 x x 成立. 由極限的定義可知: . 2 1 2 1 lim 3 3 x x x 例例1 1 2020/12/1515 . 1 1 )( 2 時(shí)的極限當(dāng)討論函數(shù) x x xf 解 2 2 1 1 , 1 , | x xx 此時(shí)也無(wú)限增大無(wú)限增大時(shí)當(dāng) 無(wú)限縮小, 可以小于任意小的正數(shù) . 因而應(yīng)該有 . 0 1 1 lim 2 x x 下面證明我們的猜想: 要由極限的定義 , 0 , , 1 1 1 1 0 1 1 222 xxx ,1 1 2 x 即要 . 1 1 , 0 , 1 2 顯然成立則時(shí)當(dāng) x

7、x . 1 1 , 1 1 | , 1 2 成立時(shí)時(shí)當(dāng) x x 證明過(guò)程怎 么寫(xiě)？ 例例2 2020/12/1516 則當(dāng)取不妨設(shè) , 1 1 , ) 10 ( 0 X 有時(shí) , |Xx , 1 1 1 1 0 1 1 222 xxx . 0 1 1 lim : 2 x x 故由極限的定義可知 這里想得通嗎？ , )( 0 的接近程度的與是用來(lái)描述由于axf . , 某個(gè)正數(shù)它小于 設(shè)故可以在一開(kāi)始時(shí)就假小且它的值可以取得任意 2020/12/1517 . lim 不存在證明 xx xx x ee ee , 1 1 1 limlim 2 2 x x x xx xx x e e ee ee ,

8、1 1 1 limlim 2 2 x x x xx xx x e e ee ee , limlim xx xx x xx xx x ee ee ee ee 由于 . lim 不存在故 xx xx x ee ee 例例2 2 證證 2020/12/1518 . arctan lim 不存在證明x x 2 2 y xyarctan x 由圖容易看出： 分析 , 2 arctanlim x x , 2 arctanlim x x . arctan lim 不存在由定理可知：x x 需要證明之處 請(qǐng)同學(xué)們 自己證一下. 例例2 2020/12/1519 的極限時(shí)二 )( , . 0 xfxx x x0

9、 時(shí)函數(shù)的極限, 是 描述當(dāng) x 無(wú)限接近 x0 時(shí), 函數(shù) f (x)的變化趨勢(shì). 2020/12/1520 . 112)( , 0 xxfx時(shí)當(dāng) f ( x ) 在點(diǎn) x0= 0 處有定義. 1 1 )( , 1 3 x x xfx時(shí)當(dāng) 函數(shù) f ( x ) 在點(diǎn) x0= 1 處沒(méi)有定義. . 31 2 xx 例例3 2020/12/1521 無(wú)限只考慮有無(wú)定義在必考慮 , )( 0 xxxxf 的變化函數(shù)時(shí)即接近 )( , ) ,(U , 0 0 xfxxx 是否成立。趨勢(shì)，即不等式 |)(| axf 我們不這類極限過(guò)程時(shí)在討論 , 0 xx 2020/12/1522 的極限函數(shù)時(shí) )(

10、 , . 1 0 xfxx , | 0 , 0 , 0 0 時(shí)當(dāng)若xx |)(|axf , )( , 0 時(shí)的極限當(dāng)為函數(shù)則稱成立xxxfa . )( )( )(lim 0 0 xxaxfaxf xx 或記為 : , 需要考察的是就是說(shuō) , , 0 去心鄰域時(shí)的落在點(diǎn)當(dāng)軸上在xxx ) )( ( , 是否落在點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)軸上在xfyyy . 鄰域內(nèi)的a 2020/12/1523 O x y ay ay ay 0 x () )(xfy x y ( ( ),(U 0 xx ) ,U(ay 0 x 0 x 的幾何解釋 )(lim 0 axf xx P 2020/12/1524 . lim 0 0 xx

11、xx 證明 證證 , 0 | 0 xx . lim , 0 0 xx xx 故成立 例例4 ,|0, 0 時(shí)則當(dāng)取xx 2020/12/1525 . 8 2 )4(2 lim 2 2 x x x 證明 證 , 0 , )8( 2 )4(2 2 x x 要 | )2(|2 |2|2|8)2(2| xxx只要 , | )2(| 0 , 2 有時(shí)則當(dāng)故取 x , )8( 2 )4(2 2 x x . 8 2 )4(2 lim 2 2 x x x 即 2x 例例5 2020/12/1526 證 . 3 1 1 lim 3 1 x x x 證明 , 0 , 3 1 1 3 x x 要 , | 1|2|

12、|2| |31| 22 xxxxxx只要 ？ 如何處理它如何處理它 例例6 2020/12/1527 這里 | x + 2 | 沒(méi)有直接的有界性可利用, 但又必須設(shè)法去掉它. 因?yàn)?x 1, 所以, 從某時(shí)候開(kāi)始 x 應(yīng)充分地接近 1 . ( ) 0 x 21 1 11+ 1 4|2|x1 1 取 分析分析 結(jié)論 1 | 1| 0 x 2020/12/1528 證 . 3 1 1 lim 3 1 x x x 證明 , 0 , 3 1 1 3 x x 要 , | 1|2| |2| |31| 22 xxxxxx只要 , | 1|4| 1|2| 3 1 1 3 xxx x x 于是 , | 1| 0

13、 , 4 , 1 min 有時(shí)則當(dāng)取 x . 3 1 1 3 x x 證畢 , ) 1 , 1 (U , 1 , 1 1 此時(shí)必有時(shí)當(dāng)令xx , 4 |2| x 例例6 2020/12/1529 1) 與 和 x0 有關(guān), 即 = ( , x0). 一般說(shuō)來(lái), 值越小, 相應(yīng)的 值也越小. 2) 不等式 | f (x)a | 0 , 同 時(shí)也要對(duì) x x0 以任何方式進(jìn)行都成立. 3) 函數(shù) f (x) 以 a 為極限, 但函數(shù) f (x) 本身可以 不取其極限值 a. 2020/12/1530 y = a y = a y = a xO y x0 x0 x0 + )(xfy 曲線只能從該矩形的

14、左右兩邊穿過(guò) 極限的幾何意義函數(shù)時(shí) )( , . 2 0 xfxx 2020/12/1531 在以后的敘述中, 如果函數(shù) f ( x ) 極限的某種 性質(zhì)與運(yùn)算對(duì)任何一種極限過(guò)程均成立 , 則將使 表示對(duì)任意一種極限過(guò)程的函數(shù)用符號(hào) )(limxf 極限. 函數(shù)極限的性質(zhì)與數(shù)列極限的性質(zhì)類似, 我們只列舉出來(lái), 其證明 過(guò)程請(qǐng)同學(xué)們自己看書(shū). 2020/12/1532 2.有界性定理 若 lim f ( x ) 存在, 則函數(shù) f ( x ) 在該極限過(guò)程中必有界. 1.唯一性定理 若 lim f ( x ) 存在, 則極限值必唯一. 3.保號(hào)性定理 極限值的正負(fù)與函數(shù)值正負(fù)的關(guān)系 函數(shù)值的正

15、負(fù)與極限值正負(fù)的關(guān)系 2020/12/1533 極限值的正負(fù)與函數(shù)值正負(fù)的關(guān)系 ),0( 0 ,)(lim 0 aaaxf xx 若 。有)0)( 0)( xfxf ),0( 0 ,)(lim aaaxf x 若,0 0 X則 ,D | 0 時(shí)且當(dāng) f xXx。有)0)( 0)( xfxf 該定理也稱為第一保號(hào)性定理 , )(U 0 x則 , )(U 0 時(shí)當(dāng) f Dxx 2020/12/1534 極限值正負(fù)與函數(shù)值正負(fù)關(guān)系的推論 ),( ,)(lim 0 cacaaxf xx 若 , )(U 0 x則 , )(U 0 時(shí)當(dāng) f Dxx。有)( )( cxfcxf ),( ,)(lim cac

16、aaxf x 若 ,0 0 X則 ,D | 0 時(shí)且當(dāng) f xXx。有)( )( cxfcxf 2020/12/1535 函數(shù)值的正負(fù)與極限值正負(fù)的關(guān)系 ),(U ),0)( , 0)( 0 xxxfxf 若 , )(lim 0 axf xx 且 。則必有)0( 0 aa 該定理也稱為第二保號(hào)性定理 , 0| ),0)( , 0)( rxxfxf若 。則必有)0( 0 aa , )(lim axf x 且 2020/12/1536 第二保號(hào)性定理成立. 運(yùn)用反證法, 設(shè) f ( x ) 0 ( f ( x ) 0 ) 時(shí), 有 a 0 ), 則由第一保號(hào)性定理將推出 f ( x ) 0) 的矛

17、盾, 該矛盾就證明了 2020/12/1537 注意: 當(dāng) f ( x ) 0 ( f ( x ) 0 ) 時(shí), 按照第二保號(hào)性定理也只能得到 a 0 ( a 0 ) 結(jié)論. . 0 1 lim , 0 1 )( ,1 : xx xfx x 而時(shí)例如 2020/12/1538 考慮兩個(gè)問(wèn)題. 2020/12/1539 O x y ay ay ay 0 x () )(xfy ( 0 x 0 x 的幾何解釋 )(lim 0 axf xx ( 2020/12/1540 y = a y = a y = a xO y x0 x0 + )(xfy 函數(shù)在 x0 的左邊可以無(wú)定義 想想這種情形下, 函數(shù)有極

18、限嗎 ? 如何描述這種情形？ 2020/12/1541 想想這種情形下, 函數(shù)有極限嗎 ? y = a y = a y = a xO y x0 x0 )(xfy 函數(shù)在 x0 的右邊可無(wú)定義 如何描述這種情形？ 2020/12/1542 , 0 , 0 , 0 0 時(shí)當(dāng)若xx |)(| axf 記為右極限 ,時(shí)的當(dāng)為則稱成立 )( , 0 xxxfa )(lim 0 axf xx .)0( 0 axf也可記為, )( )( 0 xxaxf或 右極限函數(shù)的左 時(shí),四、 0 xx 2020/12/1543 , 0 , 0 , 0 0 時(shí)當(dāng)若xx |)(| axf 記為左極限 ,時(shí)的當(dāng)為則稱成立 )

19、( , 0 xxxfa )(lim 0 axf xx .)0( 0 axf也可記為, )( )( 0 xxaxf或 2020/12/1544 (1) 左、右極限均存在, 且相等； (2) 左、右極限均存在, 但不相等； (3) 左、右極限中至少有一個(gè)不存在. 找找例題！ 函數(shù)在點(diǎn) x0 處的左、右極限可能出現(xiàn) 以下三種情況之一： 2020/12/1545 11 1 2 1 1 )( 2 xx x xx xf求 )(lim 1 xf x )(lim 1 xf x y = f (x) xO y 1 1 2 1 在 x = 1 處的左、右極限. 1lim 2 1 x x 0) 1(lim 1 x x

20、 解 例例7 2020/12/1546 y = a y = a y = a xO y x0 x0 + y = a y = a y = a O y x0 x0 )(xfy 對(duì)此有什么想法沒(méi)有？ 2020/12/1547 axf xx )(lim 0 axfxf xxxx )(lim)(lim 00 利用 0| x x0| x x00 或0 x x0 和極限的定義, 即可證得. 2020/12/1548 。求設(shè) )(lim , 1, 1 1, 1 )( 1 2 xf xx xx xf x 2) 1(lim)(lim 2 11 xxf xx 2) 1(lim)(lim 11 xxf xx 2)(li

21、m 1 xf x 解 例例8 2020/12/1549 . | lim 0 x x x 求 | lim 0 x x x | lim 0 x x x )(lim)(lim 00 xfxf xx . | lim 0 不存在 x x x x x x0 lim11lim 0 x x x x0 lim1) 1(lim 0 x 解 例例9 2020/12/1550 例例10 . | | )(|lim ,)(lim : 00 axfaxf xxxx 則若證明 證證 , 0 , 0 , ,)(lim 0 所以因?yàn)閍xf xx , | 0 0 有時(shí)當(dāng)xx |)(|axf | | | )(| |axf , 得故由

22、極限的定義 . | | )(|lim 0 axf xx ?立該命題的逆命題是否成 情形也成立。 的 對(duì)x 2020/12/1551 思考與練習(xí)思考與練習(xí) 1. 若極限 )(lim 0 xf xx 存在, )()(lim 0 0 xfxf xx 2. 設(shè)函數(shù) )(xf 且 )(lim 1 xf x 存在, 則 . a 是否一定有 1, 12 1, 2 xx xxa ？ 2020/12/1552 三、極限定義及定理小結(jié)三、極限定義及定理小結(jié) 2020/12/1553 極限定義一覽表 目標(biāo)不等式過(guò) 程 描 述度 量 極限形式 axn n lim axf x )(lim axf x )(lim axf x )(lim axf xx )(lim 0 axf xx )(lim 0 axf xx