華東師大版九年級數(shù)學(xué)上冊2225一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

1、5. 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系根與系數(shù)的關(guān)系 1.一元二次方程的一般形式是什么？ 3.一元二次方程的根的情況怎樣確定？ 2.一元二次方程的求根公式是什么？ )0( 0 2 ?acbxax acb4 2 ? 沒有實數(shù)根 兩個相等的實數(shù)根 兩個不相等的實數(shù)根 ? ? ? 0 0 0 ) 04( 2 4 2 2 ? ? ?acb a acbb x 復(fù)習(xí)導(dǎo)入復(fù)習(xí)導(dǎo)入 解下列方程，將得到的解填入下面的 表格中，你發(fā)現(xiàn)表格中的兩個解的和與積 和原來的方程的系數(shù)有什么聯(lián)系？ 方 程 x1 x2 x1+x2 x1x2 x2-2x=0 x2+3x-4=0 x2-5x+6=0 -4 0 2 2 0 1 -3 -

2、4 2 3 5 6 進(jìn)入新課 探索1 一般地，對于關(guān)于x的方程x2+p x+q=0 （p、q為已知常數(shù)，p2-4q0），試用求根 公式求出它的兩個解x1、x2， 算一算x1+x2、 x1、x2 的值，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？與前面 的觀察的結(jié)果是否一致？ 2 4 2 qpP? 關(guān)于x的方程x2+p x+q=0 （p、q為已知 常數(shù)，p2-4q0），用求根公式求得 x1 = 、x2 = 則x1+x2=-p，x1 x2=q，這說明一元二次 方程的系數(shù)與方程的兩個根之間總存在一定 的數(shù)量關(guān)系。用這種關(guān)系可以在已知一元二 次方程一個根的情況下求出另一個根及未知 系數(shù)，或求作一個一元二次方程。 2 4 2 q

3、pp? 結(jié)論： 填寫下表： 方程 兩個根 兩根 之和 兩根 之積 a與b 之間 關(guān)系 a與c 之間 關(guān)系 1 x 2 x 21 x x ? 21 x x ? a b ? a c 猜想： 如果一元二次方程 的兩個根 分別是 、 ，那么，你可以發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？ )0(0 2 ?acbxax 1 x 2 x 043 2 ?xx 065 2 ?xx 0132 2 ?xx 2 3 ? 2 1 ? 2 1 2 3 ? 2 1 4? 65653 1? 2 13?4?3?4? 探索2 依據(jù)探索1過程，自己探索關(guān) 于x的方程ax2+bx+c=0(a0）的兩根 x1 x2與系數(shù)a、b、c之間有何關(guān)系？ 友情提示 根

4、與系數(shù)的關(guān)系存在的前提條 件是：（1)a0(2)b2-4ac0 形如ax2+bx+c=0(a0）x2+px+q=0形式， 轉(zhuǎn)化 x1+x2=-p x1x2=q a c xx a b xx? 2121 , 已知：如果一元二次方程 的兩個根分別是 、 。 a b xx? 21 a c xx? 21 )0(0 2 ?acbxax 1 x 2 x 求證： 推導(dǎo)推導(dǎo): a acbb a acbb xx 2 4 2 4 22 21 ? ? ? ? a acbbacbb 2 44 22 ? ? a b 2 2? ? a b? ? a acbb a acbb xx 2 4 2 4 22 21 ? ? ? ?

5、? 2 22 4 4 a acbb? ? 2 4 4 a ac ? a c ? 如果一元二次方程 的兩個根分別是 、 ，那么： a b xx? 21 a c xx? 21 )0(0 2 ?acbxax 1 x 2 x 這就是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，也叫韋達(dá)定理。 046 2 ? xx 2 35 0 xx? ? 52 2 ?x 2 2350 xx? 073 2 ?xx 1. 3. 2. 4. 5. ? 口答下列方程的兩根之和與兩根之積?？诖鹣铝蟹匠痰膬筛团c兩根之積。 1.已知一元二次方程的 兩 根分別為 ，則： 012 2 ? xx 21,x x_ 21 ? ?x x_ 21 ? ?x

6、x 2.已知一元二次方程的 兩根 分別為 ，則： 63 2 ? ? x x 21,x x 3.已知一元二次方程的 的一個根為1 ，則方程的另一根為_ ， m=_ ： 093 2 ?mxx _ 21 ? ?x x _ 21 ? ?x x 4.已知一元二次方程的 兩 根分別為 -2 和 1 ，則：p =_ ; q=_ 0 2 ?qpxx 例1 1已知 12 ,xx 是方程 2 241 0 xx? ? 的兩個實數(shù)根，求 22 12 xx?的值。 。 解： 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系: 1212 1 2, 2 xxxx? ? 222 121212 ()2xxxxx x? 2 1 22 ()

7、2 ? ?5? 例2 利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一元二次方程 兩個根的；（1）平方和；（2）倒數(shù)和 0132 2 ?xx 解：設(shè)方程的兩個根是 x1 x2，那么 ? ? ? 1212 222 12121 2 2 12 1212 31 , 22 1()2 3113 2 224 1131 23 22 xxx x xxxxxx xx xxxx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解：設(shè)方程的兩根分別為 和 ， 則： 而方程的兩根互為倒數(shù) 即： 所以： 得： 例3. 方程 的兩根互 為倒數(shù)，求k的值。 0123 2 ?kkxx 1 x 2 x 12 21xxk? 1

8、2 1xx? 112?k 1?k 1、如果-1是方程2X 2X+m=0 的一個根，則另 一個根是_，m =_。 2、設(shè) X1、X2是方程X 24X+1=0 的兩個根，則 X1+X2 = _ ,X1X2 = _， X12+X22 = ( X1+X2)2 - _ = _ ( X1-X2)2 = ( _ )2 - 4X1X2 = _ 3、判斷正誤： 以2和-3為根的方程是X 2X-6=0 （ ） 4、已知兩個數(shù)的和是 1，積是-2，則這兩個數(shù)是 _ 。 X1+X2 2X1X2 -3 4 1 14 12 2和-1 基 礎(chǔ) 練 習(xí) （還有其他解法嗎？） 2 3 5. 已知方程 的一個根 是2，求它的另一

9、個根及k的值. 解：設(shè)方程 的兩個根 分別是 、 ，其中 。 所以： 即： 由于 得：k=-7 答：方程的另一個根是 ，k=-7 065 2 ? kxx 065 2 ? kxx 1 x 2 x2 1 ?x 5 6 2 221 ?xxx 5 3 2 ?x 5 ) 5 3 (2 21 k xx? 5 3 ? 補(bǔ)充規(guī)律補(bǔ)充規(guī)律： ?兩根均為負(fù)的條件： X1+X2 且 X1X2 。 ?兩根均為正的條件： X1+X2 且 X1X2 。 ?兩根一正一負(fù)的條件： X1+X2 且 X1X2 。 ?當(dāng)然，以上還必須滿足一元二次方程有根的 條件：b2-4ac0 例例 方程x 2?(m?1)x?2m?1?0求m滿足

10、什么條 件時,方程的兩根互為相反數(shù)？方程的兩根 互為倒數(shù)？方程的一根為零？ 解:? (m?1)2?4(2m?1)?m2?6m?5 兩根互為相反數(shù) 兩根之和m?1?0,m? 1,且? 0 m? 1時,方程的兩根互為相反數(shù). 兩根互為倒數(shù) ? m 2?6m?5, 兩根之積2m?1?1 m?1且? 0, m?1時,方程的兩根互為倒數(shù). 方程一根為0, 兩根之積2m?1?0 且? 0, 時,方程有一根為零. 2 1 ?m 2 1 ?m 引申引申:1、若、若ax2?bx?c?0 (a?0 ? 0) （1）若兩根互為相反數(shù)）若兩根互為相反數(shù),則則b?0; （2）若兩根互為倒數(shù),則a?c; （3）若一根為0,則則c?0 ; （4）若一根為1,則a?b?c?0 ; （5）若一根為?1,則則a?b?c?0; （6）若a、c異號,方程一定有兩個實數(shù)根. 2.應(yīng)用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系時， 首先要把已知方程化成一般形式. 3.應(yīng)用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系時， 要特別注意，方程有實根的條件，即在初 中代數(shù)里，當(dāng)且僅當(dāng) 時