湖北黃崗中學(xué)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)解析16：空間垂直與與平行證明

1、湖北黃崗中學(xué)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)解析16:空間垂直與與平行證明【考點(diǎn)聚焦】考點(diǎn)1：空間元素點(diǎn)、線、面之間的垂直與平行關(guān)系的判斷；考點(diǎn)2:空間線面垂直與平行關(guān)系的證明；簡(jiǎn)單幾何體中的線面關(guān)系證明；【考點(diǎn)小測(cè)】1. 已知m、n是兩條不重合的直線，a伙丫是三個(gè)兩兩不重合的平面.給出下列的四個(gè) 命題：若 m .1 二，m .1 “，則II、；若二丫 , 1 ，則/-；若 m 二卅，n 二、， mil n，則II :；若m、n是異面直線， m二卅，mil - , n二：,n ：，則iT-，其中真命題是A .和B .和 C .和D .和2. （北京卷）平面:-的斜線AB交于點(diǎn)B，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線l與AB垂

2、直，且交:-于點(diǎn)C，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是（A）一條直線（B） 個(gè)圓（C） 一個(gè)橢圓（D）雙曲線的一支3. （湖北卷）關(guān)于直線m,n與平面-,有以下四個(gè)命題：若 m/，nil -且ii -, 則mII n ；若m .丨二，n .丨，且二.丨】，則m _ n ；若m .丨爲(wèi)，n 一：且II -，則m _ n ； 若m，n“且.I，則m n ；其中真命題的序號(hào)是A .B.C.D .4. （上海卷）若空間中有四個(gè)點(diǎn)，則“這四個(gè)點(diǎn)中有三點(diǎn)在同一直線上”是“這四個(gè)點(diǎn)在同一平面上”的（）（A ）充分非必要條件；（B）必要非充分條件；（C）充要條件；（D）非充分非必要條件5. （上海卷）如果一條直線與一個(gè)平面垂直

3、，那么，稱(chēng)此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”.在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是 .6. 在正四面體P ABC中，D, E, F分別是AB, BC, CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論中不成.立.的是（）（A） BCII平面 PDF （ B） DF 丄平面 PA E（C）平面 PDF丄平面 ABC（ D）平面 PAE丄平面 ABC7給出下列關(guān)于互不相同的直線m, n,l和平面 二：的四個(gè)命題：m二卅，1= A,點(diǎn)A “ m,貝U l與 m不共面；丨、m是異面直線，I / ： ,m / ：,且n _ I, n _ m,則 n _ ：-； 若 1 ： ,m

4、； /一：，則 l/m ；若 I :,m : ,l m=點(diǎn) A,l/ ,m/ 則：/ -其中為假命題的是（C）（A （B （C）3（D 8.已知 a、b、c是直線，1是平面，給出下列命題：若a_b,b_ c,則a/c若a/b, b _ c,則a _ c若a/ ,b -,則a/b ；若a與b異面，且a/ ,則b與相交；若a與b異面，則至多有一條直線與a, b都垂直.其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A . 1 B. 2C. 3D. 49.（全國(guó)II）如圖，平面 a丄平面 3, A a, B 3, AB與兩平面 a 3所成的角分別為n和n,過(guò)a、b分別作兩平面交線的垂線，垂足為a、B，46貝U AB : AB

5、=(A) 2 : 1( B) 3 : 1(C) 3 : 2(D) 4 : 3【典型考例】 例1. (P75例3)例 1如圖，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，AC= 3, BC = 4, AA1 = 4,AB=5點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，（I）求證：AC丄BC1 ；（II）求證：AC 1/平面 CDB1 ；（III ）設(shè)BD1的中點(diǎn)為F，求三棱錐 B1-BEF的體積例2.已知ABCD是上.下底邊長(zhǎng)分別為 2和6，高為3的D Oj C等腰梯形，將它沿對(duì)稱(chēng)軸 0。1折成直二面角（I）證明： AC丄 BO1； （n）求點(diǎn)01到平面AOC的距離。（山）求四面體O1-ACO 的體積。例3.如圖，在底面為平行

6、四邊形的四棱錐 P - ABCD中，AB _ AC , PA 平面ABCD，且PA = AB，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)（I）求證： AC _ PB ； （n）求證： PB/平面AEC ； （m ）求四面體 B-AED的 體積。A1例4.（ 2006湖北文文修改） 如圖，已知正三棱柱 ABC-A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為 1, M是底面BC邊上的中點(diǎn)，N是側(cè)棱CCi上的點(diǎn)。（I）當(dāng)B1ML AN時(shí)，求CN的長(zhǎng)度；（H）若CN= 1時(shí)，求點(diǎn)Bi到平面AMN的距離。3【考點(diǎn)聚焦】考點(diǎn)1:空間元素點(diǎn)、線、面之間的垂直與平行關(guān)系的判斷；考點(diǎn)2:空間線面垂直與平行關(guān)系的證明；簡(jiǎn)單幾何體中的線面關(guān)系證明；【考

7、點(diǎn)小測(cè)】1. 已知m、n是兩條不重合的直線， a伙丫是三個(gè)兩兩不重合的平面.給出下列的四個(gè)命題： 若 m .1 二,m _ ，則:-/；若二.1 , 1 _ ，則/-;若 m :, n 二，m n ,則/ ；若m、n是異面直線， m二：, m/, n二；，n / :，則/ ，其中真命題是A .和B .和C .和D .和2. （北京卷）平面:-的斜線AB交于點(diǎn)B，過(guò)定點(diǎn) A的動(dòng)直線l與AB垂直，且交:-于點(diǎn)C ,則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是（A） 一條直線（B） 個(gè)圓（C） 一個(gè)橢圓（D）雙曲線的一支3. （湖北卷）關(guān)于直線m,n與平面:，有以下四個(gè)命題：若 m：，nil ：且/-, 則m / n ；若m丨

8、J-, n .丨匸且：；.，則m _ n ；若m丨=,n / ：且/,則m _ n ； 若m _：, n丨且、： . . L：,，則m n ；其中真命題的序號(hào)是A .B.C.D .4. （上海卷）若空間中有四個(gè)點(diǎn)，則“這四個(gè)點(diǎn)中有三點(diǎn)在同一直線上”是“這四個(gè)點(diǎn)在同一平面上”的（）（A ）充分非必要條件；（B）必要非充分條件；（C）充要條件；（D）非充分非必要條件解：充分性成立：“這四個(gè)點(diǎn)中有三點(diǎn)在同一直線上”有兩種情況：1 ）第四點(diǎn)在共線三點(diǎn)所在的直線上，可推出“這四個(gè)點(diǎn)在同一平面上”；2）第四點(diǎn)不在共線三點(diǎn)所在的直線上，可推出“這四點(diǎn)在唯一的一個(gè)平面內(nèi)”；必要性不成立：“四個(gè)點(diǎn)在同一平面上”

9、可能推出“兩 點(diǎn)分別在兩條相交或平行直線上”； 故選（A）5. （上海卷）如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么，稱(chēng)此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”.在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是 .解：正方體中，一個(gè)面有四條棱與之垂直，六個(gè)面，共構(gòu)成24個(gè)“正交線面對(duì)”；而正方體的六個(gè)對(duì)角截面中，每個(gè)對(duì)角面又有兩條面對(duì)角線與之垂直，共構(gòu)成12個(gè)“正交線面對(duì)”，所以共有36個(gè)“正交線面對(duì)” ；6.在正四面體P ABC中，D , E, F分別是AB, BC, CA 的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論中不成立 的是（C）(A) BC 平面 PDF( B) DF 丄平面 PAE(

10、C)平面 PDF丄平面 ABC ( D)平面 PAE丄平面 ABC7給出下列關(guān)于互不相同的直線m, n,l和平面:-/的四個(gè)命題： m二：打二-A,點(diǎn)A： m,貝U l與 m不共面；丨、m是異面直線，I / ： ,m / ：,且 n _ I ,n _ m,貝U n _ ：； 若 l： ,m 一：/廠:，則 l/m；若 I :,m: ,l m=點(diǎn) A,l/,m/ 二則：/ -其中為假命題的是(C)(A(B)(C)(D8.已知 a、b、c是直線，1是平面，給出下列命題：若a_b,b_ c,則a/c若a/b, b _ c,則a _ c若a/ ,b-,則a/b ；若a與b異面，且a/ -,則b與相交;

11、則至多有一條直線與 a, b都垂直其中真命題的個(gè)數(shù)是C.9.(全國(guó)II )如圖，平面a丄平面 B A a, B B AB與兩平面(X、B所成的角分別為4和6，過(guò)A、B分別作兩平面交線的垂線,足為 A、B,貝U AB： AB=若a與b異面，1垂(A) 2 : 1(B) 3 : 1(C) 3: 2(D) 4 : 3解析：連接AB禾口 AB,設(shè)AB=a,可得AB與平面所成的角為BAB蔦,在屜如中有AB詩(shī)面所成的角為.ABA,所以A2RLAAB中AB = ( ja)22a，同理可得AB與平a,因此在B,故選:A2a_L2【典型考例】例1. ( P75例3)如圖,在五面體ABCDEF中，點(diǎn)0是矩形ABC

12、D的對(duì)角線的交點(diǎn)，面CDE是等邊三角形，棱(I)證明FO /平面CDE;(II ) 設(shè)BC = 3CD,證明 EO _平面 CDF.（19）本小題考查直線與平面平行、直線與平面垂直等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和推理論證能力。滿分12分。（I）證明：取CD中點(diǎn)M ,連結(jié)0M。 在矩形ABCD中，110M / 丄 BC,又 EF/ 丄 BC,22則EF /0M .連結(jié)EM，于是四邊形EFOM為平行四邊形。.FO/ EM.F0二平面CDE，且EM 平面CDE , F0 /平面CDE。FM。由（I）和已知條件，在等邊 CDE中，CM = DM ,4 I（II）證明：連結(jié)又寸31EM _CD 且 EM

13、CD BC=EF.22因此平行四邊形EFOM為菱形，從而EO _ FM。:CD _ OM ,CD _ EM CD _ 平面 EOM ,從而 CD _ EO.而 FM P|CD -M ,所以 EO _ 平面 CDF.例2. 如圖，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AC = 3, BC = 4, AA1= 4, AB=5 點(diǎn) D 是 AB 的中點(diǎn)，（I）求證：AC丄 B ;（II）求證：AC 1/平面CDB仁 （山）設(shè)BD1的中點(diǎn)為F,求三棱錐 B1-BEF的體積證：（I）直三棱柱 ABC A1B1C1，底面三邊長(zhǎng)AC=3 ,BC=4AB=5 , AC丄BC,且BC1在平面 ABC內(nèi)的射影為 B

14、C,. AC丄 BC1；（II ）設(shè)CB1與C1B的交點(diǎn)為E,連結(jié)DE ,T D是AB的中點(diǎn)，E是BC1的中點(diǎn),DE/AC 1,DE 二平面 CDBi, ACi 二平面 CDBi,. AC/ 平面 CDBi；例2.已知ABCD是上.下底邊長(zhǎng)分別為 2和6,高為 3的等腰梯形，將它沿對(duì)稱(chēng)軸 OOi折成直二面角(I)證明：AC 丄 BOi；(H)求點(diǎn) Oi到平面AOC的距離。(III )求四面體 Oi-ACO的體積。(I)證明 由題設(shè)知 OA丄OO1, OB丄OO1.所以/ AOB是所折成的直二面角的平面角,即OA丄OB.故可以O(shè)為原點(diǎn)，OA、OB、OOi所在直線分別為 x軸、y軸、z軸建立空間直

15、角坐標(biāo)系,如圖3,貝肪目關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)是 A (3 , 0 , 0),B (0, 3, 0), C (0, 1, 73) Oi (0 , 0, 73).從而 AC =($,1, hBOj =(0,-3, .3), AC BOj - -3. 3所以AC丄BOi.例3.如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P - ABCD中，AB _ AC , PA _平面ABCD , 且PA = AB ,點(diǎn)E是PD的中點(diǎn).(I)求證： AC _ PB ; (n)求證：PB /平面AEC ;(川)求四面體 B-AED的體積。解：(i )由PA _平面ABCD可得PA_AC又AB AC ,所以AC_平面PAB所以AC _ PB(2) 如圖，連BD交AC于點(diǎn)O,連EO,則。是厶PDB的中位線,.EC/ PB.PB/ 平面 AEC(3) 如圖，取 AD的中點(diǎn)F,連EF, FO,貝U EF是厶PAD的中位線，.EF/ PA又 PA _平面 ABCD , . EF_平面 ABCD同理FO是厶ADC的