高考總復(fù)習(xí)：函數(shù)的極值和最值(文提高)知識梳理

1、函數(shù)的極值和最值【考綱要求】1.掌握函數(shù)極值的定義。2.了解函數(shù)的極值點(diǎn)的必要條件和充分條件.3.會用導(dǎo)數(shù)求不超過三次的多項式函數(shù)的極大值和極小值4.會求給定閉區(qū)間上函數(shù)的最值?！局R網(wǎng)絡(luò)】函數(shù)極值的定義函數(shù)的極值函數(shù)極值點(diǎn)條件函數(shù)的極值和最值求函數(shù)極值函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值【考點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、函數(shù)的極值函數(shù)的極值的定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x及其附近有定義，0（1）若對于x附近的所有點(diǎn)，都有f(x)f(x)，則f(x)是函數(shù)f(x)的一個極小值，記作000y極小值=f(x0).極大值與極小值統(tǒng)稱極值.在定義中，取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)，極值點(diǎn)是自變量的值，極值指的是函數(shù)值.要點(diǎn)

2、詮釋：求函數(shù)極值的的基本步驟：確定函數(shù)的定義域；求導(dǎo)數(shù)f(x)；求方程f(x)=0的根；檢查f(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負(fù)，則f(x)在這個根處取得極大值；如果左負(fù)右正，則f(x)在這個根處取得極小值.(最好通過列表法)要點(diǎn)二、函數(shù)的最值1.函數(shù)的最大值與最小值定理若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則f(x)在a,b上必有最大值和最小值；在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連第1頁共6頁續(xù)的函數(shù)f(x)不一定有最大值與最小值.如f(x)=1x(x0).要點(diǎn)詮釋：函數(shù)的最值點(diǎn)必在函數(shù)的極值點(diǎn)或者區(qū)間的端點(diǎn)處取得。函數(shù)的極值可以有多個，但最值只有一個。2.通過導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的的基本步驟：若函數(shù)

3、y=f(x)在閉區(qū)間a,b有定義，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，則求函數(shù)y=f(x)在a,b上的最大值和最小值的步驟如下：（1）求函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)f(x)；（2）求方程f(x)=0在(a,b)內(nèi)的根；（3）求在(a,b)內(nèi)使f(x)=0的所有點(diǎn)的函數(shù)值和f(x)在閉區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)；（4）比較上面所求的值，其中最大者為函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間a,b上的最大值，最小者為函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間a,b上的最小值.【典型例題】類型一：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值等問題【高清課堂：函數(shù)的極值和最值394579典型例題一】例1.已知函數(shù)f(x)=mx3+3x2-3x,mr.若

4、函數(shù)f(x)在x=-1處取得極值，試求m的值，并求f(x)在點(diǎn)m(1,f(1)處的切線方程；【解析】f(x)=3mx2+6x-3,mr.因?yàn)閒(x)在x=-1處取得極值所以f(-1)=3m-6-3=0所以m=3。又f(1)=3,f(1)=12所以f(x)在點(diǎn)m(1,f(1)處的切線方程y-3=12(x-1)即12x-y-9=0.舉一反三：【變式1】設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=ex-2x+2a,xr第2頁共6頁(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當(dāng)aln2-1且x0時，exx2-2ax+1【解析】（1）由f(x)=ex-2x+2a,xr知f(x)=ex-2,xr令f(x)=0，得x=ln

5、2于是當(dāng)x變化時，f(x),f(x)的變化情況如下表：xf(x)f(x)(-,ln2)單調(diào)遞減ln202(1-ln2+a)(ln2,+)+單調(diào)遞增故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-,ln2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln2,+)，f(x)在x=ln2處取得極小值，極小值為f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a).(2)證明：設(shè)g(x)=ex-x2+2ax-1，xr于是g(x)=ex-2x+2a，xr由(1)知當(dāng)aln2-1時，g(x)最小值為g(ln2)=2(1-ln2+a)0.于是對任意xr，都有g(shù)(x)0，所以g(x)在r內(nèi)單調(diào)遞增于是當(dāng)aln2-1時，對任意x(0,+)，都有g(shù)(

6、x)g(0)而g(0)=0，從而對任意x(0,+),g(x)0即ex-x2+2ax-10，故exx2-2ax+1【變式2】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閰^(qū)間（a，b），導(dǎo)函數(shù)f(x)在（a，b）內(nèi)的圖如圖所示，則函數(shù)f(x)在（a，b）內(nèi)的極小值有（）a1個b2個c3個d4個【答案】由極小值的定義，只有點(diǎn)b是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，故選a。類型二：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問題第3頁共6頁【高清課堂：函數(shù)的極值和最值394579典型例題三】例2.已知函數(shù)f(x)=(x2-mx+m)ex,其中mr。（1）若函數(shù)f(x)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）當(dāng)m0時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；并確定此時f(x)

7、是否存在最小值，如果存在，求出最小值，如果存在，請說明理由?！窘馕觥浚?）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)存在零點(diǎn)，則x2-mx+m=0有實(shí)根，d=m2-4m0，即m0或m4（2）當(dāng)m0，則x0或xm-2由f(x)0，則m-2x0列表如下：xf(x)f(x)(-,m-2)+增m-20極大值(m-2,0)-減00極小值(0,+)+增所以f(x)在(-,m-2)，(0,+)上單調(diào)增，在(m-2,0)上單調(diào)減。又知當(dāng)x0；x0且+時，f(x)0；而f(0)=m0),g(x)=x3+bx.(1)若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(diǎn)(1,c)處具有公共切線,求a,b的值;(2)當(dāng)a2=4b時,求函數(shù)f(x)

8、+g(x)的單調(diào)區(qū)間,并求其在區(qū)間(-,-1上的最大值.【解析】(1)由(1，c)為公共切點(diǎn)可得:f(x)=ax2+1(a0),第4頁共6頁代入式可得:.b=3則h(x)=3x2+2ax+a2,令h(x)=0,解得:x=-,x=-;26a0,-a原函數(shù)在-，-a單調(diào)遞增,在-a，-a單調(diào)遞減,在-a，+上單調(diào)遞增若-1-,即0a2時,最大值為h(-1)=a-;若-1-,即2a6時,最大值為h-=1則f(x)=2ax,k=2a,1g(x)=x3+bx,則g(x)=3x2+b,k=3+b,22a=3+b又f(1)=a+1,g(1)=1+b,a+1=1+b,即a=b,a=3(2)a2=4b,設(shè)h(x

9、)=f(x)+g(x)=x3+ax2+1a2x+1414aa12a-,262266aa224aaa262a時,即a6時,最大值為h-=1.若-1-a62;當(dāng)a(2,+)時,最大值為h-=1.綜上所述:當(dāng)a(0，2時,最大值為h(1)=a-a24a2例3.設(shè)f(x)=-1（）若f(x)在(,+）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍；【解析】（）由f(x)=-x+x+2a=-x-+2a當(dāng)x,+時，f(x)的最大值為f=+2a；1x3+x2+2ax322316（）當(dāng)0a0，得a-，99第5頁共6頁所以，當(dāng)a-12時，f(x)在,+上存在單調(diào)遞增區(qū)間（）令f(x)=0，得兩根x=1-1+8a22931+

10、1+8a，x=12所以f(x)在(-,x)，(x,+)上單調(diào)遞減，在(x,x)上單調(diào)遞增1212當(dāng)0a2時，有x1x4，12所以f(x)在1，4上的最大值為f(x)2又f(4)-f(1)=-272+6a0，即f(4)f(1)，4016所以f(x)在1，4上的最小值為f(4)=8a-=-，33得a=1，x=2，從而f(x)在1，4上的最大值為f(2)=2舉一反三：103【變式1】已知函數(shù)f（x）x3ax2bxc在x23與x1時都取得極值由f（2）ab0，f（1）32ab0得a，b2（1）求a、b的值與函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間（2）若對x1，2，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范圍?！窘馕觥浚?）f（x）x3ax2bxc，f（x）3x22axb12413932f（x）3x2x2（3x2）（x1），函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間