單擺測(cè)量重力加速度實(shí)驗(yàn)的誤差分析

1、單擺測(cè)量重力加速度實(shí)驗(yàn)的誤差分析吉恒（云南省通海縣第二中學(xué)，云南，玉溪652701）單擺實(shí)驗(yàn)是普通物理的基本實(shí)驗(yàn)之一，同時(shí)也是必做實(shí)驗(yàn)之一。其原理簡(jiǎn)單、易 懂，原則上只要在同一地點(diǎn)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)， 都應(yīng)得到相同結(jié)果，但在實(shí)際操作過程中 一些不可避免的因素會(huì)影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果的精確度。為提高實(shí)驗(yàn)的精確度，減小各種 不可避免因素給實(shí)驗(yàn)結(jié)果帶來的影響，本文從以下幾方面著手對(duì)此實(shí)驗(yàn)進(jìn)行分析 和研究。首先，對(duì)擺角進(jìn)行分析，因?yàn)殡S擺角大小的變化，擺遵循的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是不一樣的。 在實(shí)驗(yàn)原理中，一般是把它理想化地當(dāng)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)來處理，讓其滿足簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的 運(yùn)動(dòng)方程，然后來求解其周期公式，事實(shí)上這是有條件限制的。因此本文采用了

2、增維精細(xì)積分的方法來討論單擺在什么樣的擺角情況下才能夠做線性動(dòng)力學(xué)分 析，也就是單擺滿足簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的擺角范圍。其次，單擺擺長(zhǎng)的測(cè)量也是引起實(shí)驗(yàn)誤差的原因之一。 本文就單擺擺長(zhǎng)的不同測(cè) 量方法帶來的B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度（由實(shí)驗(yàn)儀器的精確度引進(jìn)）進(jìn)行計(jì)算、分析、 比較，以選取最佳測(cè)量方法。1.單擺測(cè)量重力加速度的實(shí)驗(yàn)原理如圖1所示，單擺就是用一根不可伸長(zhǎng)的輕線懸掛一個(gè)小球，使其可繞擺的支點(diǎn) O做擺動(dòng)，當(dāng)小球作擺角很小的擺動(dòng)時(shí)就是一個(gè)單擺。設(shè)小球的質(zhì)量為m,其質(zhì)心到支點(diǎn)0的距離為1（擺長(zhǎng)）。建立自然坐標(biāo)系，根據(jù)受力分析，作用在小球上的切向力的大小為mgsin ，方向總指向平衡點(diǎn)o ,當(dāng)很小時(shí)，有s

3、in ，此時(shí)切向力的大小近似為mg。法向，繩的張力和重力的分力相平衡。根據(jù)牛頓第二 運(yùn)動(dòng)定律，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程為：matmgd2因at，代入上式得dtd2dt2gl(1)上式即為單擺的運(yùn)動(dòng)微分方程。 對(duì)上式移項(xiàng)得到d2dt2若令；0g 2l 0則有d2 dP其解為A cos0t(3)式中A與是待定常數(shù)。A cos由于單擺運(yùn)動(dòng)的周期性，應(yīng)有:TA cos0t0T又因余弦函數(shù)的周期為，故oT2將式（2）代入得(5)2 l T2實(shí)驗(yàn)時(shí)，若只測(cè)量一個(gè)時(shí)間周期，則測(cè)量誤差相對(duì)較大，因此一般采用測(cè)量連續(xù)擺 動(dòng)n個(gè)周期的時(shí)間t,此時(shí)（5）式變?yōu)椋? n2l以上為基本實(shí)驗(yàn)原理，理想情況（即忽略復(fù)擺，空氣阻力，空

4、氣浮力等因素對(duì)實(shí) 驗(yàn)的影響）下只要在同一地點(diǎn)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，都應(yīng)得到相同結(jié)果，但在實(shí)際操作過程 中一些不可避免的因素會(huì)影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果的精度。g 4 百2.實(shí)驗(yàn)改進(jìn)擺角范圍討論在上述實(shí)驗(yàn)原理中，談到當(dāng)擺角很小時(shí)，可將sin近似為 處理，但未確切說明 到底要多??；同時(shí)對(duì) 角增大了又是怎樣的情況也沒有考慮進(jìn)來。因此，若要建 立單擺模型，讓單擺擺動(dòng)起來，擺角范圍的大小就是首要解決的問題。記(7)則單擺非線性動(dòng)力學(xué)方程變?yōu)椋篜 gsinl根據(jù)增維思想，通過一維變量 次狀態(tài)方程：10（8）0的引入，可將式（8）寫成矩陣形式的齊于是式0%l0(9)0 sinl0（8）簡(jiǎn)寫為V HV根據(jù)矩陣分析理論,其解為Ht*e

5、Vo(10)其中V為初始狀態(tài)向量,V為任意時(shí)刻的狀態(tài)向量。為得解的遞推表達(dá)式,將時(shí)間軸等分為N段,即t0,t1,t2, ,tj,tj時(shí)間步長(zhǎng)為t tj1 tj則由tj時(shí)刻的狀態(tài)向量Vj ,可求tj 1時(shí)刻的狀態(tài)向量Vj 1。即/H tVj 1 e Vj(11)H t其中指數(shù)矩陣e 采用高精度、高效率的精細(xì)積分法。以上是采用高精度、高效率的增維精細(xì)積分推導(dǎo)出的求解單擺非線性動(dòng)力擺角和 擺速（取擺角初始速度都為零）的迭推公式。通過單擺線性動(dòng)力響應(yīng)與非線性動(dòng) 力響應(yīng)的對(duì)比分析，得出了能簡(jiǎn)化為線性動(dòng)力問題的最大擺角值及最大擺角和擺長(zhǎng)對(duì)非線性動(dòng)力問題擺角相位、擺速相位的變化規(guī)律，即當(dāng)初始擺角小于0 10

6、時(shí)，采用非線性動(dòng)力方程求解的擺角時(shí)程曲線、 擺角速度時(shí)程曲線分別與同一問 題線性動(dòng)力方程求得的擺角時(shí)程曲線、擺角速度時(shí)程曲線幾乎完全重合，達(dá)到同一周期兩者間的相位差很小，可以忽略不計(jì)。但是當(dāng)初始擺角超過0 10后，隨著初始擺角的增大，采用非線性動(dòng)力方程求得的擺角、 擺角速度達(dá)到某一平衡位 置所需的時(shí)間分別比采用線性動(dòng)力方程所得的擺角、擺角速度達(dá)到同一周期平衡位置所需的時(shí)間越來越長(zhǎng)。因此,當(dāng)初始擺角大于010后，不能采用簡(jiǎn)化的線性動(dòng)力方程來求解單擺動(dòng)力響應(yīng) 用非線性動(dòng)力方程求解。所以,否則所得結(jié)果與實(shí)際存在較大的差距，而應(yīng)采 若要采用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程來求解單擺周期公式，實(shí)驗(yàn)中單擺的擺角應(yīng)該小于10

7、,誤差也才能因此而減小。換言之，只有在單擺擺動(dòng)的角度小于10的情況下，單擺的微分方程才可表示為式（1）的形式，才可求解得T2補(bǔ)(12)相應(yīng)地，重力加速度的表達(dá)式為4 *。此即為實(shí)驗(yàn)原理中介紹的周期公式和重力加速度公式的來由。擺長(zhǎng)的測(cè)量方法選擇在測(cè)量擺長(zhǎng)的過程中，方法選擇的不同，誤差的來源以及傳遞就不同，引起的誤 差大也就不一樣。在選用的長(zhǎng)度測(cè)量工具都為米尺和游標(biāo)卡尺的情況下 （即儀器 的精確度等級(jí)相同，其極限誤差值相同），測(cè)量方法對(duì)由實(shí)驗(yàn)儀器引入的B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度U（B）的影響是不同的。實(shí)驗(yàn)中用毫米刻度的米尺測(cè)量擺線長(zhǎng)度， 用游標(biāo)卡尺測(cè)量擺球直徑，其中米尺的 極限誤差為 = 0.1mm，游標(biāo)卡尺的極限誤差為 = 0.02mm擺長(zhǎng)的測(cè)量方法一 般如下三種。如圖2所示，h為支點(diǎn)到擺球上端的距離，12為支點(diǎn)到擺球下端的距離，D為擺球的直徑。方法1：1 11 12 /2其B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度為:U BK-01)2 (邛)2 0.0408mmV 2J32J3方法2:B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度為:方法3：2 %B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度為:U