1992真題及解析

1、1992年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學三試題、填空題(本題共5小題，每小題3分,滿分15分,把答案填在題中橫線上.)(1)設商品的需求函數(shù)為 Q =100 _5P ,其中Q, P分別表示為需求量和價格,如果商品需求彈性的絕對值大于1,則商品價格的取值范圍是 (x 2)2n級數(shù)a (4的收斂域為nn 4 n4交換積分次序 f dy f (x, y)dx =設A為m階方陣，B為n階方陣，且A=a, B =b,C =IB將C,C,E,E, I, N,S等七個字母隨機地排成一行，那么，恰好排成英文單詞 SCIENCE的概率為二、選擇題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分.在每小題給出的四個選項中，

2、只有一項是符合題目要求的，把所選項前的字母填在題后的括號內.)(1)設 F(x)xf(t)dt,其中f(x)為連續(xù)函數(shù)，則limF(x)等于X a aX a(A) a2(B)a2f(a)不存在(D)(C) 0當Xr 0時，下面四個無窮小量中，哪一個是比其他三個更高階的無窮小量(A) x2(B)1 COSX(C) 、1-X2-1(D)x- tan xAx = 0僅有零解的充分條件是(B)(D)A的列向量線性相關A的行向量線性相關()(A) P(C) _ P(A) P(B) -1(B)P(C) _ P(A) P(B) -1(C) P(C)二 P(AB)(D)P(C) = P(AU B)設A為m n

3、矩陣，齊次線性方程組(A) A的列向量線性無關(C) A的行向量線性無關設當事件A與B同時發(fā)生時，事件C必發(fā)生，則設n個隨機變量X1,X2|,Xn獨立同分布，()S是二的最大似然估計量1 n _s2(XjX)2,則n - 1 i 4(A) S是二的無偏估計量(B)(C) S是二的相合估計量(即一致估計量)(D)S與X相互獨立三、(本題滿分5分)設函數(shù)In cos(x -1)1 s in x21,x =1,問函數(shù)X =1.(X)在X = 1處是否連續(xù)？若不連續(xù)，修改函數(shù)在X =1處的定義使之連續(xù)四、(本題滿分5分)計算I五、(本題滿分5分)-2設z=si n(xy):(xd),求 Z,其中(u,

4、v)有二階偏導數(shù)y ccy六、(本題滿分5分)X2 求連續(xù)函數(shù)f(x),使它滿足f(X) 2. f (t)dt =x .ji4七、(本題滿分6分)1 2x求證：當 x_1 時，arctanx arccos 22 1+x2八、(本題滿分9分)設曲線方程y二(x _0).(1) 把曲線y =e, x軸，y軸和直線x = (0)所圍成平面圖形繞 x軸旋轉一周，得一旋轉體，求此旋轉體體積7();求滿足V(a) = * lim 一 V ( J的a.(2) 在此曲線上找一點，使過該點的切線與兩個坐標軸所夾平面圖形的面積最大，并求出該面積.九、(本題滿分7分)設矩陣A與B相似,其中-_-20 01-1 0

5、01A =2x2,B =0 2 03 1 1 一L0 0 y求x和y的值.求可逆矩陣P,使得PAP=B.十、（本題滿分6分）已知三階矩陣B = 0,且B的每一個列向量都是以下方程組的解為 2x2 -2x3 = 0, 2xi - X2 * X3 二 0,3xiX2 _X3 = 0.（1）求九的值；（2） 證明B =0.十一、（本題滿分6分）（A 0）設A、B分別為m n階正定矩陣，試判定分塊矩陣 C=是否是正定矩陣.3 b丿十二、（本題滿分7分）假設測量的隨機誤差 X L N（0,102）,試求100次獨立重復測量中，至少有三次測量誤差 的絕對值大于19.6的概率：，并利用泊松分布求出:-的近似

6、值（要求小數(shù)點后取兩位有效數(shù) 字）.附表1234567e0.3680.135 0.0500.0180.007 0.002 0.001十三、（本題滿分5分）一臺設備由三大部分構成，在設備運轉中各部件需要調整的概率相應為0.10,0.20 和0.30.假設各部件的狀態(tài)相互獨立，以X表示同時需要調整的部件數(shù)，試求X的數(shù)學期望EX和方差DX .十四、（本題滿分4分）設二維隨機變量（X,Y）的概率密度為ef(x，八 00 x y,其他，（1）求隨機變量 X的密度fx（x）; （2） 求概率PX 1.1992年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學三試題解析一、填空題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分.)(1

7、)【答案】(10,20【解析】根據(jù) Q(P) =100-5P _0,得價格P20,又由Q=100-5P得Q(P) = -5,按照經(jīng)濟學需求彈性的定義，有P邊Q(P)5P100 5P5P5P100 5P100 5P令1,解得P 10.所以商品價格的取值范圍是(10,20.(2)【答案】(0,4)【解析】因題設的幕級數(shù)是缺項幕級數(shù),故可直接用比值判別法討論其收斂性首先當x-2=0即*=2時級數(shù)收斂當x = 2時，后項比前項取絕對值求極限有當(X 2)limn_ac(X_2)2(n 1(n 1)4n 1n4n(x-2)2nlim 旦二口4 J n 141,即當0 c|x 2 c2二0cxc2或2cx

8、 c 4時級數(shù)絕對收斂又當x =0和x =4時得正項級數(shù):1 : 1、-,由p級數(shù)：亠當p 1時收斂；當P豈1時發(fā)散. n4 n-P所以正項級數(shù)丄是發(fā)散的.n 二 n綜合可得級數(shù)的收斂域是（0, 4）.注：本題也可作換元（x-2）2二t后,按如下通常求收斂半徑的辦法討論幕級數(shù):t亠的收心n4【相關知識點】收斂半徑的求法：如果P = liman卅n_咨an斂性.,其中an,an .1是幕級數(shù),則這幕級數(shù)的收斂半徑兩項的系數(shù)二anxn的相鄰n =0【答案】【解析】0,亍=0,P = -He1x2- 22 左W心加中叫f (x, y)dy這是一個二重積分的累次積分，改換積分次序時，先表成：原式二f(

9、x,y)dxdy.D由累次積分的內外層積分限確定積分區(qū)域D : D=(x,y) 0乞 y,. y 乞 x,2- y2,即D中最低點的縱坐標 y =0,最高點的縱坐標y =1, D的左邊界的方程是 x = :; y ,即y =x2的右支，D的右邊界的方程是 x2_y2 即x22的右半圓,從圖形可見D = D1D2,且從而畫出D的圖形如圖中的陰影部分U =(x,y)O 沁叮,0 曲乞 x2,D2二(x, y) 1一 x一 一 2,0 一 y 一, 2 - x2.1u-21x2Q J2_x2所以 0 dy y f (x, y)dx = 0 dx 0 f (x, y)dy、dx 0 f (x, y)d

10、y.【答案】(1)mnab【解析】由拉普拉斯展開式mnmn=(1)mn A|B =(1)mnab.【相關知識點】兩種特殊的拉普拉斯展開式：設A是m階矩陣，B是n階矩陣，則A OA *O A* Amn* B=O B=ABJB *=B O=(耳卜B【答案】 一1260,將給出的七個字母任意排【解析】按古典概型求出基本事件總數(shù)和有利的基本事件即可設所求概率為 P(A),易見,這是一個古典型概率的計算問題成一行，其全部的等可能排法為7!種，即基本事件總數(shù)為 n = 7!,而有利于事件 A的樣本點212 1數(shù)為2! 2!,即有利事件的基本事件數(shù)為4,根據(jù)古典概型公式 P(A).7!1260二、選擇題(本

11、題共5小題，每小題3分,滿分15分.)(1)【答案】(B)【解析】方法1：limF(x)為“ 0 ”型的極限未定式，又分子分母在點0處導數(shù)都存在XT0所以可應用洛必達法則.lim F(x)xa2二 lim xx 舊 x axa f(t)dtxa f(t)dtlimx 舊 x - a*m辿x jaa2f (a).故應選(B).方法2:特殊值法.x2x2取 f (x) = 2 ,則 lim F (x) = lim2dt = 2a .x )ax )a x _ a a顯然(A),(C),(D)均不正確,故選(B).【相關知識點】對積分上限的函數(shù)的求導公式：i：(t)若 F(t)f(x)dx, ： (t

12、), :(t)均一階可導，則(t)F(t) J (t) f(t) f(t)l.(2)【答案】(D)1 1, 【解析】由于 X 0 時，1-cosx X2, 1 - X2 -1 X2 ,故 X2 ,1 COSX, 1 匚X2 _1 22是同階無窮小，可見應選(D).【答案】(A)【解析】齊次方程組 Ax = 0只有零解二r( A)二n.由于r(A)=A的行秩=A的列秩，現(xiàn)A是m n矩陣，r(A) = n,即A的列向量線性無 關.故應選(A).【相關知識點】對齊次線性方程組Ax = 0,有定理如下：對矩陣A按列分塊，有A二r,-,：、，則Ax = 0的向量形式為Xr1 X22 7( - XJn =

13、0.那么，Ax=o有非零解：=冷線性相關u r ： 1,： 2,川,：n : nU r A : n.【答案】(B)【解析】依題意：由“當事件A與B同時發(fā)生時，事件C必發(fā)生”得出 AB C,故P( AB)乞P(C);由概率的廣義加法公式 P( AU B)二P(A) P(B) - P(AB)推出P(AB)二P(A) P(B)-P(AUB)；又由概率的性質 P(AUB)空1,我們得出P(C) _ P(AB)二 P(A) P(B) _ P(AUB) _ P(A) P(B) _1,因此應選(B).【答案】(C)【解析】根據(jù)簡單隨機樣本的性質，可以將X1,X2l(,Xn視為取自方差為 二2的某總體X的簡單

14、隨機樣本，X與S2是樣本均值與樣本方差.2 2 2由于樣本方差S是總體方差的無偏估計量 ，因此ES = 一：； ,ES =匚,否則若ES=T , 則(ES)2 =；丁2, DS 二 ES2 - (ES)2 =0.故不能選(A).對于正態(tài)總體，S與X相互獨立，由于總體 X的分布未知，不能選(D).同樣因總體分 布未知，也不能選(B).綜上分析，應選(C).進一步分析，由于樣本方差S2是二2的一致估計量 其連續(xù)函數(shù) sY 一定也是二的一致估計量.三、(本題滿分5分)【解析】函數(shù)f(x)在x = Xo處連續(xù)，則要求lim f(x)二f(Xo). x_x)方法1：利用洛必達法則求極限lim f (x)

15、,因為lim f (x)為“ 0 ”型的極限未定式，又分子分 j1I0母在點0處導數(shù)都存在，所以連續(xù)應用兩次洛必達法則，有si n(x-1)lim f (x)二 limX 1， X 1.1 -si n21ln cos(x1)cos(x1)2. tan(x1)limlim兀x cos2X nx - x dcos2 242 . JI2 cos2(x-1)lim：. J1(_sin)2 2而fT故lim f (x)=1,所以f (x)在x=1處不連續(xù)4若令f(1)2,則函數(shù)f (x)在X=1處連續(xù).方法2:利用變量代換與等價無窮小代換,Xr 0 時,COSX -1|_1工 X2 ； |n(1x)Ux

16、.求極限即,令x+t,則有l(wèi)n cos(x -1) lim f (x) =lim x_1 /X_1.1 -si n2ln cost =limt0,二 t1 - cos2ln1 (cost -1)1-cos 勺2=limt0cost -12t24=limt7 二-t222t28以下同方法1.四、(本題滿分5分)【解析】用分部積分法I = - arccot exde-earccot e-xXe2 x1 edx2x-e arccot ex - (1e2x)dx1 +e1二 -earccotexxln(1 e2x) C , 其中 C 為任意常數(shù).注：分部積分法的關鍵是要選好誰先進入積分號的問題，如果選

17、擇不當可能引起更繁雜的計算，最后甚至算不出結果來.在做題的時候應該好好總結，積累經(jīng)驗.【相關知識點】分部積分公式：假定u二u(x)與v = v(x)均具有連續(xù)的導函數(shù)，則uvdx 二 uv_ u vdx, 或者 judv = uv jvdu.五、(本題滿分5分)【解析】這是帶抽象函數(shù)記號的復合函數(shù)的二階混合偏導數(shù)，重要的是要分清函數(shù)是如何復合的由于混合偏導數(shù)在連續(xù)條件下與求導次序無關,所以本題可以先求 ,再求厶().dxcy ex1由復合函數(shù)求導法，首先求zx,由題設zx = y cos(xy)川J 2,y再對y求偏導數(shù)，即得11Zxy =cos(xy)xysin(xy) ( ) -( 2)y

18、 2 2yy/ 、x1/ 、x+-徭Ay y-4；2y y= cos(xy) -xysin(xy) :12xx1= cos(xy) xysin(xy) -二 爲一飛 22；yyy【相關知識點】多元復合函數(shù)求導法則：如果函數(shù)U二(x, y), v=-: (x, y)都在點(x, y)具有對x及對y的偏導數(shù)，函數(shù)z二f (u,v)在對應點(u,v)具有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù)=f ( (x, y), (x, y)在點(x, y)的兩個偏導數(shù)存在，且有-：z:z ；:u=x.x:y-：z -：u=r:z -：v.:u : yuf1 ：:y六、(本題滿分5分)【解析】兩端對 x求導,得f (x) 2f(

19、x) =2x.記P(x) =2,Q(x) =2x,有通解f (x)二 e Pgdx( Q(x)e PdXdx C)二 ex( 2xe2xdx C)二 Cex x* ,其中C為任意常數(shù)111由原方程易見f (0) =0,代入求得參數(shù)C.從而所求函數(shù)f (x)e2x x .222【相關知識點】一階線性非齊次方程目 P(x) y二Q(x)的通解為-P(x)dx=e! Q(x)eP(x)dxdx+C其中C為任意常數(shù)七、(本題滿分6分)1【解析】方法1 :令f(x)rctanxhrccos2x 二1 x4,則f (x)二2 22Ux)(1x),0(x.1).2 2 2 21 x 2 (x -1)(1 x

20、 )因為f (x)在1,=)連續(xù),所以f (x)在1,=)上為常數(shù),因為常數(shù)的導數(shù)恒為0.1 2 X 3T 故 f(x) = f(1)=O,即 arctanx arccos21 x242 x二 ,則f(x)在1,x上連續(xù)，在(1,x)內可導,1 x24、 1 方法 2：令 f(x)二arctanxarccos由拉格朗日中值定理知，至少存在一點(1,x),使得2f(x)-f(1)= f ( )(x-1).由復合函數(shù)求導法則，得f (x)12 (1 X2)(1 X2)1 x22 (x2 -1)(1 x2)2三 0(x1),2x1 x21所以 f (x)二 f (1).由 f (1)=0 可得，當

21、x _ 1 時，arctanxarccos-2【相關知識點】復合函數(shù)求導法則g(x)l如果u =g(x)在點x可導，而y = f (x)在點u =g(x)可導，則復合函數(shù) y =在點x可導,且其導數(shù)為譽f(u)g(X)或dy dy du=dx du dx八、(本題滿分9分)V(),并求出極限lim V( ) 問題【解析】對于問題(1),先利用定積分求旋轉體的公式求(2)是導數(shù)在求最值中的應用，首先建立目標函數(shù)，即面積函數(shù)，然后求最大值(1)將曲線表成y是x的函數(shù)，套用旋轉體體積公式V( )0 y2dx =： .0egdx = 2(1-e),V(a)=邪1 一e ),由題設知一(1-eS),得a

22、 ln2.242 過曲線上已知點(X0,y)的切線方程為y - y = k(x-X。)，其中當y(x)存在時,k = y (xo).設切點為(a,e)，則切線方程為y _e=：-e(x-a).令 x=0,得 y 二e(1 a),令 y = 0,得 x=1 a.由三角形面積計算公式，有切線與兩個坐標軸夾的面積為S =1 (1 a)2e.21 1因 SJ(1 a)e(1 a)2e(1 - a2)e,令 S” = 0,得印=1,a2=1(舍去).由于當a .1時，S0；當a 1時，S，0.故當a =1時，面積S有極大值，此問題中即為最 大值.1故所求切點是(1 e J)，最大面積為S 22=2e.2

23、【相關知識點】由連續(xù)曲線y二f (x)、直線x二a，x=b及x軸所圍成的曲邊梯形繞 x軸旋b 2轉一周所得的旋轉體體積為：Vf (x)dx.La九、(本題滿分7分)【解析】因為 AL B，故可用相似矩陣的性質建立方程組來求解參數(shù)x和y的值.若P AP二上，則上是A的特征向量.求可逆矩陣P就是求A的特征向量(1)因為AL B，故其特征多項式相同，即hEA = XEB ,即2c 2) (x 1)， (x -2)1)( -2)C - y).由于是的多項式，由的任意性,令，=0,得 2(x2) =2y.令 =1,得 3 (-2) =-2(1-y).由上兩式解出y - -2與x = 0.由(1)知 20

24、0.311一 .0因為B恰好是對角陣，所以馬上可得出矩陣A的特征值，矩陣A的特征值是1 二 T, 2=2, 13 - -2 .1 0當人=一1 時，由(一EA)x = 0, -2-1._3 _10 1 0 0-2 T 012-2000j得到屬于特征值上.二1的特征向量=(0,-2,1)T 0100_2t01-1100040當為=2 時，由（2E_A）x = 0, _22七 -1得到屬于特征值衆(zhòng)=2的特征向量：2 =(0,1,1)T 000111當為=-2時，由（2EA）x=0,222T010-3-13000得到屬于特征值丸=-2的特征向量0（3 =（1,0, 1）T 1 10 ,有 PAP =

25、 B.-10 0那么令 P =（_!,口2,口3）= -2 1-1 1十、(本題滿分6分)【解析】對于條件AB=0應當有兩個思路：一是B的列向量是齊次方程組 Ax = 0的解；另 一個是秩的信息即r(A) r(B)乞n.要有這兩種思考問題的意識 廣12-2、(1)方法1：令A= 2 1 人,對3階矩陣 A,由AB=0, BH0知必有 A=0,否則A1 X22 丨 1( Xn-“ = 0.那么, AX=0有非零解 =2,川n線性相關U r ： 1,： 2,川,：n ： n= r A : n.對矩陣B按列分塊,記B=(r23),那么AB 二 AG23)=(Ar AzAQ =(0,0,0).因而 A

26、 = 0 i =(1,2,3),即：j 是 Ax = 0 的解.十一、(本題滿分6分)【解析】在證明一個矩陣是正定矩陣時，不要忘記驗證該矩陣是對稱的方法1:定義法.因為A、B均為正定矩陣，由正定矩陣的性質，故人丁二A, 二B ,那么A 0 Tf .T小、A10A 0 CT =T=0B0 B丿19.6 = P2 U a a J c |X -0|19.6-0 c IX I=PP1.96I 1010 J I 10 Jx1=1P -1.961.96 =1 一 (1.96)：(一1.96)丨I10J=1 一：(1.96) -(1 一：(1.96) =2-2：(1.96) = 2(1 _門(1.96) =

27、0.05.設Y為100次獨立重復測量中事件 A出現(xiàn)的次數(shù)，則Y服從參數(shù)為n =100, p= 0.05 的二項分布.根據(jù)二項分布的定義，pY = k=C：pk(1p)n(k= 0,1,2IH),則至少有三 次測量誤差的絕對值大于 19.6的概率為：:=PY - 3 = 1 _ PY : 3 = 1 _ PY = 0 _ PY = 1 - PY = 20 0 100 1 1 100 1 2 2 100 2 =1 - Go。0.05 (1 - 0.05)- C100 0.05 (1 - 0.05) 一 C100O.O5 (1 - 0.05)-10099100 漢 99982=1一0.95 一100

28、 0.950.050.950.052.2根據(jù)泊松定理，對于成功率為 p的n重伯努利試驗，只要獨立重復試驗的次數(shù)n充分大,而p相當小(一般要求n _ 100, p乞0.1),則其成功次數(shù)可以認為近似服從參數(shù)為的泊松分布，具體應用模式為若 Y J B(n, p),則當n充分大，p相當小時當丫近似服從參數(shù)為=np的泊松分布，即PY =k,C：pk(1- p嚴曲ep(k =0,1,2|(). k!設丫為100次獨立重復測量中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，則丫服從參數(shù)為n = 100, p = 0.05的.項分布.故，=PY _3 =1 _PY : 3 =1 _ PY =0 _ PY =1 _PY =2.1 (-)

29、0-1 0!.(/.).( Z-)eee一二 1 e_ (一e1! 2! 2丄5 一-52、(1 5 孑787.十三、(本題滿分5分)【解析】令隨機變量X；1,i 0,第i個部件需調整，第i個部件不需調整，= 1,2,3 .依題意X1.X2.X3相互獨立，且X1,X2, X3分別服從參數(shù)為0.1,020.3的0-1分布，即所以二 PX1 =0PX2 =0PX3 =0 =0.9 0.8 0.7 =0.504,PX =1 =PX1 X2 X3 =1二 Pg =1,X2 =0,X3 =0PX1 =0,X2 =1,X3 =0 PX0,X0,X1二 Pg =1PX2 =0PX3 =0Pg =0PX2 =1PX3 =0 PX0PX0PX1 = 0.1 0.8 0.70.9 0.2 0.7 0.9 0.8 0.3 =0.398,PX =3 =PX1 X2 X3 =3 = PX1 =1,X2 =1,X3 =1= PX1 =1PX1PX3 =1 =0.1 0.2 0.3 =