關于對常微分方程中積分因子的研究畢業(yè)論文

1、 畢 業(yè) 論 文論文題目：關于對常微分方程中積分因子的研究姓 名： 學科專業(yè)：數學教育指導教師： 完成時間：2011年 5 月 20 日摘 要研究了四種一階微分方程的積分因子存在的充要條件，主要通過一些特殊變形的方法來得到這四種類型的常微分方程積分因子的通解，具體可以分為： 及，四種類型各有特點但又互有聯(lián)系。關鍵詞：常微分方程；積分因子；充要條件目錄 第一章 引言1第二章 四類常微分方程積分因子的存在充要條件22.1 22.2 32.342.45參考文獻7第一章 引言一階微分方程 （1.1）的積分因子的形式，其一，其求解方法是根據類型確定解法，其中一類是全微分方程，所謂全微分方程就是方程（1.

2、1）的左端恰為某個方程的全微分。我們知道方程（1.1）是全微分的充要條件是當此不滿足的時候，方程（1.1）就不是全微分方程，此時若有一個恰當的函數使方程（1）兩端乘以后所得的方程 （1.2）為全微分方程，則稱函數為方程（1.1）的積分因子。 積分因子存在的充要條件： 如何求方程（1.1）的積分因子？一下就是關于為積分因子的充要條件，微分方程 （1.3）為全微分方程的充要條件是： 即 （1.4） 上式可以整理到 （1.5）所以為方程（1.1）的積分因子的充要條件是為方程的解。以上只是一般的微分方程的積分因子的求法，在越來越多的題型中我們會遇到很多沒有見過的題型也可以用求積分因子的方法來求解，可是

3、不同的題型積分因子的形式也將是不同的，接下來我將介紹幾種不同的題型的積分因子的求解。第二章 四類微分方程積分因子的充要條件2.1 定理2.1一階微分方程具有為積分因子的充要條件是： （2.1.1） 證明：假設積分因子為，則為全微分方程則有 （2.1.2）令， 則有 （2.1.3）即 （2.1.4）進一步整理可以得到 （2.1.5）當時，有 （2.1.6） （2.1.7）例1求的積分因子及通解。解：所以 . （2.1.8）則原方程變?yōu)闉槿⒎址匠?。取則有 （2.1.9）整理得：為通解。2.2 定理2.2 一階微分方程具有形為積分因子的充要條件是： （2.2.1）（其中a, b不同為0的常數）證明

4、：令則 （2.2.2）即為 （2.2.3） ， （2.2.4） （2.2.5）若 (2.2.6)即 (2.2.7) (2.2.8) (2.2.9) （2.2.10）此時，積分因子為 （2.2.11）2.3 定理2.3 一階微分方程具有形如的積分因子的充要條件為 （2.3.1）（其中a, b為任意常數）。證明 令則可化為 （2.3.2） （2.3.3） （2.3.4） （2.3.5） （2.3.6） （2.3.7）所以 （2.3.8） （2.3.9）2.4 定理2.4一階微分方程具有形如的積分因子的充要條件為 。 （2.4.1）證明：令即 （2.4.2） （2.4.3）若 （2.4.4） （2.

5、4.5） （2.4.6） （2.4.7） （2.4.8）所以 （2.4.9）此時微分方程的積分因子為 （2.4.10）從理論上講，運用積分因子可以獲得一階微分方程的一般解法，本文總結并給出了四類積分因子的充要條件和相關的例題，具體可以分為四種類型各有特點，但又互相關系，但是最主要的還是我們在做題的過程中要細心的觀察每個方程的特點，分析出是屬于哪個方程的類型，并求出相應的積分因子，然后以本文類型對應方程的結論進行求解。參考文獻1 王高雄，周之銘，朱思銘， 常微分方程m 高等教育出版社，1982.2 東北師范大學數學系。 常微分方程m 北京高等教育出版社, 1983.10.3 湯光宋， 一類齊次微分方程的通解定理j 長沙大學學報j, 2002.164 劉會民， 有關一階微分方程積分因子的計算j 遼寧師范大學學報j, 2003.26（3）5 丁同仁， 李承治 . 常微分方程教程m 高等教育出版設, 1991.致謝這篇論文最終能順利完成，首先應該感謝我的指導老師桂旺生老師自始至終給與的關心和指導.無論是在論文的選題、開題，還是寫作階段，桂老師都加以悉心的指導.老師嚴謹的治學作風深深地影響著我.衷心感謝各位老師，在我大學階段里，給我提供了巨大的物資和精神支持，使我順利完成了學業(yè).在論文的寫作過程中，很多同學為我提供了很多幫助，值此機會向他們表示誠摯的謝意.本論文的寫作參