雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1、 1. 1. 橢圓的定義橢圓的定義 和和 等于常數(shù)等于常數(shù) 2a ( 0|f1f2|2a) 的點(diǎn)的軌跡的點(diǎn)的軌跡. 平面內(nèi)與兩定點(diǎn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)f1、f2的距離的的距離的 1 f 2 f 0, c 0, cx y o yxm, 2. 引入問題：引入問題： 差差 等于常數(shù)等于常數(shù) 的點(diǎn)的軌跡是什么呢？的點(diǎn)的軌跡是什么呢？ 平面內(nèi)與兩定點(diǎn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)f1、f2的距離的的距離的 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) |mf1|+|mf2|=2a( 0|f1f2|2a) 雙曲線在生活中雙曲線在生活中 . 兩個(gè)定點(diǎn)兩個(gè)定點(diǎn)f1、f2雙曲線的雙曲線的焦點(diǎn)焦點(diǎn); |f1f2|=2c 焦距焦距. （1）2a0 ； 雙曲線定義雙曲線定義

2、 思考：思考： （1）若）若2a= |f1f2|,則軌跡是？則軌跡是？ （2）若）若2a |f1f2|,則軌跡是？則軌跡是？ 說明說明 （3）若）若2a=0,則軌跡是？則軌跡是？ | |mf1| - |mf2| | = 2a ( (1) )兩條射線兩條射線 ( (2) )不表示任何軌跡不表示任何軌跡 如何建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系？如何建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系？ 原則：盡可能使方程的形式簡單、運(yùn)算簡單；原則：盡可能使方程的形式簡單、運(yùn)算簡單； ( (一般利用對(duì)稱軸或已有的互相垂直的線段一般利用對(duì)稱軸或已有的互相垂直的線段 所在的直線作為坐標(biāo)軸所在的直線作為坐標(biāo)軸.).) 探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案探討

3、建立平面直角坐標(biāo)系的方案 o x y o x y o x y 方案一方案一 o x y (對(duì)稱、對(duì)稱、“簡潔簡潔”) 1 f 2 f m ox y 方案二方案二 f2f1 m x o y 求曲線方程的步驟：求曲線方程的步驟： 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 1. 1. 建系建系. . 以以f1,f2所在的直線為所在的直線為x軸，線段軸，線段 f1f2的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系 2.2.設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) 設(shè)設(shè)m（x , y）,則則f1(-c,0),f2(c,0) 3.3.列式列式 |mf1| - |mf2|=2a 4.4.化簡化簡 aycxycx2)()( 2222 即 ay

4、cxycx2)()( 2222 2 22 2 22 )(2)(ycxaycx 222 )(ycxaacx )()( 22222222 acayaxac 222 bac )0, 0(1 2 2 2 2 ba b y a x 此即為此即為 焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在x 軸上的軸上的 雙曲線雙曲線 的標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)準(zhǔn) 方程方程 1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 b x a y f2f1 m x o y o m f2 f1 x y )00(ba， 若建系時(shí)若建系時(shí),焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在y軸上呢軸上呢? 看看 前的系數(shù)，哪一個(gè)為正，前的系數(shù)，哪一個(gè)為正， 則在哪一個(gè)軸上則在哪一個(gè)軸上 22 , yx 222

5、bac | |mf1|- -|mf2| | =2a（ 2ab0，c2=a2-b2 |mf1|mf2|=2a |mf1|+|mf2|=2a 橢橢 圓圓 雙曲線雙曲線 f（0，c）f（0，c） 22 22 1(0) xy ab ab 22 22 1(0) yx ab ab 22 22 1(0,0) xy ab ab 22 22 1(0,0) yx ab ab a0，b0，a,b大小不確大小不確 定定，c2=a2+b2 例例1 題型一雙曲線定義的應(yīng)用題型一雙曲線定義的應(yīng)用 （1）動(dòng)點(diǎn)）動(dòng)點(diǎn)p到點(diǎn)到點(diǎn)m（-1,0），），n（1,0）的距離之差等）的距離之差等 于于2，則動(dòng)點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡是的軌跡是

6、a.雙曲線雙曲線 b.雙曲線的一支雙曲線的一支 c.兩條射線兩條射線 d.一條射線一條射線 （2）若方程）若方程 表示雙曲線，表示雙曲線， 則則k的取值范圍是的取值范圍是 a.k5 b.k3 c.3k5 d.k5 牛刀小試牛刀小試1 （1）平面內(nèi)有兩個(gè)定點(diǎn)）平面內(nèi)有兩個(gè)定點(diǎn)a、b，且，且|ab|=8，動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p滿足滿足 | |pa|-|pb| |=5,則動(dòng)點(diǎn)則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡是的軌跡是 a.直線直線 b.兩條射線兩條射線 c.雙曲線雙曲線 d.雙曲線的一支雙曲線的一支 （2）若動(dòng)點(diǎn)）若動(dòng)點(diǎn)p到到 (-5,0)與與p到到 （5,0）的距離的差）的距離的差 為為 8，則，則p點(diǎn)的軌跡方程是點(diǎn)的軌跡方

7、程是 1 f 2 f 22 1 1 69 xy 例例2 題型二求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程題型二求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。 （1）焦點(diǎn)在x軸上，a=3,c=5； （2）與橢圓 有共同焦點(diǎn)，且過點(diǎn) 的 雙曲線的方程； （3）經(jīng)過兩點(diǎn) 22 1 255 xy 3 2 2 9 3, 42,5 4 牛刀小試牛刀小試2 例例3 使使a、b兩點(diǎn)在兩點(diǎn)在x軸上，并軸上，并 且點(diǎn)且點(diǎn)o與線段與線段ab的中點(diǎn)重合的中點(diǎn)重合 解解: : 由聲速及在由聲速及在a a地聽到炮彈爆炸聲比在地聽到炮彈爆炸聲比在b b地晚地晚2 2s, ,可知可知a a地與爆炸點(diǎn)的距離比地與爆炸點(diǎn)的距離比b b地與爆炸地

8、與爆炸 點(diǎn)的距離遠(yuǎn)點(diǎn)的距離遠(yuǎn)680680m. .因?yàn)橐驗(yàn)閨ab|680|ab|680m, ,所以爆炸點(diǎn)的軌跡是以所以爆炸點(diǎn)的軌跡是以a a、b b為焦點(diǎn)的雙曲線在靠近為焦點(diǎn)的雙曲線在靠近b b處處 的一支上的一支上. . 已知已知a,ba,b兩地相距兩地相距800800m, ,在在a a地聽到炮彈爆炸聲比在地聽到炮彈爆炸聲比在b b地晚地晚2 2s, , 且聲速為且聲速為340340m/ /s, ,求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程. . 如圖所示，建立直角坐標(biāo)系如圖所示，建立直角坐標(biāo)系xo oy, , 設(shè)爆炸點(diǎn)設(shè)爆炸點(diǎn)p的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( (x, ,y) )， 則則3402680p

9、apb 即即 2a=680，a=340800ab 8006800 ,0papbx 1(0) 11560044400 xy x 2222 2800,400,cc x y o p ba 因此炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程為因此炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程為 44400bca 2 22 22 2 1對(duì)雙曲線定義的理解對(duì)雙曲線定義的理解 雙曲線定義中雙曲線定義中|pf1|pf2|2a(2a|f1f2|)，不要漏了絕對(duì)，不要漏了絕對(duì) 值符號(hào)，當(dāng)值符號(hào)，當(dāng)2a|f1f2|時(shí)表示兩條射線時(shí)表示兩條射線 解題時(shí)，也要注意解題時(shí)，也要注意“絕對(duì)值絕對(duì)值”這一個(gè)條件，若去掉定義中的這一個(gè)條件，若去掉定義中的 絕對(duì)值則軌跡僅表示雙曲線的一支絕對(duì)值則軌跡僅表示雙曲線的一支 2雙曲線方程的求法雙曲線方程的求法 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程包括求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程包括“定位定位”和和“定量定量”“定定 位位”是指除了中心在原點(diǎn)之外，判斷焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)是指除了中心在原點(diǎn)之外，判斷焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo) 軸上，以便使方程的右邊為軸上，以便使方程的右邊為1時(shí)，確定方程的左邊哪一時(shí)，確定方程的左邊哪一 項(xiàng)為正，哪一項(xiàng)為負(fù)，項(xiàng)為正，哪一項(xiàng)