《平行四邊形及其性質(zhì)》知識(shí)講解(提高)

1、平行四邊形及其性質(zhì)(提高) 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1理解平行四邊形的概念，掌握平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理 2能初步運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算，并體會(huì)如何利用所學(xué)的三角形的知識(shí)解 決四邊形的問(wèn)題. 3. 了解平行四邊形的不穩(wěn)定性及其實(shí)際應(yīng)用. 4. 掌握兩個(gè)推論：“夾在兩條平行線間的平行線段相等”。“夾在兩條平行線間的垂線段相 等” 【要點(diǎn)梳理】 知識(shí)點(diǎn)一、平行四邊形的定義 平行四邊形：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形平行四邊形 ABCD記作 “LI ABCD,讀作“平行四邊形 ABCD . 要點(diǎn)詮釋：平行四邊形的基本元素：邊、角、對(duì)角線相鄰的兩邊為鄰邊，有四對(duì)；相 對(duì)的邊為對(duì)邊，有兩

2、對(duì)；相鄰的兩角為鄰角，有四對(duì)；相對(duì)的角為對(duì)角，有兩對(duì)；對(duì)角線有 兩條. 知識(shí)點(diǎn)二、平行四邊形的性質(zhì)定理 平行四邊形的對(duì)角相等； 平行四邊形的對(duì)邊相等； 平行四邊形的對(duì)角線互相平分； 要點(diǎn)詮釋：(1)平行四邊形的性質(zhì)定理中邊的性質(zhì)可以證明兩邊平行或兩邊相等；角的 性質(zhì)可以證明兩角相等或兩角互補(bǔ)；對(duì)角線的性質(zhì)可以證明線段的相等關(guān)系或倍半關(guān)系. (2) 由于平行四邊形的性質(zhì)內(nèi)容較多，在使用時(shí)根據(jù)需要進(jìn)行選擇 (3) 利用對(duì)角線互相平分可解決對(duì)角線或邊的取值范圍的問(wèn)題，在解答時(shí)應(yīng)聯(lián)系三角形 三邊的不等關(guān)系來(lái)解決. 知識(shí)點(diǎn)三、平行線的性質(zhì)定理 1.兩條平行線間的距離： (1) 定義：兩條平行線中，一條直

3、線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行 線間的距離.注：距離是指垂線段的長(zhǎng)度，是正值. 2 平行線性質(zhì)定理及其推論 夾在兩條平行線間的平行線段相等. 平行線性質(zhì)定理的推論： 夾在兩條平行線間的垂線段相等 . 4CEG 7L hb 【典型例題】 類型一、平行四邊形的性質(zhì) O, AOB的周長(zhǎng)比厶BOC? 1、如圖，平行四邊形 ABCD的周長(zhǎng)為60cm，對(duì)角線交于 的周長(zhǎng)大8 cm，求AB, BC的長(zhǎng). 【答案與解析】 解：四邊形ABCD是平行四邊形. AB = CD AD= BC, AO= CQ / ABCD勺周長(zhǎng)是60. 2AB+ 2BC= 60,即卩 AB+ BC= 30, 又 AO

4、B的周長(zhǎng)比厶BOC的周長(zhǎng)大8. 即(AO+ OB+ AB) ( BO OO BQ = AB- BC= 8, 由有1 In 二 19, 解得 BC=U. AB BC的長(zhǎng)分別是19 cm和11cm . 【總結(jié)升華】根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分，利用方程的思想解題 舉一反三： 【變式】如圖：在平行四邊形 ABCD中, CE是/ DCB的平分線， =4.求 AE: EF: FB 的值. F是AB的中點(diǎn)，AB= 6 , BC 【答案】 解： ABCD是平行四邊形，所以 AB/ CD / ECD=Z CEB CE為/ DCB的角平分線， / ECD=Z ECB / ECB=Z CEB BC= BE / B

5、C= 4，所以 BE= 4 AB= 6, F為AB的中點(diǎn)，所以 BF= 3 EF= BE BF= 1, AE= AB- BE= 2 AE: EF: FB= 2: 1 : 3. C2、平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn) 0,且At CD過(guò)點(diǎn)0作OML AC,交AD于點(diǎn)M, 如果 CDM的周長(zhǎng)是40cm,求平行四邊形 ABCD的周長(zhǎng). 【思路點(diǎn)撥】 由四邊形ABCD是平行四邊形，即可得 AB=CD AD=BC OA=OC又由OML AC, 根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，即可得AM=CM又由厶CDM的周長(zhǎng)是40cm,即可求得平行四邊形 ABCD 的周長(zhǎng). 【答案與解析】 解：四邊形ABCD是平行四邊形， A

6、B=CD AD=BC OA=OC / OML AC, AM=CM / CDM的周長(zhǎng)是40 , 即: DM+CM+CD=DM+AM+CD=AD+CD=40 平行四邊形 ABCD勺周長(zhǎng)為：2 (AD+CD =2X 40=80 ( cm). 平行四邊形ABCD勺周長(zhǎng)為80cm. 【總結(jié)升華】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)與線段垂直平分線的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是注意數(shù) 形結(jié)合思想的應(yīng)用. 舉一反三： 【變式】(2016?本溪)如圖，平行四邊形 ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O, EF過(guò)點(diǎn)O 且與AB、CD分別相交于點(diǎn) E、F，連接EC . (1) 求證：OE=OF ; (2) 若EFL AC , BEC的

7、周長(zhǎng)是10,求平行四邊形 ABCD的周長(zhǎng). 【答案】 (1) 證明：四邊形 ABCD是平行四邊形, OD=OB , DC / AB , / FDO= / EBO , 在厶FDO和 EBO中 .FDO =. EBO / OD =OB FOD EOB FDO EBO (AAS ), OE=OF; (2) 解：四邊形 ABCD是平行四邊形， AB=CD , AD=BC , OA=OC , / EF AC , AE=CE , / BEC的周長(zhǎng)是10 BC+BE+CE=BC+AB=10 , 平行四邊形 ABCD的周長(zhǎng)=2 (BC+AB ) =20 . 3、(2015春？白云區(qū)期末)如圖， 口 ABCD的

8、周長(zhǎng)為52cm, AB邊的垂直平分線經(jīng)過(guò) 點(diǎn)D，垂足為 E，口 ABCD的周長(zhǎng)比 ABD的周長(zhǎng)多10cm. Z BDE=35 (1 )求/ C的度數(shù)； (2 )求AB和AD的長(zhǎng). 【思路點(diǎn)撥】(1)由于DE是AB邊的垂直平分線，得到Z ADE= Z BDE=35 于是推出 Z A 55根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到ZC=55 (2)由DE是AB邊的垂直平分線，得到 DA=DB，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD=BC , AB=DC，由于口 ABCD的周長(zhǎng)為52,于是 得到AB+AD=26 ,根據(jù)口 ABCD的周長(zhǎng)比 ABD的周長(zhǎng)多10,得到BD=16 , AD=16 (cm), 于是求出結(jié)論. 【答案與

9、解析】 解：(1)v DE是AB邊的垂直平分線， Z ADE= Z BDE=35 Z A=90 -Z ADE=55 / 口 ABCD , Z C=Z A=55 (2) T DE是AB邊的垂直平分線， DA=DB , 四邊形ABCD是平行四邊形， AD=BC , AB=DC , 口 ABCD的周長(zhǎng)為52, AB+AD=26 , / 口 ABCD的周長(zhǎng)比 ABD的周長(zhǎng)多10, 52-( AB+AD+BD ) =10, BD=16 , AD=16 (cm), AB=26 - 16=10 (cm). 【總結(jié)升華】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，能綜合應(yīng)用這兩 個(gè)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10、 C4、如圖1 , P為Rt ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)(不在直線AC上) , / ACB=90 , M為AB 的中點(diǎn). 操作：以PA PC為鄰邊作平行四邊形 PADC連接PM并延長(zhǎng)到點(diǎn)E,使ME=PM連接DE (1 )請(qǐng)你猜想與線段 DE有關(guān)的三個(gè)結(jié)論，并證明你的猜想； (2)若將“ Rt ABC改為“任意 ABC，其他條件不變，利用圖 2操作，并寫(xiě)出與線段 DE有關(guān)的結(jié)論(直接寫(xiě)答案). 【思路點(diǎn)撥】(1)連接BE,證 PMAA EMB推出PA=BE / MPAM MEB推出PA/ BE.根 據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出 PA/ DC PA=DC推出BE/ DC BE=DC得出平行四邊形 CDEB即

11、可; (2)連接 BE,證厶PMAA EMB推出 PA=BE / MPAM MEB推出 PA/ BE 根據(jù)平行四邊 形的性質(zhì)得出 PA/ DC PA=DC推出BE/ DC BE=DC得出平行四邊形 CDEB即可. 【答案與解析】 (1) DE/ BC, DE=BC DEL AC, 證明：連接BE M為AB中點(diǎn)， AM=MB 在厶 PMA EMB中 PM = ME PMA= EMB , AM = BM PMAA EMB( SAS , PA=BE / MPA2 MEB PA/ BE 四邊形PAD(是平行四 邊形， PA/ DC PA=DC BE/ DC BE=DC 四邊形DEB平行四邊形， DE/

12、 BC, DE=BC / ACB=90 , BC丄 AC, DEI AC. (2)解：DE/ BC DE=BC 【總結(jié)升華】本題考查了平行四邊形性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì) 和判定的綜合運(yùn)用. 舉一反三： 【變式】已知：如圖，在平行四邊形ABCD中, DEIAB于點(diǎn)E, DF丄BC于點(diǎn)F,/ DAB的平 分線交DE于點(diǎn) M 交DF于點(diǎn)N,交DC于點(diǎn)P. c (1 )求證：/ ADE/ CDF； (2)如果/ B=120，求證： DMN是等邊三角形. 【答案】 證明：(1)v四邊形ABCD是平行四邊形， / DAB=Z C, DC/ AB DE! AB 于點(diǎn) E, DF丄 B

13、C 于點(diǎn) F, / ADE=90 - / DAB / CDF=90 - / C, / ADE=Z CDF (2)證明：/ DAB的平分線交 DE于點(diǎn)M,交DF于點(diǎn)N,交DC于點(diǎn)P, / DAP/ BAP DC/ AB, / DPA/ BAP / DAP/ DPA DA=DP / ADE/ CDF / DAP/ DPA DA=DP DAMA DPN DM=DN / B=120 , / MDN=36 - / DEB-/ EFB- / B=360 -90 -90 -120 =60 , DMN是等邊三角形. 類型二、平行線性質(zhì)定理及其推論 5、如圖1,已知直線 m/ n,點(diǎn)A、B在直線n上，點(diǎn) C P

14、在直線 m上; (1)寫(xiě)出圖1中面積相等的各對(duì)三角形： ; (2 )如圖，A B C為三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn) P在直線m上移動(dòng)到任一位置時(shí)，總有與厶ABC的面積相等; (3) 如圖，一個(gè)五邊形 ABCDE你能否過(guò)點(diǎn) E作一條直線交 BC (或延長(zhǎng)線)于點(diǎn) M使 四邊形ABME的面積等于五邊形 【思路點(diǎn)撥】(1)找出圖中同底等高的三角形，這些三角形的面積相等； (2) 因?yàn)閮善叫芯€間的距離是相等的，所以點(diǎn)C、P到直線n間的距離相等，也就是說(shuō)厶ABC 與厶PAB的公共邊AB上的高相等，所以總有ABC的面積相等； (3) 只要作一個(gè)三角形 CEM與三角形CED的面積相等即可. 【答案與解析】 解: (1 )T m/ n, A B到直線m間的距離相等; 點(diǎn)C