從《空間幾何體的結(jié)構(gòu)》課例看概念課的教學(xué)模式

1、從空間幾何體的結(jié)構(gòu)課例看概念課的教學(xué)模式摘 要：本文的主要目的是形成概念課教學(xué)的基本模式， 通過具體課例 空間幾何體的結(jié)構(gòu) 第一課時(shí)教學(xué)過程的翔實(shí)記 錄和課例點(diǎn)評(píng)，展現(xiàn)概念課教學(xué)的四個(gè)基本環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境、提 出問題 ; 觀察、分析、歸納，形成概念 ; 辨析延伸、鞏固內(nèi)化、類 比遷移 ; 總結(jié)方法與策略 . 強(qiáng)調(diào)自然合理地形成、精確到位地辨 析概念和提煉數(shù)學(xué)思維、學(xué)習(xí)方法的重要性 .2014年 4月臺(tái)州市李昌官名師工作室開展了以“高中數(shù)學(xué) 探究性、研究性教學(xué)”為主題的活動(dòng) . 會(huì)議邀請(qǐng)了人民教育出版 社中學(xué)數(shù)學(xué)室原主任、 人教高中數(shù)學(xué) A 版教材執(zhí)行主編章建躍博 士作關(guān)于概念課教學(xué)模式的選擇的報(bào)

2、告，并結(jié)合課例展開研討 . 本人作為工作室成員， 結(jié)合以前本人開設(shè)的一堂廣受好評(píng)的公開 課空間幾何體的結(jié)構(gòu) 第一課時(shí)， 對(duì)概念課教學(xué)模式進(jìn)行解構(gòu)， 供大家閱讀、評(píng)價(jià)、研討 .教學(xué)過程1. 提供產(chǎn)生問題的情境與素材，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲 望課前五分鐘播放一些世界經(jīng)典建筑的圖片和音樂， 配合幻燈 片“音樂的美用耳朵來感受， 幾何的美用眼睛來察覺”， “數(shù)學(xué) 跟大自然一樣廣泛、豐富，和大自然走的是相同的軌道，也共同 見證著宇宙的包容、簡(jiǎn)潔、穩(wěn)定” .教師：同學(xué)們， 剛才我們欣賞了一些非常著名的經(jīng)典建筑 比如我們國(guó)家的游泳館水立方、 體育館鳥巢、 上海的東方明珠等 等，這些美妙的經(jīng)典建筑給你們什么感

3、受？學(xué)生：美的享受 . 教師：那么這些建筑美在哪里呢？ 學(xué)生 1：顏色、結(jié)構(gòu)、形狀有規(guī)則 . 教師：（展示幻燈片）這是一些平常建筑的素描設(shè)計(jì)稿，中 國(guó)美院的院長(zhǎng)這樣解釋素描：“素描就是研究空間中的立體構(gòu) 造. ” 所以我們要學(xué)會(huì)欣賞美，探索美，創(chuàng)造美，就要從研究幾 何學(xué)開始 . 幾何學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界物體的形狀、 大小與位置關(guān)系 的數(shù)學(xué)學(xué)科 . 我們?cè)诔踔袝r(shí)已經(jīng)接觸過，請(qǐng)回憶一下 .學(xué)生 2：有圓、平行四邊形、三角形等等，這些都是平面圖 形.教師：對(duì)，這就是平面幾何 . 我們剛才所欣賞的建筑物是平 面圖形嗎？我們研究的范圍局限在平面范圍內(nèi)夠不夠？學(xué)生 2：不是平面圖形，是空間圖形，要在空間內(nèi)研究

4、 .2. 搭建問題框架，精確設(shè)計(jì)問題，使問題系列化、結(jié)構(gòu)化、 具體化，要在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)展開 . 自然合理地提出問題， 明確對(duì)問題探究的思路、方法與策略 .（1）導(dǎo)出空間幾何體的概念 教師：以剛才的水立方為例， 如果我們只考慮它的形狀和 大小， 不考慮它的顏色、組成的材料等其他因素， 那么我們抽 象出來的空間圖形是什么？ 學(xué)生（眾）：一個(gè)長(zhǎng)方體 . 教師：我們把只考慮物體的形狀和大小， 不考慮其他的因 素抽象出來的空間圖形叫做空間幾何體 . 空間幾何體是幾何學(xué)的 重要組成部分，它在土木建筑、機(jī)械設(shè)計(jì)、航海測(cè)繪等大量實(shí)際 問題中有著廣泛的應(yīng)用 . 本章我們從空間幾何體的整體觀察入 手，研究空

5、間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、 學(xué)會(huì)以三視圖和直觀圖來描述 這些結(jié)構(gòu)特征的方法， 了解一些簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積的計(jì) 算方法.（2）運(yùn)用歸納與類比探究多面體和旋轉(zhuǎn)體的概念 多媒體顯示實(shí)物圖片 .教師：觀察下面的圖片， 這些圖片中的物體具有怎樣的形 狀？我們把這些物體的形狀叫做什么？如何描述？學(xué)生 3：分別是圓柱、圓錐、球、圓臺(tái) . （遲疑片刻）還有 棱柱、棱錐、棱臺(tái) .教師：觀察并分析它的結(jié)構(gòu)特征 . ？搖 （多媒體給出結(jié)構(gòu)特征的現(xiàn)代漢語詞典解釋： 各個(gè)組成部分 的搭配和排列）我們知道平面圖形的組成是點(diǎn)和線， 那么空間幾何體的組成 部分呢？學(xué)生 3：點(diǎn)、線、面 . 教師：那么就從點(diǎn)、線、面入手，去分析

6、一下結(jié)構(gòu)特征 .學(xué)生 3：組成圖 1、2、3的主要是線段，圖 4、5、6、7 中 有曲線 .學(xué)生 4：圖 1、2、3 中，組成幾何體的面全都是平面圖形， 其余幾何體的面不全都是由平面組成的，而且都跟圓面有關(guān) .教師：按這樣分析，該怎么分類呢？學(xué)生 5：1、2、3一類， 4、5、6、7一類.教師：好的， 請(qǐng)歸納圖形 1、2、3 的共同特征，并給個(gè)名 稱.學(xué)生 5：組成多面體的面都是平面多邊形，就叫多面體 . 教師：請(qǐng)接著來歸納圖形 4、5、 6、7 的共同特征 .學(xué)生 5：都有曲面 .學(xué)生 6：都與圓有關(guān)，如果取截面的話，能得到圓 . 教師：請(qǐng)回憶一下用圓規(guī)畫圓的過程，一個(gè)點(diǎn)固定，另一個(gè) 點(diǎn)在平

7、面內(nèi)繞著定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周 . 這些空間幾何體是否可以看成 平面圖形旋轉(zhuǎn)而成呢？以圓柱為例 .學(xué)生 6：圓柱可以看成長(zhǎng)方形繞一條邊旋轉(zhuǎn)而成 . 教師：那么圓錐、圓臺(tái)和球呢？學(xué)生 6：圓錐可以看成直角三角形繞一條直角邊旋轉(zhuǎn)而成， 圓臺(tái)可以看成直角梯形繞直角邊旋轉(zhuǎn)而成， 球可以看成圓繞直徑 旋轉(zhuǎn)而成 .教師：很好 . 那么同學(xué)們能根據(jù)它們的共同特征給出一個(gè)名 稱嗎？并嘗試給出定義 .學(xué)生 7：旋轉(zhuǎn)體 . ？搖我們把由一個(gè)平面圖形繞它所在平面 內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體 .教師：到目前為止，我們歸納出了兩類幾何體：多面體和旋 轉(zhuǎn)體 . 它們是空間幾何體的兩大基本類型 . 我們接著來研究多

8、 面體.（3）充分觀察、分析、歸納，探究棱柱的結(jié)構(gòu) 多媒體放映多個(gè)棱柱、棱錐、棱臺(tái) .教師：觀察下列多面體， 并根據(jù)它們的形狀進(jìn)行合理分類， 并說明理由 .學(xué)生 8：圖 8、9、10、11一類，圖 12、13 一類，圖 14、15 一類，一類是上下均勻的， 一類是上下不均勻的， 一端大一端小， 還有一類有一端是一個(gè)點(diǎn) .學(xué)生 9：分類方式一樣，一類是上下底面相同， 另一類上下底面不相同， 還有一類是只有一個(gè) 底面的 .教師：你們能根據(jù)不同的類別的結(jié)構(gòu)特征命名嗎？學(xué)生 8：柱形、錐形、臺(tái)形 . 教師：我們習(xí)慣稱平行四邊形、正方形，“形”字通常用來 形容平面圖形 .學(xué)生 9 糾正：柱體、錐體、臺(tái)體

9、 . 教師：圓柱、圓錐、圓臺(tái)也分別是柱體、錐體、臺(tái)體，怎么區(qū)分呢？學(xué)生 9：棱柱、棱錐、棱臺(tái)教師：很好， “棱”字體現(xiàn)了多面體結(jié)構(gòu)的一個(gè)特征 . 我們 來研究一下棱柱 . （多媒體顯示多個(gè)棱柱）你能用文字語言給棱柱下個(gè)定義嗎？請(qǐng)大家從棱柱結(jié)構(gòu)中 面的特點(diǎn)以及面與面的關(guān)系、 棱與棱的關(guān)系找到它們的共同結(jié)構(gòu) 特征 . （學(xué)生歸納，教師板書）學(xué)生9:有兩個(gè)面平行，并且這兩個(gè)面全等.其他的面都是矩形 . 其他各面的交線平行且相等 .學(xué)生 10:第二條應(yīng)該改為其他的面都是平行四邊形. 再補(bǔ)充其他各面與上下兩個(gè)面的交線平行也相等 .教師:非常好，現(xiàn)在這些結(jié)論都正確？學(xué)生:正確 .教師:數(shù)學(xué)定義不僅要求科學(xué)

10、正確，更要求簡(jiǎn)潔 . 我們看， 這幾條當(dāng)中哪些能體現(xiàn)棱柱的本質(zhì)特征，哪些可以刪去呢？學(xué)生 11:第四條可以刪去，因?yàn)榈诙l就已經(jīng)保證了.教師:很好 . 我們現(xiàn)在對(duì)照課本思考一下， 課本定義與我們 的有什么區(qū)別 .為什么課本刪去“上、下兩個(gè)面全等”？學(xué)生 12:我覺得上、下兩個(gè)面平行了，再加上條件2、3 就已經(jīng)能保證上下兩個(gè)面全等了， 不必寫出 . （部分學(xué)生恍然大悟， 部分學(xué)生迷惑）教師:沒錯(cuò)，這兩位同學(xué)想法是正確的，但是要等我們學(xué)到 下一章才能證明所以棱柱的定義可以概括為：學(xué)生（眾）：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四 邊形，每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行 .由這些面所圍 成的多面體叫

11、做棱柱 .（教師在黑板上畫出棱柱，并寫出棱柱的表示方法）3. 對(duì)學(xué)生探究的結(jié)論及時(shí)辨析延伸，鞏固內(nèi)化，類比遷移（ 1）概念辨析鞏固多媒體繼續(xù)演示教師：觀察下列多面體，判斷它們是不是棱柱，若不是，請(qǐng) 說明理由 .學(xué)生 13：圖 16、17、18 是，圖 19不是，因?yàn)椴粷M足棱柱 特征的第一條有兩個(gè)面平行，圖 20 不是：雖然它滿足有兩個(gè)面 平行，但是不滿足第二條 .教師：很好，那么有兩個(gè)面平行，其余面都是平行四邊形的 空間幾何體一定是棱柱嗎？學(xué)生 13：應(yīng)該是 .教師：如果是的話，棱柱的定義就可以修改了，這樣更簡(jiǎn)潔 啊，我們看個(gè)例子 .多媒體演示圖 21（學(xué)生恍然大悟）教師：所以說，棱柱的三個(gè)本

12、質(zhì)特征缺一不可 .（2）概念延伸 教師：觀察這三個(gè)棱柱有什么區(qū)別呢？ 學(xué)生 14：側(cè)面與底面的位置關(guān)系不一樣，有的垂直，有的 不垂直 .學(xué)生 15：底面多邊形的邊數(shù)不一樣，有三角形、四邊形、 五邊形.教師：兩位同學(xué)說得都對(duì)，按第一位同學(xué)的分法，以側(cè)棱是 否與底面垂直分為直棱柱和斜棱柱 .按第二位同學(xué)的分法， 以底面多邊形的邊數(shù)分為三棱柱、 四 棱柱、五棱柱 .（3）概念內(nèi)化 我們共同討論得到了棱柱的定義、 相關(guān)的概念、 表示的方法、 分類 . 下面我們來做幾道題： 如圖22,過BC的截面截去長(zhǎng)方體的一角，截去的幾何體是不是棱柱， 余下的幾何體是不是棱柱？圖 22學(xué)生 16：截去的部分是三棱柱，

13、余下的部分是底面是直角梯形的一個(gè)四棱柱 . 觀察長(zhǎng)方體， 共有多少對(duì)平行平面？能作為棱柱的底面的 有幾對(duì)？學(xué)生 17：三對(duì)平行平面 ; 這三對(duì)都可以作為棱柱的底面 . 觀察圖 23 中的棱柱，共有多少對(duì)平行平面？能作為棱柱的底面的有幾對(duì)？學(xué)生 18：有四對(duì)平行平面，但只有上下兩個(gè)平行平面可作 為棱柱的底面， 其他三對(duì)平行平面都不能作為棱柱的底面， 如圖 24. 棱柱的任何兩個(gè)平行平面都可以作為棱柱的底面嗎？ 學(xué)生 19：不是的 .教師多媒體演示圖的另一種放置方式 .（4）類比學(xué)習(xí)棱錐的定義 教師：現(xiàn)在我們對(duì)棱柱概念已經(jīng)有了比較深刻的理解， 根據(jù) 我們剛才學(xué)習(xí)棱柱的過程和經(jīng)驗(yàn)， 我們現(xiàn)在來研究棱

14、錐 . 現(xiàn)在請(qǐng) 大家觀察棱錐，從面的角度描述一下它的幾何結(jié)構(gòu)特征 .學(xué)生 20：它的周圍是有公共頂點(diǎn)的三角形，跟頂點(diǎn)相對(duì)的 是一個(gè)平面多邊形 .教師：描述得很好，但是“旁邊”這個(gè)說法不太準(zhǔn)確，我們 換個(gè)說法： 有一個(gè)面是平面多邊形， 其余面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn) 的三角形圍成的幾何體是棱錐 .教師：現(xiàn)在同學(xué)們可以給構(gòu)成棱錐的面和線段進(jìn)行命名 . 學(xué)生 21：把平面多邊形叫做底面， 其余三角形叫做側(cè)面 ; 三角形的公共點(diǎn)叫做頂點(diǎn)，各側(cè)面的公共邊叫做側(cè)棱 .教師在黑板上畫出棱錐，寫出棱錐的表示方式 .圖 25教師：像學(xué)習(xí)棱柱一樣，大家也給棱錐進(jìn)行分類 .學(xué)生 22：按底面多邊形的邊數(shù)來分，可分為三棱錐

15、、四棱錐、五棱錐.教師：觀察這個(gè)三棱錐， 哪個(gè)面可以作為棱錐的底面？哪個(gè) 點(diǎn)可以作為棱錐的頂點(diǎn)？學(xué)生 22：每個(gè)面都可以作為底面，與底面相對(duì)的點(diǎn)可作為 頂點(diǎn) .教師：這就是三棱錐具備的特殊性， 四個(gè)面都可以作為底面， 我們也把三棱錐稱作四面體 .4. 梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)與聯(lián)系，總結(jié)研究問題的方法與策略教師：請(qǐng)一位同學(xué)回顧整理這堂課的內(nèi)容 .學(xué)生 23：我們學(xué)習(xí)了空間幾何體中的多面體、旋轉(zhuǎn)體，再 從多面體轉(zhuǎn)移到別的多面體，棱柱、棱錐 . 重點(diǎn)學(xué)習(xí)了棱柱、棱 錐的定義、表示方法 .教師：很好，既然我們重點(diǎn)學(xué)習(xí)了定義，你能否描述一下我 們學(xué)習(xí)定義的過程 .學(xué)生 23：先給出很多具體事例，通過觀察比較，找出

16、共同 特征，再歸納描述成具體的語句 .教師：我們一開始就歸納準(zhǔn)確了嗎？ 學(xué)生：沒有，需要不斷修正，然后再通過具體的例子進(jìn)行辨 析，說明歸納出的定義是正確的 .教師：這位同學(xué)概括得非常到位 . 通過這堂課我們可以感受 到數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)、研究的幾個(gè)步驟：觀察、分析大量實(shí)例； 抽象、概括共同特征 ; 歸納總結(jié)數(shù)學(xué)概念 ; 正、 反兩面進(jìn)行辨 析. 我們可以感受到數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生是自然合理的！ 數(shù)學(xué)定義是 準(zhǔn)確、科學(xué)和簡(jiǎn)潔的！作業(yè)布置：分析棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，自主形成概念，并與課本 相對(duì)照進(jìn)行修正 ; 制作棱柱、 棱錐、棱臺(tái)的模型 ; 了解空間幾何學(xué) 發(fā)展史與現(xiàn)有分支情況 .課例評(píng)價(jià) 本課例評(píng)價(jià)內(nèi)容來源于執(zhí)教

17、者自我反思以及工作室成員的 客觀點(diǎn)評(píng) .本課例是必修 2 立體幾何的起始課，包括“章引言”和 “1.1 空間幾何體的結(jié)構(gòu)”兩部分，章引言滲透在具體內(nèi)容中， 不做單獨(dú)講解 . 空間幾何體的結(jié)構(gòu)第一課時(shí)，屬于概念課的教 學(xué)，主要讓學(xué)生去形成空間幾何體的定義、分類，感受棱柱、棱 錐的結(jié)構(gòu)特征和定義形成過程 .1. 本課優(yōu)點(diǎn)（1）對(duì)概念形成過程濃墨色彩 概念教學(xué)的核心是概括， 即將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)家的 思維打開，以典型豐富的實(shí)例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開觀察、分析 各事例的屬性、 抽象概括共同本質(zhì)屬性， 歸納得出數(shù)學(xué)概念 . 本 課例設(shè)計(jì)框架符合知識(shí)演變的邏輯和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律， 從空間幾 何體的概念、

18、分類到棱柱、棱錐概念的產(chǎn)生，從模糊到精細(xì)，從 拓?fù)涞蕉攘?. 其次，本課特別追求概念形成要符合學(xué)生的思維展 開過程和心理感受過程， 在問題設(shè)置上別具匠心， 每一個(gè)問題的 設(shè)置都是讓學(xué)生跳一跳就能夠得到， 符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)， 方 便學(xué)生的主動(dòng)建構(gòu) . 課例充分體現(xiàn)了教的主導(dǎo)地位和學(xué)的主體 地位 . 本課探究策略設(shè)計(jì)合理、思路清楚、操作可行、探究活動(dòng) 真實(shí)，使學(xué)生獲得豐富的情感體驗(yàn) ; 概念形成自然合理，概念辨 析和拓展精確到位 .（2）注重學(xué)生學(xué)習(xí)方法的總結(jié)提煉 本課在內(nèi)容安排上到棱錐定義為止， 重心放在棱柱定義的構(gòu) 建上 . 通過經(jīng)歷對(duì)大量的具體實(shí)例進(jìn)行概括歸納得到棱柱定義 的過程后， 讓學(xué)生體會(huì)用聯(lián)系的觀點(diǎn)、類比的方法研究棱錐的 定義，學(xué)生通過類比活動(dòng)而獲得研究對(duì)象的內(nèi)容與方法的成形， 進(jìn)一步清晰展現(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念尤其是幾何體概念的基本思路 .作為空間幾何體的起始課，重要的不是介紹棱柱、棱錐 等幾個(gè)相關(guān)概念， 而是讓學(xué)生經(jīng)歷對(duì)學(xué)習(xí)對(duì)象觀察、 歸納、分析、 概括、辨析的思維過程和認(rèn)識(shí)