高考數(shù)學(xué)試題匯編：第章直線和圓的方程第節(jié)線性規(guī)劃

1、第七章直線和圓的方程二線性規(guī)劃【考點(diǎn)闡述】用二元一次不等式表示平面區(qū)域簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題【考試要求】（ 3）了解二元一次不等式表示平面區(qū)域（ 4）了解線性規(guī)劃的意義，并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用【考題分類】（一）選擇題（共 15 題）2xy60,x2 y60,1. （安徽卷文8）設(shè) x,y 滿足約束條件y0,則目標(biāo)函數(shù) z=x+y 的最大值是（A） 3（B） 4（C） 6（ D）8 矚慫潤(rùn)厲釤瘞睞櫪廡賴?！敬鸢浮?.C【解析】不等式表示的區(qū)域是一個(gè)三角形，3 個(gè)頂點(diǎn)是(3,0),(6,0),(2,2) ，目標(biāo)函數(shù)z x y 在 (6,0) 取最大值 6。【規(guī)律總結(jié)】線性規(guī)劃問(wèn)題首先作出可行域，若為封閉區(qū)域（

2、即幾條直線圍成的區(qū)域）則區(qū)域端點(diǎn)的值是目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值，求出直線交點(diǎn)坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值 . 聞創(chuàng)溝燴鐺險(xiǎn)愛氌譴凈。xy 1103xy302. （北京卷理7）設(shè)不等式組5x3y90表示的平面區(qū)域?yàn)镈，若指數(shù)函數(shù) y= ax的圖像上存在區(qū)域 D上的點(diǎn)，則 a的取值范圍是 殘騖樓諍錈瀨濟(jì)溆塹籟。（A） (1,3(B )2,3(C ) (1,2(D ) 3, 釅錒極額閉鎮(zhèn)檜豬訣錐?！敬鸢浮?A解析：這是一道略微靈活的線性規(guī)劃問(wèn)題，作出區(qū)域D 的圖象，聯(lián)系指數(shù)函數(shù)y ax的圖象，能夠看出，當(dāng)圖象經(jīng)過(guò)區(qū)域的邊界點(diǎn)（2,9 ）時(shí)， a 可以取到最大值 3，而顯然只要a大于 1，圖象必然經(jīng)

3、過(guò)區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)。彈貿(mào)攝爾霽斃攬磚鹵廡。x1x2y 303. （福建卷理8）設(shè)不等式組yx所表示的平面區(qū)域是1 ，平面區(qū)域2 與1 關(guān)于直線 3x 4 y 9 0 對(duì)稱。對(duì)于1 中的任意點(diǎn)A 與 2 中的任意點(diǎn) B ， | AB |的最小值等于 謀蕎摶篋飆鐸懟類蔣薔。第-1-頁(yè)共9頁(yè)2812A 5B 4C 5D 2【答案】 B【解析】由題意知，所求的| AB |的最小值，即為區(qū)域1 中的點(diǎn)到直線 3x 4y 90 的距離的最小值的兩倍，畫出已知不等式表示的平面區(qū)域，如圖所示，廈礴懇蹣駢時(shí)盡繼價(jià)騷?？煽闯鳇c(diǎn)（ 1， 1）到直線3x 4 y 9 0 的距離最小，故| AB | 的最小值為2|31419

4、|45，所以選 B。【命題意圖】 本題考查不等式中的線性規(guī)劃以及兩個(gè)圖形間最小距離的求解、基本公式（點(diǎn)到直線的距離公式等）的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力。煢楨廣鰳鯡選塊網(wǎng)羈淚。4.（福建卷 文 5）設(shè) x,y R , 且小值等于 ( )A.2B.3C.5D.9【答案】 Bx1x-2y+30yx, 則 z=x+2y 的最【解析】畫出不等式表示的平面區(qū)域如圖陰影所示，當(dāng)直線 z=x+2y 過(guò)點(diǎn)（ 1， 1）時(shí)， z=x+2y 取得最小值 3，故選 B。【命題意圖】本題考查不等式中的線性規(guī)劃，在線性約束條件下求目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題，考查同學(xué)們數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。 鵝婭盡損鵪慘歷蘢鴛賴。y1,xy0,5.

5、 （全國(guó)卷理3 文 3）若變量 x, y 滿足約束條件xy2 0, 則 zx 2 y 的最大值為第-2-頁(yè)共9頁(yè)(A)4(B)3(C)2(D)1籟叢媽羥為贍僨蟶練淨(jìng)。.B 【命題意圖】本小題主要考查線性規(guī)劃知識(shí)、作圖、識(shí)圖能力及計(jì)算能力.【解析】畫出可行域（如右圖），由圖可知 , 當(dāng)直線 l 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(1,-1)時(shí)， z 最大，且最大值為 zmax12(1)3.yy xx y0Al0 : x 2 y 01O2xA2xy206. （全國(guó)新卷文 11）已知ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)為 A（ -1 ，2），B（ 3，4），C（ 4，-2 ），點(diǎn)（x， y）在ABCD的內(nèi)部，則 z=2x-5y 的取值范圍是

6、 預(yù)頌圣鉉儐歲齦訝驊糴。（A）（ -14 ， 16）（B）（ -14 ， 20）（ C）（ -12 ， 18）（ D）（ -12 ， 20）滲釤嗆儼勻諤鱉調(diào)硯錦?！敬鸢浮?BAB DCD(0, 4) ，由 z2x 5yy2 xz解析：由已知條件得得55 ，所以當(dāng)直線zz經(jīng)過(guò)點(diǎn) B（ 3，4）時(shí)，5 最大，即 z 取最小為 14 ；當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（0， 4）時(shí)， 5最小，即 z 取最大為2 0，又由于點(diǎn) ( x, y) 在四邊形的內(nèi)部，故z (14,20) 鐃誅臥瀉噦圣騁貺頂廡。x 1,yx,7. （全國(guó)卷理 3 文 5）若變量 x, y 滿足約束條件3x 2y5，則 z2xy 的最大值為（A）

7、1（B）2（ C）3（ D）4 擁締鳳襪備訊顎輪爛薔?！敬鸢浮?C【命題意圖】本試題主要考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題.【解析】 可行域是由 A(1, 1),B(1,4),C(1 ,1) 構(gòu)成的三角形， 可知目標(biāo)函數(shù)過(guò) C 時(shí)最大，最大值為 3，故選 C.8.（山東卷理 10）設(shè)變量 x、y 滿足約束條件大值和最小值分別為xy2o,x5y100,xy80, 4y的最, 則目標(biāo)函數(shù) z=3x第-3-頁(yè)共9頁(yè)（A） 3， 11（ B) 3, 11(C)11, 3(D)11,3贓熱俁閫歲匱閶鄴鎵騷?！敬鸢浮?A【解析】畫出平面區(qū)域如圖所示：可知當(dāng)直線z=3x-4y 平移到點(diǎn)（5， 3）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=3x-

8、4y 取得最大值3；當(dāng)直線 z=3x-4y 平移到點(diǎn)（ 3，5）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=3x-4y 取得最小值 -11 ，故選 A。壇摶鄉(xiāng)囂懺蔞鍥鈴氈淚。【命題意圖】本題考查不等式中的線性規(guī)劃知識(shí)，畫出平面區(qū)域與正確理解目標(biāo)函數(shù)z=3x-4y 的幾何意義是解答好本題的關(guān)鍵。 蠟變黲癟報(bào)倀鉉錨鈰贅。2xy3,x2y3,x0,9. （上海卷文15）滿足線性約束條件y0的目標(biāo)函數(shù)z xy 的最大值是（）3（A） 1.（B）2.（C） 2.（ D）3.解析：當(dāng)直線 zxy 過(guò)點(diǎn) B(1,1) 時(shí)， z 最大值為 210. （四川卷理 7文 8）某加工廠用某原料由車間加工出A 產(chǎn)品，由乙車間加工出B 產(chǎn)品.甲車

9、間加工一箱原料需耗費(fèi)工時(shí)10 小時(shí)可加工出7 千克 A 產(chǎn)品，每千克 A 產(chǎn)品獲利40 元.乙車間加工一箱原料需耗費(fèi)工時(shí)6 小時(shí)可加工出 4 千克 B 產(chǎn)品，每千克 B 產(chǎn)品獲利50 元.甲、乙兩車間每天功能完成至多70 多箱原料的加工， 每天甲、 乙車間耗費(fèi)工時(shí)總和不得超過(guò) 480 小時(shí)，甲、乙兩車間每天獲利最大的生產(chǎn)計(jì)劃為買鯛鴯譖曇膚遙閆擷凄。（A）甲車間加工原料10 箱，乙車間加工原料60 箱（B）甲車間加工原料15 箱，乙車間加工原料55 箱y（C）甲車間加工原料18 箱，乙車間加工原料50 箱（D）甲車間加工原料40 箱，乙車間加工原料30 箱80解析：設(shè)甲車間加工原料x 箱，乙車間

10、加工原料y 箱70xy 70(15,55)10 x6 y 480則 x, y N目標(biāo)函數(shù)z 280x300y第-4-頁(yè)共9頁(yè)70 x048結(jié)合圖象可得：當(dāng)x 15,y 55 時(shí) z 最大本題也可以將答案逐項(xiàng)代入檢驗(yàn).答案： Bxy3,xy1,11. （天津卷文2）設(shè)變量 x，y 滿足約束條件y1,則目標(biāo)函數(shù) z=4x+2y 的最大值為（A） 12（ B）10（C） 8（D）2【答案】 B【解析】畫出平面區(qū)域可知，當(dāng)直線z=4x+2y 經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 2， 1）時(shí)，目標(biāo)函數(shù) z=4x+2y 取得最大值 10，故選 B。綾鏑鯛駕櫬鶘蹤韋轔糴?！久}意圖】本題考查不等式中的線性規(guī)劃知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)

11、思想。x3y30,2xy30,12. （浙江卷理7）若實(shí)數(shù) x， y 滿足不等式組xmy10, 且 x y 的最大值為9，則實(shí)數(shù) m（A） 2（B） 1（C）1（D）2解析：將最大值轉(zhuǎn)化為y 軸上的截距，將 m等價(jià)為斜率的倒數(shù)，數(shù)形結(jié)合可知答案選C，本題主要考察了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題 驅(qū)躓髏彥浹綏譎飴憂錦。x3y302x y1013. （浙江卷文7）若實(shí)數(shù) x,y 滿足不等式組合xy10，則 x+y 的最大值為157（A） 9（B） 7（C） 1（D） 15解析：將最大值轉(zhuǎn)化為y 軸上的截距，可知答案選A，本題主要考察了用平面區(qū)域二元一次不等

12、式組，以及簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題貓蠆驢繪燈鮒誅髏貺廡。y 0xy1014（. 重慶卷理4）設(shè)變量 x，y 滿足約束條件xy30 ，則 z=2x+y 的最大值為A. 2B.4C.6D.8【答案】 C解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示當(dāng)直線過(guò)點(diǎn) B（ 3,0 ）的時(shí)候， z 取得最大值 6.x0,xy0,15.（重慶卷文7）設(shè) 變量 x, y 滿足約束條件2xy20, 則第-5-頁(yè)共9頁(yè)z 3x 2 y 的最大值為（ A）0（B）2（C）4（D） 6【答案】 C【解析】不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，當(dāng)直線 z3x 2 y 過(guò)點(diǎn) B 時(shí)，在 y 軸上截距最小， z 最大由 B（

13、 2,2 ）知 zmax4（二）填空題（共6 題）2 xy208 xy401.（安徽卷理13）設(shè) x, y 滿足約束條件x0 ,y0，若目標(biāo)函數(shù) zabx y a 0,b0的最大值為8，則 a b 的最小值為 _?！敬鸢浮?4【解析】不等式表示的區(qū)域是一個(gè)四邊形，4 個(gè)頂點(diǎn)是(0,0),(0,2),( 1 ,0),(1, 4)(1,4) 取最大值 8，2，易見目標(biāo)函數(shù)在所以 8ab4ab 4 ，所以 a b2ab4 ，在 ab2 時(shí)是等號(hào)成立。 所以 ab的最小值為 4.【規(guī)律總結(jié)】線性規(guī)劃問(wèn)題首先作出可行域，若為封閉區(qū)域（即幾條直線圍成的區(qū)域）則區(qū)域端點(diǎn)的值是目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值，求出直

14、線交點(diǎn)坐標(biāo)代入得ab 4 ，要想求a b 的最小值，顯然要利用基本不等式. 鍬籟饗逕瑣筆襖鷗婭薔。2.（北京卷文11）若點(diǎn) p（ m，3）到直線 4x3y10 的距離為4，且點(diǎn) p 在不等式 2xy3 表示的平面區(qū)域內(nèi)，則m =。構(gòu)氽頑黌碩飩薺齦話騖。第-6-頁(yè)共9頁(yè)yx,xy1,3. （湖北卷理12 文 12）已知 z2x y ，式中變量 x ， y 滿足約束條件x2,，則 z的最大值為 _.【答案】 5【解析】依題意，畫出可行域（如圖示），則對(duì)于目標(biāo)函數(shù)y=2x-z ，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)A（ 2， 1）時(shí)，z 取到最大值， Z max 5 .4. （遼寧卷理 14 文 15）已知 1 x y4 且

15、 2x y 3 ，則 z2x 3y 的取值范圍是_（答案用區(qū)間表示）5. （陜西卷理14）鐵礦石 A 和 B 的含鐵率 a ，冶煉每萬(wàn)噸鐵礦石的的CO2 排放量 b 及每萬(wàn)噸鐵礦石的價(jià)格c 如下表： 輒嶧陽(yáng)檉籪癤網(wǎng)儂號(hào)澩。aB(萬(wàn)噸 )C（百萬(wàn)元）A5013B7 00.56某冶煉廠至少要生產(chǎn)1.9 （萬(wàn)噸）鐵，若要求CO2 的排放量不超過(guò)2（萬(wàn)噸）則購(gòu)買鐵礦石的最少費(fèi)用為（萬(wàn)元） 堯側(cè)閆繭絳闕絢勵(lì)蜆贅?！敬鸢浮?15【解析】設(shè)鐵礦石A 購(gòu)買了 x 萬(wàn)噸，鐵礦石 B 購(gòu)買了 y 萬(wàn)噸，購(gòu)買鐵礦石的費(fèi)用為z 百萬(wàn)元 ， 則 由 題 設(shè) 知 ， 本 題 即 求 實(shí) 數(shù) x, y 滿 足 約 束 條

16、件50% x70% y1.95x7 y19x0.5 y 22xy4x0x0y0，即y0（ *）時(shí)，z 3x 6y第-7-頁(yè)共9頁(yè)的最小值 . 識(shí)饒鎂錕縊灩筧嚌儼淒。作不等式組(*)對(duì) 應(yīng) 的 平 面 區(qū) 域 ， 如 圖 陰 影 部 分 所 示 . 現(xiàn) 讓 直 線 z 3x 6 y ， 即y1 x1 z26平移分析即知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P 時(shí)， z 取得 最小值 . 凍鈹鋨勞臘鍇癇婦脛糴。5x7 y19又解方程組2xy4 得點(diǎn) P坐標(biāo)為 1,2 .故 zmin316215 .x2 y4,xy1,6. （陜西卷文14）設(shè) x， y 滿足約束條件x20, ，則目標(biāo)函數(shù) z 3x y 的最大值為.【答案】 5（三）解答題（共1 題）1. （廣東卷理 19 文 19）某營(yíng)養(yǎng)師要為某個(gè)兒童預(yù)定午餐和晚餐。已知一個(gè)單位的午餐含12 個(gè)單位的碳水化合物6 個(gè)單位蛋白質(zhì)和6 個(gè)單位的維生素C；一個(gè)單位的晚餐含 8 個(gè)單位的碳水化合物， 6 個(gè)單位的蛋白質(zhì)和10 個(gè)單位的維生素C.另外，該兒童這兩餐需要的營(yíng)養(yǎng)中至少含 64個(gè)單位的碳水化合物，42 個(gè)單位的蛋白質(zhì)和54 個(gè)單位的維生素 C. 恥諤銪滅縈歡煬鞏鶩