六年級(jí)奧數(shù)合集

1、- 3 -第一講數(shù)論綜合（了【專題知識(shí)點(diǎn)概述】在近幾年的北京重點(diǎn)中學(xué)小升初分班考試中，數(shù)論題目的分值大都超過了 行程問題，占據(jù)了考試內(nèi)容最顯著的地位！數(shù)論題目靈活多變，能較充分考察 你思維的開拓性、方法技巧的綜合運(yùn)用能力、創(chuàng)新及細(xì)心程度，易于分開學(xué)生 層次。數(shù)論問題按知識(shí)體系大體可分為：整除問題、余數(shù)問題、奇偶問題、質(zhì) 數(shù)合數(shù)、約數(shù)倍數(shù)，這幾大板塊我們?cè)谥暗膶W(xué)習(xí)中已經(jīng)都接觸過了，但它們 并不是數(shù)論的全部，細(xì)心的你會(huì)發(fā)現(xiàn)在數(shù)論這個(gè)大家族中還有一些“特別身影”， 它們也是幫你解決數(shù)論問題的法寶。比如最大最小問題、關(guān)于取整運(yùn)算、尾數(shù) 問題、二進(jìn)制應(yīng)用、一些特殊變形問題等。【授課批注】a涉及知識(shí)點(diǎn)多

2、、解題過程比較復(fù)雜的整數(shù)綜合題，以及基本依靠數(shù)論手段求解的其他類型問題.；【習(xí)題精講】【例11 （難度等級(jí)派）從1開始由小到大按順序取自然數(shù)，第一次取一個(gè)數(shù)，第二次取兩個(gè)數(shù)，第三次取三個(gè)數(shù),）次取的數(shù)之和為 573。以后繼續(xù)按照每次取一個(gè)、兩個(gè)、三個(gè)的方式重復(fù)進(jìn)行，第（【分析與解】573/3=191所以三個(gè)數(shù)分別是 190、191、192因?yàn)?次是取6個(gè)數(shù)，我們用192+6=32那么也就是說， 192 是 32 個(gè) 3 次，就是取到 192 是 96 次?！纠?2 】 (難度等級(jí) )小明寫自然數(shù)從1 到 n ，所寫下的數(shù)字之和是28035 ，則 n= ？【分析與解】解法一000 001 002

3、 003 004 005 006 007 008 009010 011 012 013 014 015 016 017 018 019.990 991 992 993 994 995 996 997 998 999共有 1000 個(gè)數(shù)字 .個(gè)位的1有100個(gè)個(gè)位的2有100個(gè)個(gè)位的3有100個(gè).個(gè)位珠9有100個(gè)同理.十位的1、2、3、9分別有100百位的1、2、3、9有100所以 1 至 999 各位數(shù)的和是(1+2+3+9) *100*3=135001000到1999的個(gè)位、十位、百位數(shù)的和也是(1+2+3+9) *100*3=13500千位有 1000 個(gè) 1 ，他們的和是1000 。還

4、有 2000， 2001 ， 2002， 2003， 2004， 2005 ， 2006各位數(shù)字的和是35全部相加是13500+13500+1000+35=28035解法二 :(0、1999), (1、1998), (3, 1997)(999, 1000)。這樣配共 1000 對(duì)。每對(duì)的和都有1+9+9+9=28另外 2000， 2001 ， 2002， 2003， 2004， 2005 ， 2006各位數(shù)字的和是35所以 (1+9+9+9)*1000+35=28035567121314192021262728333435404142- -9”100010001998r 18 5 2 9 ；

5、4112 3 3 310172431黨一【例3】(難度等級(jí)派),89從1到1001的所有自然數(shù)按格式排列，用一 151622 23個(gè)正方形框子框出九個(gè)數(shù)，要使這九個(gè)數(shù)的和等于(1) 1995, (2) 2529, (3) 1998 問能 g經(jīng)泊$否辦到？若能辦到，請(qǐng)你寫出正方形框里的最大數(shù)和最小數(shù)?！痉治雠c解】用一個(gè)正方形框子框出的9個(gè)數(shù)的和必定是框子中間的數(shù)的9倍。 因?yàn)?995不是9的倍數(shù)，所以9個(gè)數(shù)的和為1995不可能。(2)2529 +9=281所以不可能以它為又281 + 7=40余1即281在所有數(shù)的排列中，它排在左邊第一列上,中心構(gòu)成一個(gè)9個(gè)數(shù)的正方形框。(3)1998 +9=2

6、22 222 +7=31余 5框中最大數(shù)是 222+1+7=230框中最小數(shù)是 222-1-7=214【例4】(難度等級(jí)派)如果四個(gè)兩位質(zhì)數(shù) a, b, c, d兩兩不同，并且滿足，等式 a+b=c+d .那么，(1)a+b的最小可能值是多少？(2)a+b的最大可能值是多少？【分析與解】兩位的質(zhì)數(shù)有 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 , 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61 , 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.可得出，最小為 11+19=13+17=30,最大為 97+71=89+79=168.所以滿足條件的a+b最小可能值為30,最大

7、可能值為168.【例5】（難度等級(jí)）如果某整數(shù)同時(shí)具備如下 3條性質(zhì)：這個(gè)數(shù)與1的差是質(zhì)數(shù)；這個(gè)數(shù)除以2所得的商也是質(zhì)數(shù)；這個(gè)數(shù)除以9所得的余數(shù)是5.那么我們稱這個(gè)整數(shù)為幸運(yùn)數(shù).求出所有的兩位幸運(yùn)數(shù).【分析與解】條件也就是這個(gè)數(shù)與1的差是2或奇數(shù)，這個(gè)數(shù)只能是 3或者偶數(shù)，再根據(jù)條件，除以9余5,在兩位的偶數(shù)中只有 14, 32, 50, 68, 86這5個(gè)數(shù)滿足條件.其中86與50不符合，32與68不符合，三個(gè)條件都符合的只有 14.所以兩位幸運(yùn)數(shù)只有 14.【例6】（難度等級(jí)）圖中兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn) a,大圓直徑48厘米，小圓直徑30厘）米.兩只甲蟲同時(shí)從 a出發(fā)，按箭頭所指的方向以相同

8、的速度分別爬了幾圈時(shí)，兩只甲蟲首次相距最遠(yuǎn)？【分析與解】圓內(nèi)的任意兩點(diǎn)，以直徑兩端點(diǎn)得距離最遠(yuǎn).如果沿小圓爬行的甲蟲爬到a點(diǎn)，沿大圓爬行的甲蟲恰好爬到 b點(diǎn)，兩甲蟲的距離便最遠(yuǎn).小圓周長為x 30=307r ,大圓周長為 48, 一半便是24 , 30與24的最小公倍數(shù)時(shí)120. 120 + 30=4. 120 + 24=5.所以小圓上甲蟲爬了 4圈時(shí)，大圓上甲蟲爬了 5個(gè)1圓周長，即爬到了過 a的直徑另一點(diǎn)b.這時(shí)兩只甲蟲相距最遠(yuǎn).【例7】（難度等級(jí)）有8個(gè)盒子，各盒內(nèi)分別裝有奶糖9, 17, 24, 28, 30, 31, 33, 44塊.甲先取走一盒,其余各盒被乙、丙、丁 3人所取走.已

9、知乙、丙取到的糖的塊數(shù)相同且為丁的2倍.問:甲取走的一盒中有多少塊奶糖？【分析與解】我們知道乙、丙、丁三人取走的七盒中，糖的塊數(shù)是丁所取糖塊數(shù)的5倍.八盒糖總塊數(shù)為 9+17+24+28+30+31+33+44=216 .從216減去5的倍數(shù)，所得差的個(gè)位數(shù)字只能是1或6.觀察各盒糖的塊數(shù)發(fā)現(xiàn)，沒有個(gè)位數(shù)字是6的，只有一個(gè)個(gè)位數(shù)字是1的數(shù)31.因此甲取走的一盒中有 31塊奶糖.【例8】(難度等級(jí)派)用a, b, c, d, e分別代表五進(jìn)制中五個(gè)互不相同的數(shù)字，如果 (ade) 5, (adc) 5, (aad) 5是由小到大排列的連續(xù)正整數(shù)，那么(cde) 5所表示的整數(shù)寫成十進(jìn)制的表示是多

10、少？【分析與解】注意(adc) 5+(1) 5 =(aab) 5,第二位改變了，也就是說求和過程個(gè)位有進(jìn)位，則b=0,而c=(10) 5 (1) 5=(4) 5,則 c=4.而(ade) 5+(1) 5=(adc) 5,所以 e+1=c,貝u e=3.又 d+1 = 口，所以 d=1, a=2.那么，(cde) 5 為(413) 5=4x 52 +1 x5+3=108.即(cde) 5所表示的整數(shù)寫成十進(jìn)制的表示是108.【例9】(難度等級(jí) )1 廠力一第19 1一？11|i將自然數(shù)按從小到大的順序排列成螺旋形，2處拐一個(gè)彎，在3處拐t8 g4312ii一 . 一 .,、，一 “1t一 161

11、sm-13第二個(gè)彎，在5處拐第三個(gè)彎，問拐第 20個(gè)彎的地萬是哪個(gè)數(shù)。【分析與解】拐彎的序數(shù)01234567拐彎處的數(shù)12357101317下面一列數(shù)中，相鄰兩數(shù)的差是1、1、2、2、3、3、4、4、第20個(gè)拐彎處的數(shù)是1+2x（1+2+ +10）=111【例10（難度等級(jí)派）把連續(xù)奇數(shù)1、3、5、7，按右邊的方法排列。問：數(shù)在哪條射線上？是這射線的第幾個(gè)數(shù)？【分析與解】19953117112.211995是第（1995+1） +2=998個(gè)奇數(shù)，因?yàn)橹芷跀?shù)是 8, 998 + 8=1246,所以數(shù)1995在射線c上，且是第124x 2+2=250個(gè)數(shù)?！纠?1（難度等級(jí)派）一個(gè)正整數(shù)，如果用

12、7進(jìn)制表示為 abc ,如果用5進(jìn)制表示為 cba，請(qǐng)用10進(jìn)制表示這個(gè)數(shù).【分析與解】解：由題意知：0va,c w4,0 wbw4,設(shè)這個(gè)正整數(shù)為 n,則n= abc = ax72+bx7+c, n= cba=cx 52+bx5+a49a + 7b + c=25c+ 5b + a48a+2b-24c = 0 b = 12（c -2a） -12 | b,又 0 b4b = 0,c = 2a當(dāng) a=1,c = 2 時(shí)，n= 51當(dāng) a=2,c =4 時(shí)，n= 102- 7 -【例12】 （難度等級(jí)）甲、乙兩個(gè)三位數(shù)的乘積是一個(gè)五位數(shù)，這個(gè)五位數(shù)的后四位是1031 。如果甲數(shù)的數(shù)字和是 10 ，乙

13、數(shù)的數(shù)字和是8 ，那么甲、乙兩數(shù)和是多少？【分析與解】方法一：很顯然，這道題的突破口是在個(gè)位數(shù)上乘積的尾數(shù)是1,只有1x1, 3x7或者9x9兩種可能，如果是1x1,根據(jù)1031判斷，甲數(shù)和乙數(shù)的十位為 0和3, 1和2, 4和9, 5和8, 6和7. 很容易試出這些均不成立。根據(jù)乙的數(shù)字和是 8,判斷只有3x7這種可能假設(shè)乙的個(gè)位數(shù)是7，則只能是107。根據(jù)乘積的尾數(shù)判斷，甲的十位數(shù)應(yīng)該是3 。 （因?yàn)檫@個(gè)數(shù)乘以 7 的乘積加上個(gè)位數(shù)進(jìn)位2，得3）所以甲就是433433x 107 = 46331 不合題意。所以乙的個(gè)位數(shù)只能是3 ，甲的個(gè)位數(shù)只能是7 。所以甲有以下情況， 127 217 3

14、07 三種情況根據(jù)上述方法很容易判斷出甲是217，乙是 143方法二：根據(jù)棄九法得知，乘積是3031=31 x 7x 11 x 13,適當(dāng)組合可得知兩數(shù)為31x7=217,11x 13=143,和為 360.【例13】 （難度等級(jí)）有 43 位同學(xué)，他們身上帶的錢數(shù)從8 分到 5 角，錢數(shù)各不相同，每個(gè)同學(xué)都把身上全部的錢各自買了畫片。畫邊有兩種： 3 分錢一張的，和 5 非錢一張的。每人盡可能多賣5 分錢一張的畫片。問，他們能買的 3 分錢畫片的總數(shù)是多少張？【分析與解】43 人的錢從 8 分到 5 角各不相同 , 說明這些人身上的錢分別是8分,9 分,.,49分,50 分.下面分情況討論:

15、8=3*1+5*1 （ 意思是 3 分錢一張 ,5 分前一張 ）9=3*3+5*010=3*0+5*211=3*2+5*112=3*4+5*013=8+5=3*1+5*2.50=3*0+5*10.說明 :當(dāng)錢除以5余1 的時(shí)候, 可以買2張3 分的; 有8個(gè)人.當(dāng)錢除以5余2 的時(shí)候, 可以買4張3 分的; 有8個(gè)人.當(dāng)錢除以5余3 的時(shí)候, 可以買1張3 分的; 有9個(gè)人.當(dāng)錢除以5余4的時(shí)候, 可以買3張3 分的; 有9個(gè)人.當(dāng)錢除以 5 整除的時(shí)候, 可以買 0 張 3 分的 . 有 9 個(gè)人 .所以一共買了2*8+4*8+1*9+3*9=84 張 3 分的 .【例14】 （難度等級(jí)）對(duì)

16、于由 15 組成的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，如果它的首位數(shù)字不是1 ，那么可以進(jìn)行如下的一次置換操作：記首位數(shù)字為k ，則將數(shù)字k 與第 k 位上的數(shù)字對(duì)換例如， 24513可以進(jìn)行兩次置換：24513 t2513 t2543 .可以進(jìn)行4次置換的五位數(shù)有多少個(gè)？【分析與解】經(jīng)過 4 次置換后最后結(jié)果必為 12345， 所以可進(jìn)行4 次置換的五位數(shù)可由 12345 進(jìn)行 4 次首位與其他位的調(diào)換得到，規(guī)則為從首位上調(diào)換出的數(shù)不能再與首位調(diào)換，那么這樣的調(diào)換方法共有4x3x2x1 = 24種，即可進(jìn)行4次置換的五位數(shù)有24個(gè)。15】 （難度等級(jí)） - 9 -有4個(gè)不同的數(shù)字共可組成 18個(gè)不同的4位數(shù)

17、。將這18個(gè)不同的4位數(shù)由小到大排成一排，其中第一個(gè)是一個(gè)完全平方數(shù)，倒數(shù)第二個(gè)也是完全平方數(shù)。那么這18個(gè)數(shù)的平均數(shù)是多少？【分析與解】如果是4個(gè)非0數(shù)字則應(yīng)該能組成 4x3x2x1=24個(gè)不同的4位數(shù)，而實(shí)際只能組成18個(gè) 不同的4位數(shù)，則4個(gè)數(shù)字中必然有0。因?yàn)橥耆椒綌?shù)的個(gè)位數(shù)只能為1, 4, 5, 6, 9 (0必須成對(duì)出現(xiàn))，所以剩下的3個(gè)數(shù)字必有兩個(gè)是這 5個(gè)中的2個(gè)，若最小的數(shù)字是 4, 5, 6的話，只有9604和4096為完全平方數(shù)，但 4096并不是這4個(gè)數(shù)字所組成的最小的四位 數(shù),不滿足題意，所以最小數(shù)字為1,此時(shí)1089和9801這兩個(gè)四位數(shù)滿足題意。因此這 4個(gè)數(shù)字

18、為0、1、8、9,所能組成的四位數(shù)千位為1、8、9的均有6個(gè)，所以這18個(gè)四位數(shù)千位上之和為1x6+8x6+9x6=108,同理，個(gè)位百位十位上的數(shù)字之和均為72,所以這 18個(gè)四位數(shù)之和為 108 x 1000+72 x 100+72 x 10+72=115992,其平均數(shù)為 6444【例16(難度等級(jí)派)有些三位數(shù)，如果它本身增加3,那么新的三位數(shù)的各位數(shù)字的和就減少到原來三位數(shù)的1 一、一-.求所有這樣的三位數(shù).3【分析與解】設(shè)這個(gè)三位數(shù)為 詼，數(shù)字和為 a+b+c,如果沒有進(jìn)位，那么 abc 3 ab(c 3),顯然數(shù)字和增加了 3,不滿足，所以一定有進(jìn)位，則 abc+3=a(b 1)

19、(c 3 10),數(shù)字和為 0+(b+1)+(c+3 -10)= 1(a b c),則 a+b+c=9, 而c+3必須有進(jìn)位，所以 c只能為7, 8, 9.驗(yàn)，如下表:c的值789a+b的值210a的值211b的值010abc的值207117108驗(yàn)證當(dāng)十位進(jìn)位及十位、個(gè)位均進(jìn)位時(shí)不滿足.所以，原來的三位數(shù)為 207, 117或108.【例17（難度等級(jí)）有1、a、b、c四個(gè)整數(shù)，滿足 a+b+c= 2001 ,而且1 vav bvc。這四個(gè)整數(shù)兩兩求和得到六個(gè)和，把這六個(gè)數(shù)按從大到小排列起來，恰好構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列。請(qǐng)問:a、b、c分別是多少?【分析與解】滿足條件的情況有兩種:先看:4 44i

20、7b 4所以有abacab44/ 4a b4 41b c(a 1): (b1)：(c1)2:3:2001,所以(a 1) (b 1) (c1)20011998 ,得 a445,667, c889;再看6 44斗 4 a 6 44l7b 41 c a c 1 c b43(a 1):(b 1):(c 1) 1: 2: 4 ,又 ab c 2001所以(a 1) (b 1) (c 1)2001 3 1998,得 a33 ,不符合題意;所以 a 445, b 667, c889。- 21 -【例18（難度等級(jí)）在一個(gè)國家里，國王要建 n個(gè)城市，在城市之間建n-1條道路，使得從每個(gè)城市都能到達(dá)另一個(gè)城市

21、（每條道路連接兩個(gè)城市，道路不相交，不穿過其它城市）且一個(gè)城市到另一個(gè)城市最短路線分別為1,2,3，n(n一。若(1) n=6; (2) n = 2006;國王的要求能否辦2到？【分析與解】(1) n=6時(shí)，可以按如下的方法設(shè)計(jì)道路。設(shè)a,b,c,d,e,f為六個(gè)城市，從 c引出三條道路，分別通向 a,b,d,長度分別為1, 2, 5。從d再引出兩條道路，分別通向e,f,長度分別為4, 8。此時(shí)即可滿足要求，所以 n=6時(shí),國王的要求可以辦到。(2)根據(jù)在n個(gè)城市之間建 n-1條道路可知，從一個(gè)城市到另一個(gè)城市只有唯一的路線。把城市a染成紅色，若城市 b與a之間的路程為偶數(shù)，則 b也染上紅色，

22、否則染上黃色, 這樣可以把所有城市均染成紅色或黃色，并且兩城市同色時(shí)，它們之間的路程為偶數(shù)，否 則它們之間的路程為奇數(shù)。設(shè)有x個(gè)城市染成紅色，y個(gè)城市染成黃色，則由一個(gè)紅色城市與一個(gè)黃色城市配對(duì)可配成xy 對(duì)，所以在所有的路程中有 xy個(gè)奇數(shù)。若n(n 0是偶數(shù),則1,2,3 ,，n(n 1)中有一半是奇數(shù),所以有 xy=1n(n-1)。224又因?yàn)?x+y=n,則 n=n2 -4xy=(x+y) 2 -4xy=(x-y)什 n(n 1)n(n 1) 士 11,個(gè)奇數(shù)，所以有-4xy=(x-y)+2右一；一-是奇數(shù)，則1,2,3 ,，一；一l 中有-n(n-1)+1xy= n(n-1)+1=

23、n(n-1)+ 。又因?yàn)?x+y=n,則 n=n-4xy+2=(x+y)2 242一2,即 n-2=(x-y)。因此，如果題目中的要求可以實(shí)現(xiàn)，則 n或n-2是完全平方數(shù)，由于 2006和2004都不是完全平方數(shù)，所以國王的要求不能辦到。【例19(難度等級(jí))有13個(gè)不同自然數(shù)，它們的和是 100 .問其中偶數(shù)最多有多少個(gè) ？最少有多少個(gè)？【分析與解】13個(gè)整數(shù)的和為100,即偶數(shù)，那么奇數(shù)個(gè)數(shù)一定為偶數(shù)個(gè)，則奇數(shù)最少為2個(gè)，最多為12個(gè)；對(duì)應(yīng)的偶數(shù)最多有 11個(gè)，最少有1個(gè).但是我們必須驗(yàn)證看是否有實(shí)例符合.當(dāng)有11個(gè)不同的偶數(shù)2個(gè)不同的奇數(shù)時(shí)11個(gè)不同的偶數(shù)和最小為2+4+6+8+10+12

24、+14+16+18+20+22= 132,而2個(gè)不同的奇數(shù)和最小為1+3 = 4,它們的和最小為132+4=136,顯然不滿足；當(dāng)有9個(gè)不同的偶數(shù)，4個(gè)不同的奇數(shù)時(shí)，9個(gè)不同的偶數(shù)和最小為 2+4+6+8+10+12+14+16+18 = 90,而4個(gè)不同的奇數(shù)和最小為1+3+5+7=16,還是大于100,仍然不滿足；當(dāng)有7個(gè)不同的偶數(shù)，6個(gè)不同的奇數(shù)時(shí)，7個(gè)不同的偶數(shù)和最小為 2+4+6+8+10+12+14=56, 6 個(gè)不同的奇數(shù)和為 1+3+5+7+9+11 = 36,滿足，如 2, 4, 6, 8, 10, 12, 22, 1, 3, 5, 7, 9, 11的和即為100.類似的可知

25、，最少有5個(gè)不同的偶數(shù)，8個(gè)不同的奇數(shù)，有2,4,8, 10,16,1, 3, 5,7,9, 11, 13, 15 滿足.所以，滿足題意的13個(gè)數(shù)中，偶數(shù)最多有 7個(gè)，最少有5個(gè).【例20（難度等級(jí)派）圖中，第1行將1到100的自然數(shù)依從小到大排列；第2行有99個(gè)自然數(shù)，第1個(gè)是第1行第1個(gè)自然數(shù)和第2個(gè)自然數(shù)的和，第k個(gè)是第1行第k個(gè)自然數(shù)和第k+1個(gè)自 然數(shù)的和，l ；從第2行起，根據(jù)第2行的規(guī)律排列，一直到第 100行.請(qǐng)問：圖中一共有多少個(gè)自然數(shù)能被 77整除.第 1 行 1 2 345 .9697 9899 100第 2 行 3 579 .193195197199第 3 行 8 12

26、 16 .388392 396第4行 .第5行 【分析與解】規(guī)律是：第3、5、7、99行的整數(shù)是第1行某個(gè)整數(shù)的4k倍，第2、4、100行的整數(shù)是第2行某個(gè)整數(shù)的4k倍。m【作業(yè)】1 .設(shè)a共有9個(gè)不同的約數(shù)，b共有6個(gè)不同的約數(shù)，c共有8個(gè)不同的約數(shù)，這三個(gè)數(shù)中的任何兩個(gè)都不整除，則這三個(gè)數(shù)之積的最小值是多少？【答案】172802 .有一列數(shù)，第一個(gè)數(shù)是100,第二個(gè)數(shù)是76,從第三個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都是前面兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，那么第 2009個(gè)數(shù)的整數(shù)部分是 ?！敬鸢浮?4.3 .若自然數(shù)n使得豎式加法n+ (n+1) + (n+2)不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象， 便稱n為“躍進(jìn)數(shù)”。例如12是“躍進(jìn)數(shù)”，因?yàn)?/p>

27、12+13+14做豎式加法不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象；而13不是“躍進(jìn)數(shù)”。那么不超過1000的“躍進(jìn)數(shù)”共有 個(gè)?！敬鸢浮?94 .講1到101寫在黑板上，得到 12345678910111213100101,先刪去這個(gè)數(shù)中從左到右數(shù)所有位于奇數(shù)位上的數(shù)字，再刪去所得的數(shù)中所有位于奇數(shù)位上的數(shù)字，.，依次類推，那么最后刪去的數(shù)字是 【答案】65 .有一路公共汽車，包括起點(diǎn)和終點(diǎn)站在內(nèi)，共有 15個(gè)車站。如果有一輛車，除終點(diǎn)站外，每一站上車的乘客中，恰好各有一位乘客從這一站到以后的每一站。為了使每位乘客都有座位，問這輛公共汽車至少要有多少個(gè)座位？【答案】56(難度等級(jí)派)c、d、e五位學(xué)生一個(gè)三位數(shù)n之后

28、，有以下的對(duì)話出現(xiàn)：學(xué)生a:這個(gè)數(shù)可以被 27整除；學(xué)生b:這個(gè)數(shù)可以被 12整除；學(xué)生c:這個(gè)三位數(shù)的所有 數(shù)字和為15;學(xué)生d :這個(gè)數(shù)是一個(gè)完全平方數(shù)；學(xué)生 e:這個(gè)數(shù)可以整除 648 000 .上 述五個(gè)句子中，只有三句是真的。試求 n。【答案】324, 108, 216, 432, 864, 540, 900, 144, 576.第二講 數(shù)論綜合（二）【專題知識(shí)點(diǎn)概述】在整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域，數(shù)論被當(dāng)之無愧的譽(yù)為“數(shù)學(xué)皇后”翻開任何一本數(shù)學(xué)輔導(dǎo)書，數(shù)論的題型都占據(jù)了顯著的位置。在小學(xué)各類數(shù)學(xué)競(jìng)賽和小升初考試中，我們系統(tǒng)研究發(fā)現(xiàn)，直接運(yùn)用數(shù)論知識(shí)解題的題目分值大概占據(jù)整張?jiān)嚲砜偡值?0%fc右

29、，而在競(jìng)賽的決賽試題和小升初一類中學(xué)的分班測(cè)試題中，這一分值比例還將更高【授課批注】具有相當(dāng)難度，需要靈活運(yùn)用各種整數(shù)知識(shí)，或與其他方面內(nèi)容相綜合的數(shù)論同題.【例11 （難度等級(jí)派）一臺(tái)計(jì)算器大部分按鍵失靈，只有數(shù)字“7和0”以及加法鍵+”尚能使用，因此可以輸入77, 707這樣只含數(shù)字7和0的數(shù)，并且進(jìn)行加法運(yùn)算.為了顯示出 222222 ,最少要按t鍵多少次？【分析與解】222222+7= 31746,即 222222 = 70000x 3+7000x1+700x 7+70x4+7x 6,而 70000, 7000,700, 70, 7均只用按一次 7,所以222222最少只用按3+1+7

30、+4+6 = 21次“7”鍵即可顯示.【例2】（難度等級(jí)派）有一批圖書總數(shù)在 1000本以內(nèi)，若按24本書包成一捆，則最后一捆差2本；若按28本書包成一捆，最后一捆還是差2本書；若按32本包一捆，則最后一捆是30本.那么這批圖書共有 本.【分析與解】經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)，原書的本書如果多2本，那么原來書的數(shù)目就會(huì)同時(shí)是24, 28, 32的倍數(shù)，而，24,28,32=672 ，且原書的本書不超過 1000本，所以原來的書有 672-2=670（本）【例3】（難度等級(jí)派）一個(gè)五位數(shù)恰好等于它各位數(shù)字和的2007倍，則這個(gè)五位數(shù)是 .【分析與解】這個(gè)五位數(shù)等于各位數(shù)字之和乘以2007, 2007是3, 3,

31、 223,三個(gè)數(shù)字之積，所以這個(gè)五位數(shù)是9的倍數(shù)，各位數(shù)字之和也是9的倍數(shù)（一個(gè)數(shù)是 9的倍數(shù)，那么它的各位數(shù)字之和也是9的倍數(shù)，）所以這個(gè)五位數(shù)可能是2007x 9, 2007x 18, 2007x 27, 2007x 36容易得出：2007 x 18和2007 x 27符合題目.【例4】（難度等級(jí)） 在紙上寫著一列自然數(shù) 1, 2,，98, 99.一次操作是指將這列數(shù)中最前面的三個(gè)數(shù)劃去，然后把這三個(gè)數(shù)的和寫在數(shù)列的最后面.例如一次操作后得到4, 5,，98, 99, 6;而兩次操作后得到7, 8,，98, 99, 6, 15.這樣不斷進(jìn)行下去，最后將只剩下一個(gè)數(shù)，則最 后剩下的數(shù)是.【分

32、析與解】觀察規(guī)律發(fā)現(xiàn)，最后一個(gè)數(shù)字即為1到99的和，為4950.【例5】(難度等級(jí)派)有兩種規(guī)格的9箱鋼珠，每箱300個(gè)，甲種鋼珠每個(gè) 10克，乙種鋼珠每個(gè)11克，將這9 箱鋼珠編為19號(hào)，然后依次從19號(hào)箱中取出20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28,個(gè) 鋼珠，這些鋼珠共重 5555克。問：哪幾箱是甲種鋼珠？【分析與解】本題很明顯地表明在考察二進(jìn)制的相關(guān)知識(shí)點(diǎn).同時(shí)對(duì)于這種出現(xiàn)兩種規(guī)格要求和的問題，可以采用假設(shè)法.假設(shè)全為甲種規(guī)格的鋼珠，則每箱各取20, 21, 22, 23, 24, 25, 26,27, 28, 一共取出 29-1=511 個(gè)，則應(yīng)重 10x

33、 511=5110 克，比實(shí)際的少了 5555-5110 =445克，此重量應(yīng)該來自乙種鋼球，由于乙種鋼球每個(gè)比甲種重 1克，以二進(jìn)制表示445為(110111101)2，也就是說445=28+27+25+24+23+22+20,則只有2號(hào)箱與7號(hào)箱是甲種鋼珠.【例6】(難度等級(jí)派)把除1外的所有奇數(shù)依次按一項(xiàng)，二項(xiàng)，三項(xiàng)，四項(xiàng)循環(huán)的方式進(jìn)行分組：(3), (5, 7), (9,11 , 13) , (15, 17, 19, 21), (23) , (25 , 27) , (29 , 31, 33), (35 , 37, 39 , 41) , (43),.那 么，第1994個(gè)括號(hào)內(nèi)的各數(shù)之和是

34、多少？【分析與解】我們把每4個(gè)括號(hào)組成一個(gè)周期，1994 + 4=4982,在前498個(gè)周期內(nèi)有奇數(shù)(1+2+3+4) x 498 = 4980個(gè)，而第1993個(gè)括號(hào)內(nèi)有2個(gè)奇數(shù)，即第4980+1 + 1 = 4982個(gè)奇數(shù)，第4982+1 =4983個(gè)奇數(shù).而 4982x 2+1=9965, 4983x 2+1 = 9967, 9965+9967 = 19932 .即第 1994 個(gè)括號(hào)內(nèi)的各數(shù)之和是19932 【例7 】 （難度等級(jí)）2001 個(gè)球平均分給若干人，恰好分完。若有一人不參加分球，則每人可以多分2 個(gè)，而且球還有剩余，若每人多分3 個(gè)，則球的個(gè)數(shù)不足。問原來每人平均分到多少個(gè)球

35、?【分析與解】設(shè)2001個(gè)球平均分給 n個(gè)人，每人分得 x個(gè)球，則nx= 2001 = 3x23x 29。若na 3x 23,那么每個(gè)人分得球數(shù)不多于29個(gè)，如果一人不參加分球，則多余的球（不多于29個(gè)）被其余的人分，每人不足 1個(gè)，不合題意；若nw 23,那么每個(gè)人分得的球數(shù)不少于3x 29=87個(gè)，如果一人不參加分球，則多余的球 （不少于87個(gè)）每人至少可以分 3 個(gè)，也不合題意；若n= 29,那么每個(gè)人分得的球數(shù)是3x 23= 69個(gè)，如果一人不參加分球，則多余的球（69 個(gè)）每人可以多分2 個(gè)，還有剩余，符合題意。 答：原來每人分到 69 個(gè)球。精析 : 因 2001 個(gè)球平均分給若干

36、人，正好分完，說明這時(shí)分球的人數(shù)和每人分的球數(shù)都是2001 的約數(shù)?？蓪?001 分解質(zhì)因數(shù)，再探討其各種分法的可能性?！纠? 】 （難度等級(jí)）一堆球，如果球的總數(shù)是10 的倍數(shù)，就平均分成10 堆并拿走 9 堆；如果球的總數(shù)不是10的倍數(shù)，就添加不多于9 個(gè)球，使球數(shù)成為 10 的倍數(shù)，再平均分成10 堆并拿走 9 堆這個(gè)過程稱為一次“均分”.若球僅為一個(gè)，則不做“均分”.如果最初有球123419961997個(gè)，問經(jīng)過多少次“均分”和添加多少個(gè)球后，這堆球便僅余下一個(gè)球?【分析與解】設(shè)最初有 n 個(gè)球，n= ak-110k-1+ak-210k-2+a110+a0, a0w0, ak-1w0.

37、第一次添加（10 a0） 個(gè)，分成 10 堆，拿走 9 堆后留下的球數(shù)是：ak-110k-2+ak-210k-3+a210+a1+1 .若a1 = 9,不必添加，就可以分成10堆.若a19,則添加10(a1+1)個(gè)，再分成10堆.無論a1 = 9還是a11個(gè)球.所以，經(jīng)過k次“均分”后，就余下 1個(gè)球.總共添加的球數(shù)是：10+9(k-1) (a0+a1+ak-2+ak-1)個(gè).當(dāng) n= 1234 19961997 時(shí)，n 的位數(shù) k = 1 x 9+2 x 90+3 x 900+4 x (1997 999)= 9+180+2700+4000-8=6881 .n的數(shù)字和也就是 1, 2, 3,，

38、1996, 1997中所有數(shù)字的和.如果在后面再添加上 1998, 1999,那么1在千位出現(xiàn)1000次；0, 1, 2,，9在百位，十位，個(gè)位都各出現(xiàn) 200次，所以n的數(shù)字和為：1 x 1000+3 x 200 x (1+2+3+ +9) (1+9+9+8+1+9+9+9) = 27945.因此所加的球數(shù)時(shí) 10+9 x 6880 27945 = 33985個(gè).所以“均分” 6881次，添加了 33985個(gè)球.【例9】(難度等級(jí)派)在一根長木棍上，有三種刻度線.第一種刻度線將木棍分成10等份；第二種將木棍分成12等份；第三種將木棍分成15等份.如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，那么木棍總共被鋸成

39、多少段？【分析與解】,口 ,、，,1,一 10, 12, 15的最小公倍數(shù)10 , 12, 15=60 ,把這根木棍的 一作為一個(gè)長度單位，這樣，60木棍10等份的每一等份長 6個(gè)單位；12等份的每等份長 5個(gè)單位；15等份的每等份長 4 單位.不計(jì)木棍的兩個(gè)端點(diǎn)， 木棍的內(nèi)部等分點(diǎn)數(shù)分別是9, 11, 14(相應(yīng)于10, 12, 15等份)，共計(jì)34個(gè).由于5, 6的最小公倍數(shù)為30,所以10與12等份的等分點(diǎn)在 30單位處相重，必須從34中減1 .又由于4, 5的最小公倍數(shù)為20,所以12與15等份的等分點(diǎn)在 20單位和40單位兩處 相重，必須再減去 2.同樣，6, 4的最小公倍數(shù)為12,

40、所以15與10等份的等分點(diǎn)在12, 24, 36, 48單位 處相重，必須再減去 4.由于這些相重點(diǎn)各不相同，所以從34個(gè)內(nèi)分點(diǎn)中減去1 ,再減去2,再減去4,得27個(gè)刻度點(diǎn).沿這些刻度點(diǎn)把木棍鋸成28段.【例10（難度等級(jí)派）有一位奧運(yùn)會(huì)志愿者，向看臺(tái)上的一百名觀眾按順序發(fā)放編號(hào)1, 2, 3,100,同時(shí)還向每位觀眾贈(zèng)送一個(gè)單色喇叭.他希望如果兩位觀眾的編號(hào)之差是質(zhì)數(shù)，那么他們拿到的喇叭就是不同顏色的.為了實(shí)現(xiàn)他自己的愿望，他最少要準(zhǔn)備 種顏色的喇叭.【分析與解】1-100的數(shù)中，只有1、3、6、8這4個(gè)數(shù)中每兩兩數(shù)差勻?yàn)橘|(zhì)數(shù)，因此實(shí)現(xiàn)他自己的愿望， 只需要4種顏色的喇叭?！纠?1（難度等

41、級(jí)派）200名同學(xué)編為1至200號(hào)面向南站成一排.第 1次全體同學(xué)向右轉(zhuǎn)（轉(zhuǎn)后所有的同學(xué)面朝西）；第2次編號(hào)為2的倍數(shù)的同學(xué)向右轉(zhuǎn)； 第3次編號(hào)為3的倍數(shù)的同學(xué)向右轉(zhuǎn)；第200次編號(hào)為200的倍數(shù)的同學(xué)向右轉(zhuǎn)；這時(shí)，面向東的同學(xué)有 名.【分析與解】因?yàn)殚_始所有人面向南，最后的結(jié)果是面向東，所以轉(zhuǎn)3、7、11次的人即為所求。根據(jù)題意，編號(hào)有幾個(gè)約數(shù)就向右轉(zhuǎn)幾次，那么最后面向東面的數(shù)必是奇數(shù)個(gè)數(shù)的倍數(shù)，即這個(gè)數(shù)的約數(shù)是奇數(shù)個(gè)，且個(gè)數(shù)為4n+3。哪些數(shù)的約數(shù)是奇數(shù)個(gè)呢？由于是奇數(shù)個(gè)約數(shù)，這些數(shù)一定是平方數(shù)。如：4的約數(shù)有1、2、4三個(gè)；9的約數(shù)有1、3、9三個(gè)；25的約數(shù)有1、5、25三個(gè)，64的約

42、數(shù)有1、2、4、8、16、32、64七個(gè)但是：如平方數(shù)16 既是 1、 4、 16 的倍數(shù)，還是2、 8 的倍數(shù)，即 16 的約數(shù)有 5 個(gè)，不符合個(gè)數(shù)為 4n+3 這一要求。所以要?jiǎng)h除。以下這些數(shù)是最后面向東面的同學(xué)： 4、 9、 25、 49、 64、 121、 144、 169。共 8 位同學(xué)。【例12】 (難度等級(jí))設(shè) a 與 b 是兩個(gè)不相等的非零自然數(shù)(1) 如果它們的最小公倍數(shù)是72 ，那么這兩個(gè)自然數(shù)的和有多少種可能的數(shù)值(2) 如果它們的最小公倍數(shù)是60 ，那么這兩個(gè)自然數(shù)的差有多少種可能的數(shù)值【分析與解】(1)a 與 b 的最小公倍數(shù) 72=2x2x2x3x3,有 12 個(gè)

43、約數(shù)：1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18,24, 36, 72.不妨設(shè) ab.第一種情況: 當(dāng) a=72 時(shí)，b可取小于72的11種約數(shù)，a+b72+1=73;第二種情況: 當(dāng) a=36 時(shí)，b 必須取 8 或 24， a+b 的值為 44 或 60，均不同第一種情況中的值；第三種情況：當(dāng)a=24 時(shí)， b 必須取 9 或 18， a+b 的值為 33 或 42，均不同第一、二種情況中的值；第四種情況：當(dāng) a=18時(shí)，b必須取8, a+b=26,不同于第一、二、三種情況的值；第五種情況：當(dāng) a=12時(shí)，b無解；第六種情況：當(dāng)a=9時(shí)，b必須取8, a+b=17,不同于第一、

44、二、三、四情況中的值.總之， a+b 可以有 ll+2+2+1+1=17 種不同的值(2)60=2 x 2x3x5,有 12 個(gè)約數(shù):1， 2， 3， 4， 5， 6， 10， 12， 15， 20， 30， 60 a、 b為60的約數(shù)，不妨設(shè) ab.第一種情況: 當(dāng) a=60 時(shí)， b 可取 60 外的任何一個(gè)數(shù)，即可取11 個(gè)值，于是a b 可取 11種不同的值：59， 58 ， 57， 56 ， 55 ， 54， 50， 48， 45， 40， 30；第二種情況: 當(dāng) a=30 時(shí)，b可取 4, 12, 20,于是 a b 可取 26, 18, 10;第三種情況：當(dāng)a=20 時(shí)，b可取

45、3, 6, 12, 15,所以 a-b 可取 17, 14, 8, 5;第四種情況：當(dāng)a=15時(shí)，b可取4, 12,所以ab可取11, 3;第五種情況：當(dāng)a=12時(shí)，b可取5, 10,所以ab可取7, 2.- 25 -總之，a b 可以有11+3+4+2+2=22 種不同的值【例13】 (難度等級(jí))將自然數(shù) n 接寫在任意一個(gè)自然數(shù)的右面， 如果得到的新數(shù)都能被 n 整除， 那么 n 稱為“魔術(shù)數(shù)”問小于1996 的自然數(shù)中有多少個(gè)“魔術(shù)數(shù)” ?【分析與解】當(dāng)這個(gè) “ 魔術(shù)數(shù) ” 為一位數(shù)時(shí)，設(shè)為 a ，則將 a 寫到任意一個(gè)自然數(shù)a 的右邊得到的新的自然數(shù)為10a+a,要求10a+a能被a整

46、除，只用10a能被a整除，而a是任意選擇的，所以 a 應(yīng)是 10 的約數(shù)，有a 可以為 5， 2， 1 類似的分析知，兩位數(shù)的魔術(shù)數(shù)應(yīng)是100 的約數(shù)，即可以為50， 25， 20 10 三位的魔術(shù)數(shù)應(yīng)是1000 的約數(shù)，即可以為 500 ， 250， 200， 125， 100四位的魔術(shù)數(shù)應(yīng)是10000 的約數(shù)，即可以為 5000 ， 2500， 2000 ， 1250 1000 于是小于 1996 的魔術(shù)數(shù)有1， 2， 5， 10， 20 ， 25， 50， 100， 125， 200， 250， 500, 1000, 1250這 14 個(gè)數(shù)【例14】 (難度等級(jí))圓周上放有n 枚棋子，如

47、圖 28-2 所示， b 點(diǎn)的那枚棋子緊鄰a 點(diǎn)的棋子小洪首先拿走b點(diǎn)處的 1 枚棋子，然后沿順時(shí)針方向每隔 1 枚拿走 2 枚棋子，這樣連續(xù)轉(zhuǎn)了 10 周， 9 次越過 a 當(dāng)將要第 10 次越過 a 處棋子取走其他棋子時(shí)， 小洪發(fā)現(xiàn)圓周上余下20 多枚棋子 若n 是 14 的倍數(shù)，請(qǐng)精確算出圓周上現(xiàn)在還有多少枚棋子?【分析與解】設(shè)圓周上余a枚棋子，從第9次越過a處拿走2枚棋子到第10次將要越過a處棋子時(shí)，小洪拿了 2a枚棋子，所以在第 9次將要越過a處棋子時(shí)，圓周上有3a枚棋子.依次類推，在第8次將要越過a處棋子時(shí)，圓周上有 32a枚棋子，在第1次將要越過 a 處棋子時(shí)，圓周上有3 9 a

48、 枚棋子，在第1 次將要越過 a 處棋子之間，小洪拿走了2(3 9 a-1)+ 枚棋子，所以 n=2(39a-1)+1+3 9a=310a-1 n=310a-1=59049a-l 是14的倍數(shù)，n是2和7的公倍數(shù)，所以 a必須是奇數(shù)；又 n=(7x 8435+4) a-1=7 x 8435a+4a-1 ,所以 4a-1 必須是 7 的倍數(shù).當(dāng) a=21, 25, 27, 29 時(shí)，4a-1 不是 7 的倍數(shù)，當(dāng) a=23 時(shí)，4a-1=91=7 x 13，是 7 的倍數(shù).所以.圓周上還有 23枚棋子.【例15(難度等級(jí)派)老師在黑板上依次寫了三個(gè)數(shù)21、7、8,現(xiàn)在進(jìn)行如下的操作，每次將這三個(gè)

49、數(shù)中的某些數(shù)加上2,其他數(shù)減去1,試問能否經(jīng)過若干次這樣的操作后，使得：(1)三個(gè)數(shù)都變成12? (2)三個(gè)數(shù)變成23、15、19?【分析與解】如果兩個(gè)數(shù)都加上 2,那么它們的差不變；如果兩個(gè)數(shù)都減去1,那么它們的差也不變；如果一個(gè)數(shù)加上 2, 一個(gè)數(shù)減去1,那么它們的差增大或減小3.所以，不管怎樣，它們的差增大或減小3的倍數(shù).也就是說，不管怎么操作，這兩個(gè)數(shù)的差除以3的余數(shù)是不變的.21與7的差除以3的余數(shù)為2; 21與8的差除以3的余數(shù)為1; 7與8的差除以3的余數(shù)為 1.(1)三個(gè)數(shù)都變成12,那么它們的差除以3的余數(shù)都是0,顯然與開始給出的三個(gè)數(shù)之間差的余數(shù)有變化，所以不滿足；(2)三

50、個(gè)數(shù)變成23、15、19,它們之間差除以 3的余數(shù)依次為：23與15的差除以3的余數(shù)為2;23與19的差除以3的余數(shù)為1;15與19的差除以3的余數(shù)為1.也就是說與開始給出的三個(gè)數(shù)之間差的余數(shù)沒變化，所以 滿足.【例16(難度等級(jí)派)大于0的自然數(shù)n小于100,并且滿足等式n n n n ,其中x表示不超過x236的最大整數(shù)，這樣的自然數(shù) n有多少個(gè)？【分析與解】定義新運(yùn)算。首先理解好新的定義，翻譯成數(shù)學(xué)語言即為x x,且為整數(shù)。范圍大的n,結(jié)合題目，觀察已知條件，尋找切入點(diǎn)。題目中算式為同學(xué)熟悉的變形, 岡 x,則可知21n , 3|n , 6|n ,即n是6的倍數(shù)，總共有16個(gè)?！纠?7(

51、難度等級(jí)派)在11張卡片上各寫有一個(gè)不超過5的數(shù)字，將這些卡片排成一行，得到一個(gè)11位數(shù)；再將它們按另一種順序排成一行，又得到一個(gè)11位數(shù).請(qǐng)證明這兩個(gè)11位數(shù)的和的十進(jìn)制表達(dá)式中至少有一位數(shù)字是偶數(shù)?！痉治雠c解】如果在求和時(shí)發(fā)生進(jìn)位現(xiàn)象，那么這只有在兩個(gè)11位數(shù)的同一位數(shù)字都是 5時(shí)才有可能成立，而在出現(xiàn)進(jìn)位的最右面的位置上，和數(shù)的該位數(shù)字一定為0。如果在求和時(shí)不發(fā)生進(jìn)位現(xiàn)象，那么只有在卡片上奇數(shù)個(gè)數(shù)與偶數(shù)個(gè)數(shù)相同時(shí)，和數(shù)的各位數(shù)字才為奇數(shù)，所以不可能出現(xiàn)這種情況，所以和數(shù)中至少有一位數(shù)字是偶數(shù)?！纠?8(難度等級(jí)派)對(duì)于兩個(gè)不同的整數(shù)，如果它們的積能被和整除，就稱為一對(duì)“好數(shù)”，例如 70與30。那么在1 , 2,16這16個(gè)整數(shù)中，有好數(shù)多少對(duì)？【分析與解】由題意不難發(fā)現(xiàn)，符合要求的兩個(gè)數(shù)必定要有公約數(shù)。于是，設(shè)兩數(shù)分別為 mk nk,則：mkx nk+(m+n)k=mx nx k+(m+n),由此可知，