電路原理上冊三章

1、第三章 動態(tài)元件和動態(tài)電路導論引言1. 什么叫動態(tài)元件 ？元件電壓電流關系為 微分，積分關系的元件叫動態(tài)元件。2. 什么叫 動態(tài)電路？ 含有動態(tài)元件的電路 叫動態(tài)電路。3. 為什么要研究動態(tài)電路？ 實際電路中需 要利用電容器、電感器等 , 以完成某種功能，特 引入理想的電容元件和電感元件作電路模型。4. 動態(tài)電路的分析方法： 動態(tài)電路分析的 核心是列寫動態(tài)電路的微分方程，求解微分方程 得到待求變量，進而求解電路中的其他變量?；疽?. 掌握動態(tài)元件的 VCR。2. 掌握電路微分方程的列寫及求解方法。3. 掌握階躍函數(shù)，沖激函數(shù)及其在電路中的 應用。4. 掌握求解電路初始值的方法。5. 深刻理

2、解時間常數(shù)，零輸入響應、零狀 態(tài)響應和全響應，自由分量和強制分量，穩(wěn)態(tài)和 暫態(tài)等概念。3-1 電容元件電容量 反映電路儲存電場能性質(zhì)的電路參 數(shù)。簡稱電容。線性電容用 C 表示。電容元件是電容器和其它儲存電場能的實 際部件抽象出的理想元件。電容量是聯(lián)系其電荷 與電壓關系的參數(shù)。其電荷與電壓的關系也分為 線性與非線性，時變與非時變。本章僅研究時不 變線性電容。、電容元件的q - u關系元件如圖所示q(t)=Cu(t)或u(t)= -q(t)CC為常量,與電壓u(t)和電荷q(t)無關的比例系數(shù)，對理想的電 容器而言，由其結構、材料、介質(zhì)等決定。其q(t) , u(t)曲線如右,是一條直線，與u(

3、t) 之間的夾角為，則有C = tg 。二、電容元件電壓電流關系(VCR1、微分關系式設引線上的電流i(t)與u(t)為一致參考方 向，則當端電壓u(t)隨時間而變化時，其儲存的 電荷q(t)也隨之而變化，引線上即有傳導電流通 過，此電流等于q(t)對時間的變化率。i(t)竺沖dt dt當業(yè)0時，i(t)0時，電壓增加，充電，電d t流實際方向與參考方向相同。當業(yè)V0時，i(t) v0時，電壓減小，放電，電 dt流實際方向與參考方向相反。當業(yè)=0時,有i(t)=0 dt以上分析說明：電容電流的存在依賴于電壓 是否變化，而不是電壓是否存在例如:(a)(b)圖3 1 2電容元件上電壓和電流的波形人

4、們將電容元件稱為“動態(tài)元件”就因為電 壓變化才有電流。2、積分關系將微分式兩邊從(-a到任意時刻t )積分。1 tu(t) 1 i( )dc1 to1 i( )d c1 t1 t i( )dc to1 t u(to)1 t i( )dc to其中U(to)稱為電容電壓在to時的初始值，是由- 8到to期間積累的，to為研究某一工作過程的初 始時刻。可見U(t)是由電流在卜a, t區(qū)間所積累，與電流的全部歷史有關。這表明 電壓對電流有“記憶”作用，所以電容又稱為“記憶”元件。 如果令to=o ,即零時刻為開始研究的時間起 點，則了?1 tu(t) u(0) 7oi()d可作出其等效電路如圖3-1

5、-3所示電容元件充放電的一個重要性質(zhì):由微分式可知：:當u(t)連續(xù)變化時，-為有限值。i(t)亦為有限值。當u(t)跳變時，dti(t)由積分式可知：當i(t)為有限值時，u(t) 不能跳變，只能連續(xù)變化。歸納為一句話：有限的電流使電壓連續(xù)變例如下圖R i(t)t=0u(t)+)化，無限大的電流使電壓發(fā)生跳變。i(t)+C 土 Uc(t)R限流，i為有限值；|開關合上瞬間i(t) tx uc(t)連續(xù)變化。 U C(t)將發(fā)生跳變，II Uc(t)=u(t)(t0)三、電容元件吸收的功率和能量pl . p(t) U (t) i (t) u(t) c- d tt ot吸收的能量Wto ,t：p

6、( E)dE t c-( S)-U dEtotodEu(t )122j(t)udu 2u (t)- (to)當u(t o)=o時，即無初始電壓，無初始儲能，則1 2 w(t) -cu (t)2此式表明：電容元件在任一瞬時儲存的能量與U(t)的平方成正比。 3-2電感元件忽略電感線圈的電阻，即忽略其耗能特性，認為它僅儲存磁場能量，于是可將線圈抽象為一 個理想化的二端元件即電感元件。一、復習電磁感應定律 法拉弟電磁感應定律：le(t)1d p dt楞次電磁感應定律：感應電動勢企圖產(chǎn)生一個感應電流，此感應電流產(chǎn)生圖3 2 1線圈中的感應電壓的磁通去阻止原磁通的變化。表達式為e(t)豈d t設u(t)

7、與i(t)、e(t)為一致參考方向，均與ip (t)成右螺旋。有u(t)=-e(t)，則有u(t)e(t)d pdt當H 0時，u(t) 0,感應電壓的實際極 dt性與參考極性相同。此感應電壓相當于一個電壓 源，這個電壓源產(chǎn)生的感應電流將由負極流向正 極，產(chǎn)生一個與原磁通鏈相反方向的磁鏈，去抵 消原磁通的增加，這符合楞次定律。當10時，u(t) 0,這個電壓將阻止電流的增加;當詈0 時，u(t) 0, (1)式可寫為U 11 d i!L 1d t,d iU 2L 2d tMMdt如右圖中的同名端“*”，則MK0, (1)式可寫為U1U21 dt.d i22 dtMM注意：當i2=0時，互感電壓

8、U2中M的正、負 號將以U2的高電位端跟i 1的流入端是否同名端來判斷。是同名端，M取正號，否則取負號、多端口耦合電感rm以右圖三耦合電感為例，由于ui與ii,U2與i2,U3與i3皆為一致參考方向，故在未標同名端 時，可寫出各端口電壓表達式如下：UidiiidtM 12di2dtMia-dtM23diadt.di3.di1U3L3M 13dtdtU2L2di2 dtMi2凹dtM 23di2dt各式中的互感系數(shù)，M2,M23,Mi3皆可正可負，可由 同名端而定。如圖中所示之同名端標注，則有：Mv 0.M 230. M 13V 0作業(yè):3-1-1 ; 3-2-1 ; 3-3-1 ; 3-3-2

9、 ; 3-17 3-4單位階躍函數(shù)和單位沖激函數(shù)單位階躍函數(shù)和單位沖激函數(shù)都屬于奇異 函數(shù)。應用這兩個函數(shù)可以很方便地描述動態(tài)電 路的激勵和響應、單位階躍函數(shù)定義:t=0時函數(shù)值發(fā)生跳變，其值不定，（也可定為0, 1/2 或 1)定義：t=0由t由負趨于零時的極限t=0 +由t由正趨于零時的極限則t由負值趨于零時 （ 0-） =0t由正值趨于零時 8(0+) =1平移的階躍函數(shù)(延時的階躍函數(shù))設t00i(t t0) 0t0t0向右平移(t t)(t tl)(1 t0 tt tt t單位階躍函數(shù)的應用1開關作用2、截取作用：設f(t)對所有的t都有定義，則f(t) & (t)的圖形為截取f (

10、t)的t 0的部分。U-t & (t)00f(t)t f(t)單個函數(shù)0-Ut0JU (t) U (t t)U (t) (t t。)、單位沖激函數(shù)3( t )定義:3(t)0 t 0僅存在于t 0時，且3 (t)與t3 (t) d (t)1圍成的面積為1$( t )僅存在于t=0i(t)聲 (t) C (t) (t)平移的單位沖激函數(shù)3( t-t 0)AS (t-t 1)0t10(t)dt (t)dt 1 可見 $(t )x(t=0)08(t-t 0)=0 t 0t。(t t0)dt(t t0)dt 1t一般沖激函數(shù)AS (t-t1)單位沖激函數(shù)的采樣性質(zhì)0 0f (t) (t)dt 0 f(

11、0) (t)dt f(0) 0 (t)dt f(0)同理 f(t) (t ti)dt ttl f (ti) (t ti)dt f(ti)t1三、S (t)與e (t)的關系(t) d (t)dt證明：f(t)1/I11 +-Tk/20 Tk/2 tJ 取 Tl 0的極限上f (t)0(t)求導0 tf/(t)-Tk/2 0 Tk/21/Tkt取Tkt 0的極限求導lim f (t)(t)Tk 0(1/T k) Tk=1 t在非常短暫的時間內(nèi)發(fā)生的一個巨大脈沖 電流或電壓可近似的當作沖激電流或沖激電壓。 見下圖。t=0 i(t)i(t)+Uc(t)= ()+1V ()+C=1F 士 uc(t)1

12、FUc(0-)=01 0 1 0 1 Uc(0 ) -i(t)dt -S(t)dt - 1Vccc可見，開關合上后的瞬間無限大的電流對電容充電，將使電容電壓發(fā)生跳躍。與電容充電相對偶的是電感勵磁,見下圖。+山rdiL d (t)由 VCRW) L- lis訐 lis 反過來i l(0-)=01 1 0iL(0) l uL(t)dt iL(0) LLlsS(t)dt Is作業(yè):3-4-2 ; 3-4-3 ; 3-5; 3-11 3-5動態(tài)電路的輸入一輸出方程輸入作為激勵的電壓、電流輸出一一作為待求的響應電壓、電流單輸入單輸出電路 僅含一個輸入激勵， 且僅輸出一個變量的電路。聯(lián)系該電路輸入與輸 出

13、的微分方程稱為單輸入單輸出方程，簡稱輸入 輸出方程。以R.L.C串聯(lián)電路為例，列出以uc為待求變量的 微分方程。聽D二二芒E 3-5-1簡單的動態(tài)電路由 KVL:Ri(t) Luc(t) us(t)(1)dtd u c(2)i(t) C dt(2)入得LcduC RC罟uc us（t）（3）式方程為二階線性常系數(shù)非齊次微分方 程。對任一個單輸入單輸出電路，應用兩種約束關 系可以列出2b個方程，消去不需求解的變量就 可以得到輸入一輸出方程當電路比較復雜，有多個動態(tài)元件時，列輸入輸出方程的過程較繁，工作量大，如教材 P115 中圖3-5-2所示的動態(tài)電路還不算太復雜。動態(tài)電路的階數(shù)：輸入一輸出方程

14、的階數(shù)或獨立動態(tài)元件的個數(shù)。n階電路的輸入一輸出方程如式（3-5-8 ）所示dnr(t) adn (t)dtn n1 dtn1aidr(t)dtar(t)bmdmf(t)dtmdm 1f (t)dtbf1 dtbf (t) 3-6初始狀態(tài)與初始條件我們知道,對單輸入單輸出電路的求解歸結為 對輸入一輸出方程的求解。n階常系數(shù)線性微分方程的通解中含有n個 待定的積分常數(shù)，而這些積分常數(shù)要由微分方程 的n個初始條件來確定。這些初始條件是：待求變量的初始值及其一階至（n-1）階導數(shù)的初始值本節(jié)討論怎樣計算這些初始條件，以便為求 解微分方程提供必要條件。下面討論“換路”及換路后各元件電壓電流 的初值。一

15、、換路：電源與電路接通、切斷，電路參 數(shù)突然改變，電路結構突然改變，電源函數(shù)形式 突然改變，均稱為“換路”。換路是“突然”發(fā) 生的，是“即刻”完成的，不需要時間間隔。二、換路后電容電壓與電感電流初值的表達 式假定換路發(fā)生在t=0時刻，t=0-為換路的前一t瞬，則有：Uc(t) Uc(0 ) ic( )dc 01 tiL(t) iL(0 )0 Ul( )dL 0令t=0+為換路后初瞬，則有1 0 .Uc(O ) Uc(O ) 0 ic( )d(1)c1 0h(0 ) h(0 ) - 0 Ul( )d(2)c1、換路后Uc與i L不跳變的情況當t=0時，如ic(t)為有限值,u L(t)為有限值，

16、 則(1)及(2)式中的積分部分均為零，有Uc(0 +)=Uc(0J或 q(0 +)= q(0 -)(3)iL(0 +)=Il(0J或 書(0 +)=書(0-) (4)初始值原始值(3)與(4)式，有的教材稱為“換路定則”或 “換路定律”。2、比及i l跳變的情況(1) 、當t=0時，c(t)及UL(t)為沖激函數(shù)(及其導數(shù))時，(1) (2)式中積分部分將不為零 則uc(0 +),i l(0 +)應按(1)及(2)式計算。(2) 、u及iL的跳變，在工程實際(自然界) 中是不存在的，因為比及iL的跳變，意味著能量 的跳變，亦意味著在工程實際中有無限大的功率 源。這在實際上是不可能的。(3)

17、、在理論研究時，卻要討論跳變的情況， 因為獨立電壓源和電流源就是理想化的電源，具 備輸出無限大功率的能力，可以使能量發(fā)生跳 變。而引入沖激函數(shù)(及其導數(shù))也給分析計算 帶來了可能。3、需要提及的是：gi訂c.u l等變量與儲能 無關的量，根本不需由(1)和(2)計算。它們 在換路時，在沒有沖激函數(shù)的條件下也可發(fā)生跳 變。具體是否跳變應由t=0 +的等效電路來計算。4、原始狀態(tài)：換路前一瞬(t=0-),各獨立電 容電壓uc(O-)與各獨立電感電流i l(0_)的集合即 Uc(0-).U C0-) iLiPJ.i l2(0-)。5、初始狀態(tài)：換路后一瞬(t=0+)各獨立電 容電壓uc(0+)與各獨

18、立電感電流i l(0+)的集合，u c(0 +).u c/0 +) L1(0 +).i L2(0 +)。例3 6 1求圖3 6 1(a)所示電路中開關 閉合后電容電壓的初始值Uc (0+)及各支路電流的 初始值i1(0+)、i2 (0+)、i c(0 +)。假設開關閉合前，電路已工作了很長的時間(a)原始電路(b) t=0 時的等效電路解：首先求出t 0時的電容電壓1(0)。由于 開關閉合前電路已工作了很長的時間，因而換路 前t 0時的電路是直流電路見圖3 6 1(b)。 這時，電容電壓Uc是一個常量，ic Cduc odt即在直流電路中，電容相當于開路，電阻上沒有 電壓降，因而有Uc(0 )

19、 Us 12V根據(jù)式(3-6-2)得 uc(0 ) uc(0 ) 12V為了計算其它支路電壓、電流的初始值，可 以畫出換路后t 0時的等效電路，如圖3-6 1(c)所示(圖中電容電壓的初始值，根據(jù)替代定 理，用大小相等極性相同的電壓源來代替)。% o(i釧)(c) t=0 +時的等效電路圖3 6 1電壓、電流初始值的計算示例(1)然后按照線性電路的分析方法進行計算。于是有h(0 )12 1241?Ai2(0 )ic(0 )Uc(0 )R2123 mA2 1036 mAi1(0 ) i2(0 )6 mA例3 6 2求圖3 6 2 (a)所示電路中開關 閉合后電感電流的初始值X(0+)、電感電壓的

20、初 始值ul(0+)以及其它兩個支路電流的初始值i(0 +)和i s(0 +)。假設換路前，電路已工作了很長的時 間。 原始電路(b) t=0時的等效電路解：首先求出t 0時的電感電流iL(0 )。由于開關閉合前電路已工作了很長的時間，因而換路 前t 0時的電路是直流電路見圖3 6 2(b)。 這時，電感電流i l是一個常量，電壓 uL L理 0，即在直流電路中，電感元件dt相當于短路，有iL(0) 生 10 A 1A根R! R26 4據(jù)式(3 6 4)得 L(0) L(0) 1AE. jjU+Jr-Cb*阿(4Q)_j_(c) t=0 +時的等效電路對圖3 6 2(c)中右邊的回路應用基爾霍

21、夫電壓定律，有R2UO) Ul(0) 0故 uL(0 ) R2iL(0 ) ( 4 1) V 4V 此外 i(0 ) Ha 1 a 1.67AR16is(0 ) i 0L(0) (1.67 1) A 0.67A小結：由以上兩例可以看出：在動態(tài)電路中， 雖然當電容電流和電感電壓是有限值時，電容電 壓和電感電流不能跳變，但電容電流、電感電壓、 電阻電流和電阻電壓卻是可以跳變的。從能量的 觀點來看，電容電壓和電感電流之所以不能跳1變，是受電場能量 We CUc和磁場能量Wm 1LiL不能跳變的約束之故。至于電容 2電流、電感電壓、電阻電流和電阻電壓則不受此限。如前所述，俞入 輸出方程的初始條件是指電

22、路輸出變量的初始值及其各階導數(shù)的初始值。初始條件可根據(jù)電路的微 分(或積分微分)方程和 元件的電壓、電流初始 值來確定。下面舉例說 明。例 3 6 3 在圖圖3-6-3初始條件的計算3-6-3中，R 5, L 1H, C 6f ,電壓源的電壓Us(t)=e七V;開關S在t = 0時閉合。已知i(0 )=0, uc(0 )=6 V求以i(t)為輸出變量的輸入 輸出方 程及其初始條件。解:根據(jù)基爾霍夫電壓定律和元件的電壓電流 關系可得換路后電路的積分微分方程為攀 5i(t) Uc(0 ) 6 0i(t )dt et (3 6 5) dt或瞬 5 警 6i(t) et (3 6 6) dtdt此即以

23、i(t)為輸出變量的輸入 輸出方程。由式(3-6-5)，令t = 0 +,可得i (0 ) 5i(0 ) Uc(0 ) 1 (36 7)此處電感電流和電容電壓均不能跳變，即i(0) i(0) 0; uc(0) uc(0) 6 V代入式(3-6-7)，得i(0 )故本例中輸入(1 6) A/s 5A/s條件為i(0 )例：(3-24 題)0, i (0 ) 5A/s3-24圖所示電路在換路前已工作了很長的時間,試求電路的初始狀態(tài)以及開關斷開后電感電流i l和電容電壓比的一階導數(shù)的初始值。L101八0.05A 100 20(0 ) c(0 )解：原始狀態(tài)iu作出t=Q時刻的電路如解題3-24圖所示。ii.iL (0 )Ul(0 ) , Uc(0 )ic(0 )Lc故應先求ul(o +), i e +)ic(0 +)=i l(0 +)=0.05A100.05802v1 18040u l(0 +)=-40 X 0.05+2-20 X 0.05=-3+2=-1v由節(jié)點法Ui(0 )所以有103As10 S哼 50 103 VS10 S作業(yè)：3-19, 3-21 , 3-251iL(0)Ul(0)Uc(0 )*ic(0 )c輸出方程(二階微分方程)的初始 3-7零輸入響應零輸入，即無輸入！無輸入的電路何以能產(chǎn) 生響應？這必然是電路中儲存的電磁場能量