(完整版)空間向量與立體幾何知識點(diǎn)和習(xí)題(含答案)[1]

1、空間向量與立體幾何【知識要點(diǎn)】1 空間向量及其運(yùn)算：(1) 空間向量的線性運(yùn)算： 空間向量的加法、減法和數(shù)乘向量運(yùn)算：平面向量加、減法的三角形法則和平行四邊形法則拓廣 到空間依然成立. 空間向量的線性運(yùn)算的運(yùn)算律：加法交換律：a + b= b+ a;加法結(jié)合律：(a+ b + c) = a + (b+ c);分配律：(+ )a= a+ a;(a+ b) = a+ b.(2) 空間向量的基本定理： 共線(平行)向量定理：對空間兩個向量a, b(b豐0), a/ b的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使得a/ b. 共面向量定理：如果兩個向量a, b不共線，則向量c與向量a, b共面的充要條件是存在惟一一對實(shí)數(shù)

2、，使得c= a+ b. 空間向量分解定理：如果三個向量a, b, c不共面，那么對空間任一向量p，存在惟一的有序?qū)崝?shù)組 1 ,2,3,使得 p = ia +2b +3C.(3) 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算： 空間向量的數(shù)量積的定義：a b= |a | |b I cos ; 空間向量的數(shù)量積的性質(zhì)：a e= |a | cosva, e; a丄 b a b= 0;|a|2 = a a; |a b| |a | |b | . 空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：(a) b= (a b);交換律：a b= b a;分配律：(a+ b) c= a c+ b c.(4) 空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示： 空間向量的正交分解：建立空

3、間直角坐標(biāo)系Oxyz，分別沿x軸，y軸，z軸的正方向引單位向量i,j, k，則這三個互相垂直的單位向量構(gòu)成空間向量的一個基底i, j, k,由空間向量分解定理，對于空間任一向量a,存在惟一數(shù)組 ，a2,a3),使a=aii + a2j+a3k，那么有序數(shù)組(ai,a2,a3)就叫做空間向量a 的坐標(biāo)，即 a= (ai, a2, a3). 空間向量線性運(yùn)算及數(shù)量積的坐標(biāo)表示：設(shè) a= (ai, a2, a3), b= (bi, b2, b3),則a + b = (ai+ bi, a2+ b2,a3 + b3)； a b= (ai bi,a2 b2,a3b3);a = ( ai, a2,a3);a

4、 b = aibi+ a2b2+ a3b3. 空間向量平行和垂直的條件：a / b(b豐 0) a =bai= bi, a2 = b2, a3=b3(R);a丄b a b= 0aibi+ a2b2 + a3b3 = 0. 向量的夾角與向量長度的坐標(biāo)計(jì)算公式：設(shè) a= (ai, a2, a3), b= (bi, b2, b3),則|a| a a.a； a；af,|b|b b . bb；b3;,a baib|a2b2a3b3cos a, b；I a | b |詢2 Of a3/bi b； b；在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(ai , a2 , a 3) , B(bi, b2, b3),貝U A , B兩

5、點(diǎn)間的距離是i|AB| ,.(ai bi)2 (a2 b?)2 bs)2.2 .空間向量在立體幾何中的應(yīng)用：(1)直線的方向向量與平面的法向量：如圖，I為經(jīng)過已知點(diǎn) A且平行于已知非零向量 a的直線，對空間任意一點(diǎn) 0,點(diǎn)P在直線I上的由此可知，空間任意直線由空間一點(diǎn)及直線的方向向量惟一確定.如果直線I丄平面，取直線I的方向向量a,則向量a叫做平面 的法向量.35由此可知，給定一點(diǎn) A及一個向量a,那么經(jīng)過點(diǎn) A以向量a為法向量的平面惟一確定.(2)用空間向量刻畫空間中平行與垂直的位置關(guān)系:設(shè)直線I,m的方向向量分別是 a, b,平面，的法向量分別是u , v, 1 / ma / ba= kb

6、, k R ；1丄ma丄ba b= 0;1 /a丄ua u = 0;1丄a/ ua= ku , k R ；/u / vu = kv, k R ；丄u丄vu v= 0.(3)用空間向量解決線線、線面、面面的夾角問題：異面直線所成的角：設(shè)a, b是兩條異面直線，過空間任意一點(diǎn)0作直線a/ a, b/ b,則a與b所夾的銳角或直角叫做異面直線a與b所成的角.n設(shè)異面直線a與b的方向向量分別是 vi, v2, a與b的夾角為，顯然 (0, ,則2| cos V| ,v2 | 1 Vi V2 1IV1IIV2I直線和平面所成的角：直線和平面所成的角是指直線與它在這個平面內(nèi)的射影所成的角.設(shè)直線a的方向向

7、量是U，平面 的法向量是V，直線a與平面 的夾角為，顯然0,2，則 |C0Su,v |u V|u|v| 二面角及其度量： 從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.記作-1 - 在二面角的棱上任取一點(diǎn) 0,在兩個半平面內(nèi)分別作射線 0A丄1, 0B丄I,則/ AOB叫做二面角 一I 的平面 角.利用向量求二面角的平面角有兩種方法：方法一：如圖，若AB, CD分別是二面角 一I - 的兩個面內(nèi)與棱I垂直的異面直線，則二面角 一I - 的大小就是向量AB與CD的夾角的大小.方法二：如圖，mi, m2分別是二面角的兩個半平面， 的法向量，則mi, m2與該二面角的大小相等或互補(bǔ).(4)根據(jù)題

8、目特點(diǎn)，同學(xué)們可以靈活選擇運(yùn)用向量方法與綜合方法，從不同角度解決立體幾何問題. 【復(fù)習(xí)要求】1了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表 示.2 掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.3 掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示；能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.4 .理解直線的方向向量與平面的法向量.5能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系.6 能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問題.【例題分析】例 1 如圖，在長方體 OAEB OiAiEiBi 中，OA= 3, OB = 4, 00i = 2,點(diǎn) P 在棱 AAi 上，且 AP =

9、 2PAi，點(diǎn)S在棱BBi上，且BiS= 2SB,點(diǎn)Q, R分別是 OiBi, AE的中點(diǎn)，求證：PQ/ RS.【分析】0(0, 0, 0), A(3, 0, 0), B(0, 4 , 0) , Oi(0 , 0 , 2) , Ai(3 , 0 ,24尹0,2)(0叫)，解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則2), Bi(0, 4, 2), E(3, 4, 0).2 - AP = 2PAi, AP _AA34- P(3,0-)2同理可得：Q(0, 2, 2), R(3 , 2, 0), S(0,4, )3 2 PQ ( 3,2, ) RS,3PQ/RS，又 R PQ, PQ / RS.【評述】1證明線

10、線平行的步驟：(1) 證明兩向量共線；(2) 證明其中一個向量所在直線上一點(diǎn)不在另一個向量所在的直線上即可.2、本體還可采用綜合法證明，連接PR, QS,證明PQRS是平行四邊形即可，請完成這個證明.例2已知正方體 ABCD AiBiCiDi中，M , N, E, F分別是棱A1D1, A1B1, D1C1, B1C1的中點(diǎn), 求證：平面 AMN /平面 EFBD .【分析】 要證明面面平行，可以通過線線平行來證明，也可以證明這兩個平面的法向量平行.解法一：設(shè)正方體的棱長為 4,如圖建立空間直角坐標(biāo)系，貝U D(0, 0, 0), A(4, 0, 0), M(2 , 0, 4),N(4 , 2

11、, 4), B(4, 4, 0) , E(0 , 2 , 4) , F(2 , 4 , 4).取 MN 的中點(diǎn) K , EF 的中點(diǎn) G , BD 的中點(diǎn) O,貝U O(2 , 2 , 0) , K(3 , 1 , 4) , G(1 , 3 , 4).MN = (2 , 2 , 0) , EF = (2 , 2 , 0) , AK = ( 1, 1, 4) , OG = ( 1 , 1 , 4), MN / EF , AK OG , MN/EF , AK/OG , MN / 平面 EFBD , AK / 平面 EFBD ,平面AMN /平面EFBD .解法二：設(shè)平面AMN的法向量是a = (a

12、1 , a2 , a3),平面EFBD的法向量是b = (b1 , b2 , b3).由a AM0,aAN 0,得2弓4a30,2a24a3取 a3= 1,得 a = (2 , 2 , 1)0,由b DE0,bBF 0,2b2 4R 0,得取 b3= 1,得 b = (2 , 2 , 1).2b 4bs 0,/ a / b, 平面 AMN /平面 EFBD .注：本題還可以不建立空間直角坐標(biāo)系，通過綜合法加以證明，請?jiān)囈辉?例3在正萬體ABCD AiBiCiDi中，M , N是棱AiBi, BiB的中點(diǎn)，求異面直線 AM和CN所成角 的余弦值.CB解法一：設(shè)正方體的棱長為 2,如圖建立空間直角

13、坐標(biāo)系，則C(0, 2, 0), N(2, 2, i).D(0, 0, 0), A(2, 0, 0), M(2, i, 2),AM (0,i,2),CN(2,0,i),設(shè)AM和CN所成的角為，則cosAM CN 2| AM |CN |572異面直線 AM和CN所成角的余弦值是5解法二：取AB的中點(diǎn)P, CCi的中點(diǎn)Q,連接BiP, BiQ, PQ, PC. 易證明：BiP / MA, BiQ/ NC,/ PBiQ是異面直線AM和CN所成的角.設(shè)正方體的棱長為 2,易知B1P B1Q .、5,PQ PC2 QC2、6,BiP2 BiQ2 PQ22cosPB|Q,2BP BiQ52異面直線 AM和

14、CN所成角的余弦值是5【評述】 空間兩條直線所成的角是不超過90的角，因此按向量的夾角公式計(jì)算時，分子的數(shù)量積如果是負(fù)數(shù)，則應(yīng)取其絕對值，使之成為正數(shù)，這樣才能得到異面直線所成的角(銳角).例4如圖，正三棱柱 ABC- AiBiCi的底面邊長為a,側(cè)棱長為 2a，求直線ACi與平面ABBiAi所成角的大小.ABBiAi的法向量求解.【分析】是由定義找出線面角，再用向量方法計(jì)算；二是利用平面解法一：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，貝U A(0, 0, 0) , B(0, a , 0) , Ai(0,0,2a),CiD.Ci( r，a2a)取 AiBi 的中點(diǎn) D，則 D(0,|2a)，連接 ad,則 D

15、C ( -,0,0),AB(0,a,0), AAi(0,0,-2a),2DC1 AB 0, DC1 AA 0,二 DCi平面 ABBiAi,/ CiAD是直線ACi與平面ABBiAi所或的角.Ac；(，a, 2a),AD (0,?, 2a),2 2 2“ AC； AD V3cosCi AD|ACi|AD|2直線AC；與平面ABBiAi所成角的大小是 30.I* 3a a 解法二：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則 A(0, 0, 0), B(0, a, 0), Ai(0 , 0 , . 2a) , Ci(,、-2a),2 2從而 AB (0,a,0), AA；(0,0, 2a), AC；(少，？，、2

16、a)2 2設(shè)平面ABBiAi的法向量是a= (p , q , r),由 a AB 0,a AA 0,aq 0,得一取 p = 1,得 a = (1, 0 , 0). 2ar 0,n 設(shè)直線Ac；與平面ABBiAi所成的角為，0,sin | cosAC1,a | 1 ACl a 1-,30.|AG|a|2【評述】 充分利用幾何體的特征建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，再利用向量的知識求解線面角；解法二給出了 般的方法，即先求平面的法向量與斜線的夾角，再利用兩角互余轉(zhuǎn)換.例5如圖，三棱錐 P ABC中，PA丄底面ABC, AC丄BC, PA = AC = 1, BC .2，求二面角 A PB C的平面角的余弦值.

17、解法一：取PB的中點(diǎn)D,連接CD,作AE丄PB于E.PA= AC= 1 , PA丄 AC, pc = bc=2 , CD 丄 PB./ EA丄 PB,向量EA和DC夾角的大小就是二面角A PB C的大小.如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則 C(0, 0 ,0), A(1 , 0, 0), B(0,2 , 0), P(1 , 0 , 1)，由 D 是 PB 的1 J2 1中點(diǎn),得D(亍由PEEBAP2AB1,得E是PD的中點(diǎn),3EA3),DC1)cosEA, DCEA DC|EA|DC |即二面角A PB C的平面角的余弦值是解法二：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0, 0, 0),BC 2,1,0) ,

18、 C(0 , 1 , 0) , P(0 , 0 , 1),AP (0,0,1), AB ( .2,1,0),CB (.2,0,0),CP (0, 1,1).設(shè)平面FAB的法向量是 a= (ai, a2, a3).平面FBC的法向量是b = (bi, b2, b3).由a AF0,a AB0,9得 a30，取 ai = i，得 a (1, .2,0).、2耳a20,由b CB0,b CF0得2b10,取 b3= 1,得 b = (0, 1, 1).b2 b30, a bV3cos a,b|a|b|3二面角 A FB- C為銳二面角，二面角A FB C的平面角的余弦值是| 弓| 弓3 3【評述】1

19、、求二面角的大小，可以在兩個半平面內(nèi)作出垂直于棱的兩個向量，轉(zhuǎn)化為這兩個向量的夾角；應(yīng)注意兩個向量的始點(diǎn)應(yīng)在二面角的棱上.2、當(dāng)用法向量的方法求二面角時，有時不易判斷兩個平面法向量的夾角是二面角的平面角還是其補(bǔ)角，但我們可以借助觀察圖形而得到結(jié)論，這是因?yàn)槎娼鞘卿J二面角還是鈍二面角一般是明顯的.例 6 如圖，三棱錐 F ABC 中，F(xiàn)A 丄底面 ABC, FA = AB,/ ABC = 60,/ BCA = 90，點(diǎn) D, E分別在棱 FB, FC上，且 DE / BC.(I )求證：BC丄平面FAC;(II)當(dāng)D為FB的中點(diǎn)時，求AD與平面FAC所成角的余弦值；(川)試問在棱FC上是否存在

20、點(diǎn) E,使得二面角 A DE F為直二面角？若存在，求出 FE : EC的值； 若不存在，說明理由.p解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè) FA= a,由已知可得 A(0, 0, 0), B(丄a,孚a,0),C(0,孚a,0),P(0,0,a).2 2 2(I) - AP (0,0,a), BC (2a,0,0),二 AP BC 0, BC丄 AP 又/ BCA = 90,. BC 丄AC . BC丄平面PAC (II) / D為PB的中點(diǎn)，DE / BC,. E為PC的中點(diǎn).D(1、31.314a,za,2a),E(0,2a,2a由（I ）知，BC丄平面PAC , DE丄平面PAC, / DAE

21、是直線AD與平面PAC所成的角.- AD ( 1a43a,a), AE (0 n,mv n(B)=I, A , B 內(nèi)的射影分別是(C)2(D)-3,A, B到I的距離分別是a和b, AB與， 所成的角分別 m和n,若ab,則下列結(jié)論正確的是()(D) v,mnABCD AiBiCiDi 中，E, F, G, H 分別為AAi , AB , BBi , BiCi的中點(diǎn)，則異面直線 EF與GH所成角的大小是6.廠V3已知正四棱柱的對角線的長為.6 ,且對角線與底面所成角的余弦值為，則該正四棱柱的體積等37.于.如圖，正四棱柱AiB與ADi所成角的余弦值為1 8.四棱錐P ABCD的底面是直角梯形

22、，/ BAD = 90 , AD / BC , AB BCAD , PA丄底面ABCD,2PD與底面ABCD所成的角是30.設(shè)AE與CD所成的角為 ，則cos =.、解答題：9 .如圖，正四棱柱 ABCD AiBiCiDi 中，AAi= 2AB= 4,點(diǎn) E 在 CCi 上,且 CiE= 3EC .(I )證明：AiC丄平面BED ;(II)求二面角Ai DE B平面角的余弦值. n10 .如圖，在四棱錐 O ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，ABC - , OA丄底面ABCD , OA4=2, M為OA的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn).(I )證明：直線MN /平面OCD ;(I)求異面直線A

23、B與MD所成角的大小.11.如圖，已知直二面角一PQ ,A PQ, B, C, CA= CB,Z BAP = 45，直線 CA 和平面所成的角為30(I )證明：BC丄PQ;(I)求二面角B AC P平面角的余弦值.練習(xí)答案一、選擇題：1. B2. A3. B4. D二、填空題：5. 606. 27.48 j54三、解答題：9 .以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線 DA為x軸的正半軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系D xyz.依題設(shè),B(2, 2, 0), C(0, 2, 0), E(0, 2, 1), Ai(2, 0, 4).DE (0,2,1), DB (2,2,0),AC ( 2,2, 4), DA!(2,0,4).(I) / A1C DB 0, A1C DE 0, /. AiC丄 BD, AiC丄 DE . 又 DB n DE = D , AiC丄平面 DBE .(n)設(shè)向量n = (x, y, z)是平面DAiE的法向量，貝U n DE, n DA,.2y2x4z00 令 y=1得 n= (4, 1, 2).cos(n, AC)n AC|n|AiC|二面角 A1 DE B平面角的余弦值為 49題圖如圖，分別以 AB, AP, AO所在直線為10題圖x, y, z軸建立坐標(biāo)系.A(0, 0, 0), B(1