(完整word版)4-3-6燕尾定理.教師版0001

1、燕尾定理 4-3-6 燕尾定理 題庫(kù)page 1 of 22 例題精講 燕尾定理： 在三角形 ABC中，AD , BE , CF相交于同一點(diǎn) 0，那么S ABO : S ACBD : DC . D 上述定理給出了一個(gè)新的轉(zhuǎn)化面積比與線(xiàn)段比的手段，因?yàn)閁ABO和ACO的形狀很象燕子的尾巴，所以這 個(gè)定理被稱(chēng)為燕尾定理該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運(yùn)用，它的特殊性在于，它可以存在于任何 一個(gè)三角形之中，為三角形中的三角形面積對(duì)應(yīng)底邊之間提供互相聯(lián)系的途徑 通過(guò)一道例題證明一下燕尾定理： S : S4 = S2 : S3 = BD : DC 如右圖，D是BC上任意一點(diǎn)，請(qǐng)你說(shuō)明: 【解析】三角形

2、BED與三角形CED同高，分別以BD、DC為底， 所以有 S：S4二BD:DC ;三角形 ABE與三角形 EBD同高，Si: S = ED : EA ;三角形 ACE與三角形 CED 同高，S4： 又 AE:EC =1:3，所以 S aoc =4S.a OE 則 S AOB =2S A OC =2 4S a OE =8S a OE , 所以 0B : 0E =S AOB : S AOE =8:1 【答案】8:1 【例5】如圖9, 三角形 BAC的面積是1, E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn) D在BC上，且BD:DC=1:2 , AD與BE交 于點(diǎn)F , 【考點(diǎn)】燕尾定理 【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，初賽，第二

3、十題， 【解析】題中條件只有三角形面積給出具體數(shù)值, 則四邊形DEFC的面積等于 【難度】3星【題型】填空 6分 其他條件給出的實(shí)際上式比例的關(guān)系，由此我們初步可以 又因?yàn)殛幱安糠质且粋€(gè)不規(guī)則四邊形，所以我們需要對(duì)它 D 判斷這道題不應(yīng)該通過(guò)面積公式求面積。 進(jìn)行改造，那么我們需要連一條輔助線(xiàn), 【答案】 【例6】 方法一：連接 CF，因?yàn)锳E=EC,DC=2BD，三角形 ABC的面積是1, 、 1111 所以 S ABDS ABC ,S ABE S UA 3 UA 3-2 SabfBD1 S|_ACFDC2 所以 S|_ABF = S|_ABC = , S AFE 44- 根據(jù)燕尾定理， 所

4、以陰影部分的面積分面積是 方法二：連接DE，由題目條件可得到 S 0DE = 1 S ADC 2 而 S|_CDE 1 2 S XXX 23 2 1 S ABC 2 - ABC = 2 S ABF AE 1 S_CBFEC J 244 1_1仝 3 412 S ABDS ABC 3 111c S ABC 23 2- 1 一 ? 3 1 =12 3。所以陰影部分的面積為 5 。 12 5 12 點(diǎn)E在 =4， AB上，點(diǎn)F在AC上， 則 S BPC_ BF與CE相交于點(diǎn)P，如果 ABC 中， S BEP = S CFP 如圖 S四邊形AEPF A 【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星【題型】填空 【解析

5、】連接EF , AP . 根據(jù)題意，不難得出EF II BC，那么CF :FA=BE:EA； 而 CF : FA = S bpc : S bpa ； BE : EA = S bpc : S apc ； 所以，Sbpa二Sac所以，AP平分四邊形AEPF，那么BE:EA =2:1 . =12 S.Bpc ： S apc = BE ： EA = 2:1 ,S bpc 【答案】12 【例7】 如圖4，三角形田地中有兩條小路 AE和CF，交叉處為D，張大伯常走這兩條小路，他知道 DF = DC，且AD = 2DE。則兩塊田地 ACF和CFB的面積比是 A B 【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星【題型】填空

6、【關(guān)鍵詞】希望杯，六年級(jí)，復(fù)賽，第十一題，5分 【解析】 方法一、ACF和CFB為同高三角形，所以面積比等于底邊比AF:FB。 過(guò)F作BC的平行線(xiàn)，交 AE于G,則因?yàn)镈F = DC，所以三角形 CED和FGD全等，GD = DE。又因 為AD=2DE，所以D和G是AE的三等分點(diǎn)，所以 AF:FB=AG:GE=1:2。 DF A 方法二、連接 BD，設(shè) Saced -1 (份)，則 Sa acSa adf =2。 x 1 = yx =3 設(shè) Sa bed =XSa bfd = y，則有 J小，解得！, ，2x = y +2=4 所以 Sa acf : Sa cfb =(22) : (43 1)

7、=1： 2。 【答案】 1:2 C E B 2平方厘米，EC =2DE， F是DG的中點(diǎn)陰影部分的面積是多少 【例8】 如圖，長(zhǎng)方形 ABCD的面積是 平方厘米？ 【考點(diǎn)】 【解析】 【難度】4星 燕尾定理 設(shè) def y 【題型】解答 =1份，則根據(jù)燕尾定理其他面積如圖所示 S陰影 55 =Sa BCD-平方厘米 1212 【答案】12 【例9】 如圖所示，在四邊形 ABCD中，AB=3BE , 邊形BODC的面積為 AD=3AF，四邊形 AEOF的面積是12，那么平行四 【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】4星【題型】填空 【解析】 連接 AO, BD，根據(jù)燕尾定理 Sa abo : Sa bdo =

8、AF : FD =1： 2,Sa aod : Sa bod =AE : BE =2:1，設(shè) Sa beo =1 , 則其他圖形面積，如圖所標(biāo)，所以Sbodc =2Saeof =2 12 =24. 【答案】24 AF與CE交于G，則四邊 【例10】ABCD是邊長(zhǎng)為12厘米的正方形， E、F分別是AB、BC邊的中點(diǎn), 形AGCD的面積是 平方厘米. 【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】4星【題型】填空 【解析】連接AC、GB，設(shè)Sa g =1份，根據(jù)燕尾定理得Ssgb=1份，Sabgc=1份，則S正方形=(1 + 1+) 2=6 份， SadCG =3+1=4份，所以 Sadcg =12 2 所以S AEG匚

9、3 SABF 2 311 且 EG HFEC EC，故 CG=GE，則 S cgf =1 S aeg =5 . 3 422 所以?xún)扇切蚊娣e之和為 10 15 . （法2）如上右圖，連接 AC、BG . 根據(jù)燕尾定理，S. abg ： S. acg = BF ： CF =3:1 , s Bcg : s ac = BE : A = 2 :1 , *6x4=96 (cm2) 【答案】96 【例11】如圖，正方形ABCD的面積是 面積是平方厘米. 120平方厘米，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，四邊形 BGHF 的 【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】4星【題型】填空 【解析】連接BH，根據(jù)沙漏模型得BG:GD

10、=1:2,設(shè)S bhc -1份，根據(jù)燕尾定理S chd =2份，S bhd =2份, 12 77 因此S正方形=(1 2 2) 2 =10份，Sbfhg，所以Sbfhg =1201014(平方厘米). 2 3 66 【答案】14 11 【例12】如圖，四邊形ABCD是矩形，E、F分別是AB、BC上的點(diǎn)，且AE =丄AB , CF=BC , AF與 3 4 CE相交于G，若矩形 ABCD的面積為120，則. AEG 與 CGF的面積之和為 . 【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星【題型】填空 【關(guān)鍵詞】清華附中，入學(xué)測(cè)試題 【解析】(法1)如圖，過(guò)F做CE的平行線(xiàn)交 AB于H，則EH : HB=CF :

11、FB=1:3 , AG:GF =AE:EH =2，即 AG =2GF , 1 所以 AE EB =2EH , 2 -丄 ABCD =10 942 1 3 312 所以 S ABG, S ABC60 = 30 , S BCG, S abc 3 +2 +1涇 2止 3 +2 +1心 11 則 S AEG S ABG =10 , S CFG S BCG =5 , 所以?xún)蓚€(gè)三角形的面積之和為15. 60 = 20 , 【答案】15 【例13】正六邊形A，A， 六邊形各邊的中點(diǎn); 平方厘米. A3, A4, A , A6的面積是2009平方厘米，B1, 那么圖中陰影六邊形的面積是 B2 ,B3 , B4

12、 , B5 , B6 分別是正 A3 3 【題型】填空 【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星 【關(guān)鍵詞】迎春杯，六年級(jí)，初賽 【解析】（方法一）因?yàn)榭瞻椎拿娣e等于 A2A3G面積的6倍，所以關(guān)鍵求 A2A3G的面積，根據(jù)燕尾定理可 33 11 得Saa2agSa7S正六邊形，但在 A1A2A3用燕尾定理時(shí)，需要知道 ADAsD的長(zhǎng)度比, 77 3 2 連接AA3,A6A3,AG,過(guò)B6作AA2的平行線(xiàn)，交 AA于E，根據(jù)沙漏模型得 AD二DE,再根據(jù)金字塔 模型得 A1E=A3E,因此 AD:A3D =1:3,在厶 A1A2A3 中，設(shè) Sa a21 份，貝 V Sa a2a33 份，Sa a3a13

13、 份，所以SM2A3G S A1 A2 A3 3S3 11S1 S =7s aa2a, =7尺25正六邊形=14 5正六邊形, 4 因此S陰影（16）S正六邊形2009 =1148 （平方厘米） 147 （方法二）既然給的圖形是特殊的正六邊形，且陰影也是正六邊形我們可以用下圖的割補(bǔ)思路，把正 六邊形分割成14個(gè)大小形狀相同的梯形，其中陰影有8個(gè)梯形，所以陰影面積為 -2009 =1148（平 14 方厘米） 3 4- 3-6燕尾定理 題庫(kù)page 17 of 22 【答案】1148 【例14】已知四邊形ABCD , CHFG為正方形, Sp ：S乙 =1:8 ,a與b是兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，求a:

14、b=? 【例15】右圖的大三角形被分成 是. 【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星 【題型】解答 【解析】觀(guān)察圖形，感覺(jué)陰影部分像蝴蝶定理，但是細(xì)細(xì)分析發(fā)現(xiàn)用蝴蝶定理無(wú)法繼續(xù)往下走，注意到題目 條件中給出了兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，有邊長(zhǎng)就可以利用比例，再發(fā)現(xiàn)在連接輔助線(xiàn)后可以利用燕尾， 那么我們就用燕尾定理來(lái)求解 連接EO、AF， 根據(jù)燕尾定理 :Sa aoe : aof = a ： b， S aof : Sa eof = a ： b 22 所以 Saaoe : Saeof =a : b，作 OM 丄 AE、ON 丄 EF , / AE =EF 2 2 二 OM :ON =a :b 33 S甲:S乙=a :

15、 b 1:8 二 a:b =1: 2 【答案】1:2 5個(gè)小三角形，其中 4個(gè)的面積已經(jīng)標(biāo)在圖中，那么，陰影三角形的面積 【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星【題型】填空 【解析】方法一：整個(gè)題目讀完，我們沒(méi)有發(fā)現(xiàn)任何與邊長(zhǎng)相關(guān)的條件，也沒(méi)有任何與高或者垂直有關(guān)系的 字眼，由此，我們可以推斷，這道題不能依靠三角形面積公式求解我們發(fā)現(xiàn)右圖三角形中存在一個(gè) 比例關(guān)系： 2 : S陰影二13 :4，解得S陰影二2 . 方法二：回顧下燕尾定理，有 2:（S陰影4）1:3，解得 為影=2. 【答案】2 【例16】如右圖，三角形 ABC中，AF :FB=BD:DC=CE:AE=3:2，且三角形 ABC的面積是1，

16、則三角 形ABE的面積為，三角形AGE的面積為，三角形GHI的面積為. C 【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星【題型】填空 【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，六年級(jí) 【分析】連接AH、BI、CG 222 由于 CE: AE =3: 2，所以 AE AC，故 S abeS-ab 5 55 根據(jù)燕尾定理，Sacg : s abg =CD : BD =2 :3 , S bcg : S abg =CE : EA =3: 2，所以 蘭,S bcg二衛(wèi) 1919 同樣分析可得 那么S AGE 2 5 19 S ach 9 19 8 95 EG : EH = SCG : ：AC H= 4 : 9, EG:EB 二 S.acg：

17、S acb =4:19，所以 EG:GH :HB =4:5:10，同樣分析可得 AG:GI :ID =10:5: 4 , 5 所以 S BIE S B， 10洋 1 【答案】丄 19 1吟5 V，Sghi唏SBIE嗥圮 【鞏固】 如右圖，三角形 ABC的面積. ABC中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2，且三角形 GHI的面積是1,求三角形 S ACG : S ABG : S BCG -4 : 6 : 9，貝V S ACG 4-3-6 燕尾定理 題庫(kù)page 23 of 22 【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星【題型】解答 【解析】連接BG, S agc = 6份 根據(jù)燕尾疋理，Sa ag

18、c : S bgc = AF : FB =3： 2 = 6:4 , S abg : Sa agc = BD : DC = 3： 2 =9 ： 6 Sa abg =9（份）,則 Sa ABC = 19（份），因此 Sa agc Sa ABC 19 同理連接AI、 CH 得 Sa abh 6 Sa bic 6 S ABC 19 SA ABC 19 19-6-6-6 1 所以亠巴= Sa ABC 19 19 得 sa bgc - 4 （份）, 三角形GHI的面積是1，所以三角形 ABC的面積是19 【答案】19 【鞏固】如圖，JABC中BD =2DA , CE =2EB , AF =2FC，那么.A

19、BC的面積是陰影三角形面積的 倍. C 【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星【題型】填空 【關(guān)鍵詞】走美杯，初賽，六年級(jí) 【分析】如圖，連接AI 根據(jù)燕尾定理，S bci : S aci = BD : AD =2:1 , S恵ci : Sbi =CF : AF =1： 2 , 所以，S ACI : S BCI : S ABI =1:2:4 , 那么SBCI =1 2 4SAbc = S ABC 同理可知ACG和ABH的面積也都等于ABC面積的-，所以陰影三角形的面積等于ABC面積 7 的1 一？ 3=1，所以 ABC的面積是陰影三角形面積的7倍. 77 【答案】7 【鞏固】如圖在 ABC中，匹=邑=空

20、，求GHI的面積的值. DB EC FA 2 ABC 的面積 【解析】 Sa abg =4（份）,則S ABC =7（份），因此 Sa agc SA ABC 2 =-,同理連接AI、CH得 7 2 ABH 2 SA BIC Sa ABC 7 Sa ABC 得 Saagc =2（份）, - 7 GHI SA ABC 所以 1-2-2-2 1 7_7 【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星【題型】解答 連接 BG,設(shè) Sbgc =1 份，根據(jù)燕尾定理 Saagc : 如圖（2）根據(jù)燕尾定理，得到 S.QegSdfg = 2:3 =040.6 ； 如圖（3）; GD:GA20 =，由于 ED / BA ,那么

21、 EG:GB =1：6 ,同理 FG:GC =1：6 ,那么 ABC 的面積為（1 2 3）6=36。本題使用了燕尾定理、相似三角形等性質(zhì)，學(xué)生不需要進(jìn)行嚴(yán)格地證明， 知道結(jié)論并會(huì)使用它解題即可。 (1) 4個(gè)同樣大小的三角形可以組 方法二：因?yàn)槿切?DEF所給條件最多，先來(lái)關(guān)注這一三角形。由 成如下圖的正方形，面積為 4,所以邊長(zhǎng)為2,故EF=2。要使已知條件與三角形 ABC產(chǎn)生聯(lián)系, 則將三角形AEF視為一個(gè)整體，面積為EF 0吃=6 ,所以三角形ABC的高h(yuǎn)=6。再觀(guān)察下面的正方 形，可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于等腰直角三角形，從頂點(diǎn)做的高為斜邊長(zhǎng)度的一半，故BC=2h=12，所以三角 形ABC的面

22、積=BC0吃=12 6吃=36 【答案】36 【例20】如圖，三角形 ABC的面積是1 , 寫(xiě)出這9部分的面積各是多少 ？ BD =DE =EC , CF =FG =GA，三角形 ABC被分成9部分，請(qǐng) 4-3-6 燕尾定理 題庫(kù)page 29 of 22 【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星【題型】解答 【解析】 設(shè)BG與AD交于點(diǎn)P, BG與AE交于點(diǎn)Q , BF與AD交于點(diǎn) M , BF與AE交于點(diǎn)N.連接CP, CQ , CM , CN. 根據(jù)燕尾定理，ABP : SCBP = AG : GC =1:2 , ABP : ACP = BD : CD =1:2，設(shè) ABP = 1 （份），則 1

23、SABC =1 2 2=5（份），所以 Saabp 二 5 2 1 1 2 1 3 1 2 1 同理可得， Sa abq ,Sa abn ，而 Sa abg : 一5 所以 Sa apq = 5 Sa aqg =- 7 2 3 7 5 35 3 7 21 3 1 一 1 2 3 9 同理，Sa bpm Sa bdm ,所以S四邊形PQMN = : 二 35 21 2 7 35 70 1 3 9 5 1 1 5 1 1 1 1 5 S四邊形MNED = = ,邊形 NFCE : 二 z , SH 邊形GFNQ二 二一一 = 3 35 70 42 3 21 42 6 3 21 6 42 5 【答案

24、】 42 E是BC邊的三等分點(diǎn)，點(diǎn) F G是AC邊的三等分點(diǎn)，那么四 【鞏固】如圖， AABC的面積為1,點(diǎn)D、 邊形JKIH的面積是多少？ 【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星 【題型】解答 【解析】連接CK、CI、CJ . 根據(jù)燕尾定理，S Ack : S Abk - CD : BD 1: 2 , S abk : S cbk 二 AG : CG =1: 2 , 所以Sa CK :S.Abk : S.Cbk =1:2:4 , 那么S Ack - 1 12 4 _1 S agkS Ack 3 1 21 類(lèi)似分析可得 S Agi 2 15 1 又 S ABJ ： S CBJ = AF : CF =2 :

25、1 , S ABJ : S ACJ = BD : CD = 2 :1，可得 S ACJ 1117 那么，ScGKJ 4 21 84 根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可知四邊形 17 CEHJ的面積也為 一，那么四邊形 JKIH周?chē)膱D形的面積之和為 84 ScGKJ 漢2 +S去GI +S也be 17 2 2 15370 84 619 ，所以四邊形JKIH的面積為1- 7070 9 【答案】 70 【例21】如右圖，面積為1的厶ABC中, 求陰影部分面積. BD:DE:EC=1:2:1 , CF : FG:GA =1: 2:1 , AH : HI :IB =1:2:1 , 【考點(diǎn)】 【解析】 3星 燕尾定理【難度

26、】 設(shè)IG交HF于M， 【題型】解答 IG交HD于N , DF交EI于P .連接 AM , IF 9 t AI : AB =3: 4 , AF : AC =3: 4 , . SaifSabc 16 / Sa FIM : SAAMF _ 1 -SA aimsa aif 4 =IH : HA =2 , Safim : Sa aim 二 FG : GA 二 2 9 Sa abc- AH : Al =1:3- - Saahm 64 _2S SA ABC , 64 / AH : AB =1:4 3 冋理Sa cfd = Sa bdh :ABC 16 3 A F: A C 3 : 4 - SaahfSaa

27、bc 16 Sa fdhsa abc 16 3 HM :HF = 64 AI : AB =3: 4,AF : AC =3: 4 , IF II BC , 又/ IF : BC =3: 4, DE : BC =1:2 , DE : IF =2:3, DP : PF =2:3 同理 HN : ND =2:3 , / HM _ 1_ 7 -Sa hmnSahdfSaabc 10 160 :HF 同理6個(gè)小陰影三角形的面積均為 =1:4 , HN : HD =2:5 乙 160 . 7 160 . 4- 3-6燕尾定理 題庫(kù)page # of 22 721 陰影部分面積=6二21 16080 【答案】

28、 21 80 【例22】如圖，面積為I的三角形ABC中，D、E、F、G、H、丨分別是AB、BC、CA的三等分點(diǎn)，求陰影部 分面積. AA 【考點(diǎn)】 C 【難度】3星 燕尾定理 【題型】解答 4-3-6 燕尾定理 題庫(kù)page 31 of 22 【解析】 三角形在開(kāi)會(huì)，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧! P,BI與CE的交點(diǎn)為 Q,連接AM、 令BI與CD的交點(diǎn)為 M , AF與CD的交點(diǎn)為 N, BI與AF的交點(diǎn)為 BN、CP 求Sg邊形ADMI :在 ABC中，根據(jù)燕尾定理, SA ABM : SACBM - AI : CI - 1： 2 SA ACM : SA CBM - AD : BD =1： 2 設(shè)Sa ABM =1（份），則 Sa CBM =2（份）, SA ACM =1（份）,S ABC =4 （份）, 1 所以Sa ABM =SaSa ABC , 所以Sa ADM 4 1S SA ABM 3 Sa abc , Sa aim 12 -1 s SA ABC， 12 、 1