半角模型專題專練

1、AD半角模型例題已知，正方形ABCD,/ EAF兩邊分別交線段 BC DC于點(diǎn)E、F,且/ EAF= 45結(jié)論 1： BE+ DF= EF結(jié)論2： Sabe + Sa adf= Sa aef結(jié)論 3: AH= AD結(jié)論4:ACEF的周長=2倍的正方形邊長=2AB結(jié)論5:當(dāng)BE= DF時(shí)， CEF的面積最小結(jié)論 6： bM+ dN = mN結(jié)論7:三角形相似，可由三角形相似的傳遞性得到結(jié)論8: EA卩人是厶CEF的外角平分線結(jié)論9:四點(diǎn)共圓結(jié)論10: ANEPA AMF是等腰直角三角形（可通過共圓得到）結(jié)論11: MN=EF （可由相似得至U） 結(jié)論12: SAAEF= 2SAAMN（可由相似的

2、性質(zhì)得至U） 結(jié)論5的證明：設(shè)正方形ABCD勺邊長為1貝卩 Sx aef= 1 S1 S S3y (1=1 x)(1 y)= xy所以當(dāng)x = y時(shí)， AEF的面積最小 結(jié)論6的證明： 將厶ADN順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90使AD與AB重合 DN= BN易證 AMIA AMN MN= MN在Rt BMN中，由勾股定理可得：bM + BN2= MN2即 bM+ dN= mN結(jié)論7的所有相似三角形:Word文檔DpsLDBEAs占ADEDC AMN AFE結(jié)論9的證明:Word文檔 AMN DFN結(jié)論8的證明:AMNDMA因?yàn)?AMNA AFE/ 3=/ 2因?yàn)?AMNA BAN因?yàn)锳B/ CD1 = / 41

3、 = / 2因?yàn)? EAN=/ EBN= 45 A、B、E、N四點(diǎn)共圓(輔圓定 理：共邊同側(cè)等頂角)同理可證C E、N F四點(diǎn)共圓A、M F、D四點(diǎn)共圓C、E、M F四點(diǎn)共圓已知：正方形EAF 45，AE、*必會結(jié)論圖形研究正方形半角模型 AMN BME AMN BAN3=/ 42=/ 4ABCD , E、F分別在邊 BC、CD上，且 AF分別交BD于H、G，連EF .、全等關(guān)系(1)求證：DF、相似關(guān)系BE EF ; DG+ BH= HG; AE 平分(2)求證：CE一 2DG ； CF 2BH ； EF 2HG .(3)求證：三、垂直關(guān)系A(chǔ)B2BGDH 飛 AG2 BGHG ； H 烽寸B

4、EF ,AF平分 DFE .FECBC(4) 求證： AG EG : AH FH : tan HCFBE(5) 、和差關(guān)系求證： BG DG 2BE : AD DF 2DH ; | BE DF |. 2 | BH DG |.例1、在正方形 ABCD中，已知/ MAX 45，若 M N分別在邊 CB DC的延長線上移動(dòng)， 試探究線段MN BM、DN之間的數(shù)量關(guān)系. .求證：AB=AH.例 2、在四邊形 ABC中, Z B+Z D= 180, AB=AD 若 E、F分別 在邊BC CD上，且滿足EF=BE +DF.求證：Z EAF=Z BAD例 3、在厶 ABC中, AB=AC Z BAC=Z D

5、AE=120，若 BD=5CE=8求DE的長。例4、請閱讀下列材料： 已知：如圖1在Rt ABC中，BAC 90，AB AC，點(diǎn)D、E分別為線段BC上兩動(dòng)點(diǎn)，若 DAE 45 .探 究線段BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.小明的思路是：把 AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到ABE，連結(jié)ED， 使問題得到解決.請你參考小明的思路探究并解決下列問題：(1) 猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，并對你的猜想給予證明;(2) 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E在線段BC上，動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)在線段CB延長線上時(shí)，如圖2,其它條件不變，中探 究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請說明你的猜想并給予證明.圖1Word文檔例5、探究:(

6、1) 如圖1,在正方形ABCD中, E、F分別是BC CD上的點(diǎn)，且/ EAM45,試判斷BE、DF與EF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出判斷結(jié)果： ;(2) 如圖2,若把 問中的條件變?yōu)椤霸谒倪呅?ABCD中A吐AD / B+Z D= 180, E、F分別是邊BC CD上的點(diǎn)，且Z EAFZ BAD,則(1)問中的結(jié)論是否仍然成立？若成立， 請給出證明，2若不成立，請說明理由；(3) 在(2)問中，若將 AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)分別E、F運(yùn)動(dòng)到BC CD延長線上時(shí),如圖3所示，其它條件不變，則(1)問中的結(jié)論是否發(fā)生變化？若變化， 請給出結(jié)論并予以證明期L練習(xí)鞏固1：如圖，在四邊形 AB

7、CD中, Z B=Z D= 90, AB= AD,若E、F分別在邊BC CD上的點(diǎn)，且Z EAF=Z BAD .求證：EF=BE +DF.練習(xí)鞏固2:/ CAD=/ BAE求/ BAE的度數(shù)如圖，在五邊形 ABCD中，AB= BC= CD= DE= EA,練習(xí)鞏固3:已知：正方形ABCD中，MAN 45。，繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交 CB DC(或它們的延 長線)于點(diǎn)M N.(1) 如圖1,當(dāng) MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM DN時(shí)，有BM DN MN 當(dāng) MAN 繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM DN時(shí)，如圖2，請問圖1中的結(jié)論還是否成立？如果成立，請給予證明，如果不成立，請 說明理由；A(2) 當(dāng) MAN繞

8、點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段BM，DN和MN之間有怎樣的等量關(guān)系？請寫 出你的猜想，并證明.練習(xí)鞏固4(1)如圖，在四邊形 ABC沖，AB= AD / B=Z D= 90, E、F分別是邊BC CD上的點(diǎn)，且/ EAM求證：EF BE FD;(2)如圖在四邊形 ABC沖，AB= AD / B+/ D= 180, E、F分別是邊BCCD上的點(diǎn)，且/ EAM/ BAD(1)中的結(jié)論是否仍然成立？不用證明.(3) 如圖，在四邊形 ABCDK AB= AD, / B+/ ADO 180, E、F分別是邊BC CD延長線上的點(diǎn)，且/ EAF=/ BAD (1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不

9、成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.(4) 如圖，將邊長為4cm的正方形紙片ABC沿 EF折疊(點(diǎn)E、F 分別在邊AB CD上)，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)M處，點(diǎn)C落在點(diǎn)N處,MN與 CD交于點(diǎn)P,連接EP.(1)如圖，若M為AD邊的中點(diǎn), 厶AEM的周長二 cm 求證：EP= AE+ DPAEF(2)隨著落點(diǎn)M在AD邊上取遍所有的位置(點(diǎn) PDM的周長是否發(fā)生變化？請說明理由.(5).如圖17,正方形ABCD E、F分別為BC CD邊上一點(diǎn).(1) 若/ EAF= 45o.求證：EF= BE+ DF.(2) 若厶AEF繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，保持/ EAF= 45o,問/ CEF的周長是否隨 AEF位

10、置的變化而變化？(3) 已知正方形 ABCD的邊長為1,如果/CEF的周長為2.求/ EAF 的度數(shù).練習(xí)鞏固5、如圖，已知在正方形 ABCD中, MAN= 45,連接BD與AM, AN分別交于E、F兩點(diǎn)求證：(1) MN= M申 DN(2) 點(diǎn)A到MN的距離等于正方形的邊長；(3) VCMN勺周長等于正方形ABCDi長的2倍;(4)SWABCDSVCMN2ABMN(5) 若 MAB= 20,求 AMIN(6) 若 MAB 0 p p 45o，求 AMN(7) EF E宵 DF2;(8) VAENWVAFM等腰三角形；(9)SVAEFSVAMN練習(xí)鞏固6、在等邊 ABC的兩邊AB , AC所在

11、直線上分別有兩點(diǎn)M ,N ,D為ABC外一點(diǎn)，且 MDN 60 ,BDC 120 , BD CD，探究：當(dāng)點(diǎn)M ,N分別愛直線AB , AC上移動(dòng)時(shí)，BM , BN , MN之間的數(shù)量 關(guān)系及AMN的周長Q與等邊ABC的周長L的關(guān)系.ACD圖(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)M ,N在邊AB , AC上，且DMDN時(shí),BM , NC , MN之間的數(shù)量關(guān)系式(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)M , N在邊AB ,AC上，且DMDN時(shí)，猜想(1)問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明;(3)如圖，當(dāng)點(diǎn)M ,N分別在邊AB ,CA的延長線上時(shí)，若AN x，貝U Q練習(xí)鞏固7、如圖所示， ABC是邊長為1的等邊三角形， BDC是頂角為120的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60的/ MDN點(diǎn)M N分別在AB AC上，求 AMN勺周長練習(xí)鞏固8女口圖，在正方形 ABC沖，BE=3 EF= 5，DF= 4,求/ BA曰/DCF為多少度。鞏固練習(xí)9、如圖 1，Rt ABCRt EDF / ACB=Z F= 90,/ A=Z E= 30。厶 EDF繞著邊