2009年全國高考理科數(shù)學(xué)試題及答案-全國

1、 中國校長網(wǎng) 中國校長網(wǎng)資源頻道 http:/ 20092009 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試高高. .考考. .資資. .源源. .網(wǎng)網(wǎng) 理科數(shù)學(xué)（必修理科數(shù)學(xué)（必修+ +選修選修）高高. .考考. .資資. .源源. .網(wǎng)網(wǎng) 高.考.資.源.網(wǎng) 本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分第卷本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分第卷 1 至至 2 頁，第卷頁，第卷 3 至至 4 頁考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回頁考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回高高.考考.資資.源源.網(wǎng)網(wǎng) 第第卷卷高高.考考.資資.源源.網(wǎng)網(wǎng) 考生注意：考生注意：高高.

2、考考.資資.源源.網(wǎng)網(wǎng) 1答題前，考生在答題卡上務(wù)必用答題前，考生在答題卡上務(wù)必用 0.5 毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、 填寫清楚填寫清楚 ，并貼好條形碼請認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號、姓名和科目，并貼好條形碼請認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號、姓名和科目高高.考考.資資.源源.網(wǎng)網(wǎng) 2每小題選出答案后，用每小題選出答案后，用 2鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動， 用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號在試題卷上作答無效在試題卷上作答無效高高.考考.資資.

3、源源.網(wǎng)網(wǎng) 3本卷共本卷共 12 小題，每小題小題，每小題 5 分，共分，共 60 分在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是分在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是 符合題目要求的符合題目要求的高高.考考.資資.源源.網(wǎng)網(wǎng) 高高.考考.資資.源源.網(wǎng)網(wǎng) 參考公式：參考公式：高高.考考.資資.源源.網(wǎng)網(wǎng) 如果事件互斥，那么球的表面積公式高.考.資.源.網(wǎng)ab， 高.考.資.源.網(wǎng)()( )( )p abp ap b 2 4sr 如果事件相互獨(dú)立，那么其中表示球的半徑高.考.資.源.網(wǎng)ab，r 球的體積公式高.考.資.源.網(wǎng)()( )( )p a bp a p b 如果事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是，那

4、么高.考.資.源.網(wǎng)ap 3 4 3 vr 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生次的概率其中表示球的半徑高.考.資.一、選擇題一、選擇題nkr (1)設(shè)集合 a=4，5，7，9 ，b=3，4，7，8，9 ，全集 u=ab，則集合中() u ab i 的元素共有（a） （a）3 個 （b）4 個 （c）5 個 （d）6 個 解：，故選故選 a a。也可用摩。也可用摩3,4,5,7,8,9ab 4,7,9()3,5,8 u abcab 根律：根律：()()() uuu cabc ac b （2）已知=2+i,則復(fù)數(shù) z=（b ） 1i z （a）-1+3i (b)1-3i (c)3+i (d)3-i 解：解：

5、 故選故選 b b。 (1) (2)1 3 ,1 3ziiizi 中國校長網(wǎng) 中國校長網(wǎng)資源頻道 http:/ (3) 不等式1 的解集為（ d ） 1 1 x x （a） x (b) 011xx x 01xx （c） (d) 10 xx 0 x x 解：驗(yàn) x=-1 即可。 (4)設(shè)雙曲線（a0,b0）的漸近線與拋物線 y=x2 +1 相切，則該雙曲線的離 22 22 1 xy ab 心率等于( c ) （a） （b）2 （c） （d） 356 解：設(shè)切點(diǎn)，則切線的斜率為.由題意有又 00 (,)p xy 0 0 |2 x x yx 0 0 0 2 y x x 2 00 1yx 解得: .

6、22 0 1,2,1 ( )5 bb xe aa (5) 甲組有 5 名男同學(xué)，3 名女同學(xué)；乙組有 6 名男同學(xué)、2 名女同學(xué)。若從甲、乙兩組中 各選出 2 名同學(xué)，則選出的 4 人中恰有 1 名女同學(xué)的不同選法共有( d ) （a）150 種 （b）180 種 （c）300 種 (d)345 種 解: 分兩類(1) 甲組中選出一名女生有種選法; 112 536 225ccc (2) 乙組中選出一名女生有種選法.故共有 345 種選法.選 d 211 562 120ccc （6）設(shè)、是單位向量，且0，則的最小值為 ( d )abcab acbc （a） （b） （c） (d)222112 解

7、: 是單位向量 , ,a b c 2 ()acbca bab cc 故選| | | 12cos,121 |abcab c d. （7）已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等，在 111 abcabc 1 a 底面上的射影為的中點(diǎn)，則異面直線與所成的abcbcab 1 cc 角的余弦值為（ d ） b c b c a1 1 1 a d 中國校長網(wǎng) 中國校長網(wǎng)資源頻道 http:/ （a） （b） （c） (d) 3 4 5 4 7 4 3 4 解：設(shè)的中點(diǎn)為 d，連結(jié)d，ad，易知即為異面直線與所成bc 1 a 1 a ab ab 1 cc 的角,由三角余弦定理，易知.故選 d 1 1 3 cocs

8、4 oscos ad ad a addab a a ab （8）如果函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，那么的最小值為cos 2yx3 4 3 ，0| （a） （a） （b） （c） (d) 6 4 3 2 解: 函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱 cos 2yx3 4 3 ，0 由此易得.故選 a 4 2 32 k 13 () 6 kkz min | 6 (9) 已知直線 y=x+1 與曲線相切，則 的值為( b ) yln()xa (a)1 (b)2 (c) -1 (d)-2 解:設(shè)切點(diǎn)，則,又 00 (,)p xy 0000 ln1,()yxayx 0 0 1 |1 x x y xa .故答案選 b 000

9、 10,12xayxa （10）已知二面角 -l- 為 ，動點(diǎn) p、q 分別在面 、 內(nèi)，p 到 的距離為，60o3 q 到 的距離為，則 p、q 兩點(diǎn)之間距離的最小值2 3 為（ c ） (a) (b)2 (c) (d)4 2 3 解:如圖分別作 ,qaa aclc pbb于于于 ，連pdld 于,60 ,cq bdacqpbd 則 ，2 3,3aqbp2acpd 又 222 122 3pqaqapap 當(dāng)且僅當(dāng)，即重合時取最小值。故答案選 c。 0ap ap點(diǎn)與點(diǎn) 中國校長網(wǎng) 中國校長網(wǎng)資源頻道 http:/ （11）函數(shù)的定義域?yàn)?r，若與都是奇函數(shù)，則( d ) ( )f x(1)f

10、x(1)f x (a) 是偶函數(shù) (b) 是奇函數(shù) (c) (d) 是奇函數(shù)( )f x( )f x( )(2)f xf x(3)f x 解: 與都是奇函數(shù)，(1)f x(1)f x(1)(1),(1)(1)fxf xfxf x 函數(shù)關(guān)于點(diǎn)，及點(diǎn)對稱，函數(shù)是周期的周期( )f x(1,0)( 1,0)( )f x21 ( 1)4t 函數(shù).，即是奇函數(shù)。(14)(14)fxf x (3)(3)fxf x (3)f x 故選 d 12.已知橢圓的右焦點(diǎn)為,右準(zhǔn)線為 ，點(diǎn)，線段交于點(diǎn)， 2 2 :1 2 x cyflalafcb 若,則=3fafb |af (a). (b). 2 (c). (d).

11、 3 23 解:過點(diǎn) b 作于 m,并設(shè)右準(zhǔn)線 與 x 軸的交點(diǎn)為 n，易知 fn=1.由題意,bmll3fafb 故.又由橢圓的第二定義,得.故選 a 2 | 3 bm 2 22 | 233 bf |2af 第第 iiii 卷卷 二、填空題：二、填空題： 13. 的展開式中，的系數(shù)與的系數(shù)之和等于 。 10 xy 73 x y 37 x y 解: 373 101010 ()2240ccc 14. 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若,則= 。 n an n s 9 72s 249 aaa 解: 是等差數(shù)列,由,得 n a 9 72s 59 9,sa 5 8a . 2492945645 ()()324aa

12、aaaaaaaa 15. 直三棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若, 111 abcabc 1 2abacaa ，則此球的表面積等于 。 120bac 解:在中,可得,由正弦定理,可得外abc2abac120bac2 3bc abc 接圓半徑 r=2,設(shè)此圓圓心為，球心為，在中，易得球半徑， o ort obo5r 中國校長網(wǎng) 中國校長網(wǎng)資源頻道 http:/ 故此球的表面積為. 2 420r 16. 若，則函數(shù)的最大值為 。 42 x 3 tan2 tanyxx 解:令, tan,xt1 42 xt 44 3 22 2 422 2tan2222 tan2 tan8 111111 1tan1 ()

13、244 xt yxx xt ttt 三、解答題：本大題共三、解答題：本大題共 6 小題，共小題，共 70 分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。 17（本小題滿分 10 分） （注意：在試題卷上作答無效注意：在試題卷上作答無效） 在中，內(nèi)角 a、b、c 的對邊長分別為、，已知，且abcabc 22 2acb 求 b sincos3cossin,acac 分析分析: :此題事實(shí)上比較簡單此題事實(shí)上比較簡單, ,但考生反應(yīng)不知從何入手但考生反應(yīng)不知從何入手. .對已知條件對已知條件(1)(1)左左 22 2acb 側(cè)是二次的右側(cè)是一次的側(cè)是二次的右

14、側(cè)是一次的, ,學(xué)生總感覺用余弦定理不好處理學(xué)生總感覺用余弦定理不好處理, ,而對已知條件而對已知條件(2)(2) 過多的關(guān)注兩角和與差的正弦公式過多的關(guān)注兩角和與差的正弦公式, ,甚至有的學(xué)生還想用現(xiàn)在甚至有的學(xué)生還想用現(xiàn)在sincos3cossin,acac 已經(jīng)不再考的積化和差已經(jīng)不再考的積化和差, ,導(dǎo)致找不到突破口而失分導(dǎo)致找不到突破口而失分. . 解法一：在解法一：在中中則由正弦定理及余弦定理有則由正弦定理及余弦定理有: :abcsincos3cossin,acac 化簡并整理得：化簡并整理得：. .又由已知又由已知 222222 3, 22 abcbca ac abbc 222

15、2()acb . .解得解得. . 22 2acb 2 4bb40(bb或舍） 解法二解法二: :由余弦定理得由余弦定理得: : . .又又, ,。 222 2cosacbbca 22 2acb0b 所以所以2 cos2bca 又又，sincos3cossinacacsincoscossin4cossinacacac ，即，即sin()4cossinacacsin4cossinbac 由正弦定理得由正弦定理得，故，故sinsin b bc c 4 cosbca 由由，解得解得。4b 評析評析: :從從 0808 年高考考綱中就明確提出要加強(qiáng)對正余弦定理的考查年高考考綱中就明確提出要加強(qiáng)對正余弦

16、定理的考查. .在備考中應(yīng)注意總結(jié)、提在備考中應(yīng)注意總結(jié)、提 高自己對問題的分析和解決能力及對知識的靈活運(yùn)用能力高自己對問題的分析和解決能力及對知識的靈活運(yùn)用能力. .另外提醒：兩綱中明確不另外提醒：兩綱中明確不 中國校長網(wǎng) 中國校長網(wǎng)資源頻道 http:/ 再考的知識和方法了解就行，不必強(qiáng)化訓(xùn)練。再考的知識和方法了解就行，不必強(qiáng)化訓(xùn)練。 18 （本小題滿分 12 分） （注意：在試題卷上作答無效）注意：在試題卷上作答無效） 如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面， sabcdabcdsd abcd ，點(diǎn) m 在側(cè)棱上，=602ad 2dcsdscabm （i）證明：m 在側(cè)棱的中點(diǎn)sc （ii）求

17、二面角的大小。samb （i）解法一：作交于 n，作交于 e，mnsdcdneabab 連 me、nb，則面，,mn abcdmeab2nead 設(shè)，則,mnxncebx 在中，。rt meb60mbe3mex 在中由rt mne 222 menemn 22 32xx 解得，從而 m 為側(cè)棱的中點(diǎn) m. 1x 1 2 mnsdsc 解法二:過作的平行線.mcd 解法三:利用向量處理. 詳細(xì)可見 09 年高考參考答案. （ii）分析一分析一:利用三垂線定理求解。在新教材中弱化了 三垂線定理。這兩年高考中求二面角也基本上不用三垂線定 理的方法求作二面角。 過作交于,作交于,作mmjcdsdjsha

18、jajh 交于,則,面,面hkamamkjmcdjm sad 面,面即為所求二面角sadmbash ambskh 的補(bǔ)角. 分析二分析二：利用二面角的定義。在等邊三角形中過點(diǎn)作交于點(diǎn)abmbbfamam ，則點(diǎn)為 am 的中點(diǎn)，取 sa 的中點(diǎn) g，連 gf，易證，則即為所ffgfamgfb 求二面角. 分析三分析三：利用空間向量求。在兩個半平面內(nèi)分別與交線 am 垂直的兩個向量的夾角即 可。 另外：利用射影面積或利用等體積法求點(diǎn)到面的距離等等，這些方法也能奏效。 總之在目前，立體幾何中的兩種主要的處理方法：傳統(tǒng)方法與向量的方法仍處于各自 中國校長網(wǎng) 中國校長網(wǎng)資源頻道 http:/ 半壁江山

19、的狀況。命題人在這里一定會照顧雙方的利益。 19 （本小題滿分 12 分） （注意：在試題卷上作答無效）注意：在試題卷上作答無效） 甲、乙二人進(jìn)行一次圍棋比賽，約定先勝 3 局者獲得這次比賽的勝利，比賽結(jié)束， 假設(shè)在一局中，甲獲勝的概率為 0.6，乙獲勝的概率為 0.4，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，已知 前 2 局中，甲、乙各勝 1 局。 （i）求甲獲得這次比賽勝利的概率； （ii）設(shè)表示從第 3 局開始到比賽結(jié)束所進(jìn)行的局?jǐn)?shù)，求得分布列及數(shù)學(xué)期望。 分析分析：本題較常規(guī)，比 08 年的概率統(tǒng)計題要容易。 需提醒的是：認(rèn)真審題是前提，部分考生由于考慮了前兩局的概率而導(dǎo)致失分，這是 很可惜的，主要原因

20、在于沒讀懂題。 另外，還要注意表述，這也是考生較薄弱的環(huán)節(jié)。 20 （本小題滿分 12 分） （注意：在試題卷上作答無效）注意：在試題卷上作答無效） 在數(shù)列中， n a 11 11 1,(1) 2 nn n n aaa n （i）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式 n n a b n n b （ii）求數(shù)列的前項(xiàng)和 n an n s 分析分析：（i）由已知有 1 1 12 nn n aa nn 1 1 2 nn n bb 利用累差迭加即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式: () n b 1 1 2 2 n n b * nn （ii）由（i）知, 1 2 2 n n n an = n s 1 1 (2) 2 n k k k

21、 k 1 11 (2 ) 2 nn k kk k k 而,又是一個典型的錯位相減法模型， 1 (2 )(1) n k kn n 1 12 n k k k 易得 = 11 1 2 4 22 n kn k kn n s(1)n n 1 2 4 2n n 評析評析：09 年高考理科數(shù)學(xué)全國(一)試題將數(shù)列題前置,考查構(gòu)造新數(shù)列和利用錯位相減法求 前 n 項(xiàng)和，一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式。具有讓考生 和一線教師重視教材和基礎(chǔ)知識、基本方法基本技能,重視兩綱的導(dǎo)向作用。也可看出命題 中國校長網(wǎng) 中國校長網(wǎng)資源頻道 http:/ 人在有意識降低難度和求變的良苦用心。 21（本

22、小題滿分 12 分） （注意：在試題卷上作答無效）注意：在試題卷上作答無效） 如圖，已知拋物線與圓相 2 :e yx 222 :(4)(0)mxyrr 交于、四個點(diǎn)。abcd （i）求得取值范圍；r （ii）當(dāng)四邊形的面積最大時，求對角線、的交點(diǎn)坐標(biāo)abcdacbdp 分析：分析：（i）這一問學(xué)生易下手。將拋物線與圓的 2 :e yx 222 :(4)(0)mxyrr 方程聯(lián)立，消去，整理得 （） 2 y 22 7160 xxr 拋物線與圓相交于、四個點(diǎn) 2 :e yx 222 :(4)(0)mxyrrabcd 的充要條件是：方程（）有兩個不相等的正根即可.易得.考生利用數(shù) 15 (,4) 2

23、 r 形結(jié)合及函數(shù)和方程的思想來處理也可以 （ii）考綱中明確提出不考查求兩個圓錐曲線的交點(diǎn)的坐標(biāo)。因此利用設(shè)而不求、整體代 入的 方法處理本小題是一個較好的切入點(diǎn) 設(shè)四個交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、。 11 ( ,)a xx 11 ( ,)b xx 22 (,)c xx 22 (,)d xx 則由（i）根據(jù)韋達(dá)定理有， 2 1212 7,16xxx xr 15 (,4) 2 r 則 21122112 1 2 |() |() 2 sxxxxxxxx 2222 12121212 ()4(2)(72 16)(415)sxxx xxxx xrr 令，則 下面求的最大值。 2 16rt 22 (72 ) (72 )stt 2 s 方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在兩綱中雖不要求，但在處理一些最值問題有 時很方便。它的主要手段是配湊系數(shù)或常數(shù)，但要注意取等號的條件，這和二次均 值類似。 22 1 (72 ) (72 )(72 )(72 )(144 ) 2 sttttt 33 1 72721