二階線性常微分方程邊值問(wèn)題的數(shù)值解法

1、重慶三峽學(xué)院畢業(yè)論文論文題目：二階線性常微分方程邊值問(wèn)題的數(shù)值解法專(zhuān) 業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年 級(jí)： 2004級(jí)學(xué) 號(hào)： 200406030203作 者： 指導(dǎo)老師： 查中偉（教授）完成時(shí)間：2008年5月目錄摘 要iabstractii0 引言11 差分法11.1 差分格式的構(gòu)造11.2 差分格式(4)的收斂性21.3 差分格式(4)的改進(jìn)51.3.1 改進(jìn)后的差分格式的推導(dǎo)51.3.2 差分格式(23)穩(wěn)定性分析62 taylor展式法72.1一個(gè)fredholm積分方程的推導(dǎo)72.2 taylor展開(kāi)解法83 數(shù)值解的算法93.1 追趕法93.1.1 追趕法的理論及其穩(wěn)定性93.1.2 差分

2、格式(23)的算法步驟123.2 taylor展開(kāi)法的算法步驟131) 確定及其導(dǎo)數(shù)132) 確定133）確定近似解134 兩種數(shù)值解法的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)134.1 差分格式(23)的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)步驟134.2 taylor展式法的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)步驟151) 計(jì)算及其導(dǎo)數(shù)152) 計(jì)算153）計(jì)算近似解165 實(shí)例分析175.1差分法的誤差分析175.2 taylor展式法的誤差分析175.3 5.1與5.2結(jié)果的對(duì)比分析18致謝19參考文獻(xiàn)19二階線性常微分方程邊值問(wèn)題的數(shù)值解法摘 要 對(duì)于二階線性常微分方程定解問(wèn)題，大多數(shù)是不存在解析解的，有的方程既使存在解析解，然而解出其解也是很難辦到的.尤其是工程

3、計(jì)算中更需要的是數(shù)值解.因此,本文給出兩種二階線性常微分方程邊值問(wèn)題的數(shù)值解法.首先給出了利用差分法求其數(shù)值解，在介紹此方法的過(guò)程中，第一步構(gòu)造了二階線性常微分方程邊值問(wèn)題的差分格式（差分方程組），然后論證了該邊值問(wèn)題的收斂性，最后利用二階微分的四階緊致差分公式對(duì)第一步構(gòu)造的差分格式進(jìn)行精度上的改進(jìn)，得到了較好的結(jié)果.接著介紹了二階線性常微分方程邊值問(wèn)題的第二種數(shù)值解法taylor展開(kāi)解法，該方法主要是先將邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為fredholm積分方程，再經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)處理即可得到關(guān)于近似解、近似解的一階導(dǎo)數(shù)和近似解的二階導(dǎo)數(shù)的線性方程組，最后利用crammer法則解出了該二階線性常微分方程邊值問(wèn)題的數(shù)值解

4、.并且利用工程數(shù)學(xué)軟件matlab，給出了計(jì)算機(jī)程序，使前面兩種算法在計(jì)算機(jī)上得以實(shí)現(xiàn).最后給出了具體實(shí)例，分別運(yùn)用以上兩種解法進(jìn)行求解，對(duì)這兩種方法的計(jì)算精度進(jìn)行了對(duì)比分析.關(guān)鍵詞 數(shù)值解；差分格式；解的收斂性；matlabnumerical solution for boundary value problems of the second-order linear ordinary differential equationskai-min cheng(grade 2004, mathematics and applied mathematics, school of mathemati

5、cs and computer science, chongqing three gorges university, chongqing wanzhou 404000)abstract: there is no exact solution for the majority of second-order linear ordinary differential equations solution problem. some of them even exists the exact solution, but to solve its solution is a very difficu

6、lt job. especially, we need the numerical solution urgently in engineering mathematics. based on this, this paper gives two kinds of numerical solution for boundary value problems of the second-order linear ordinary differential equations. firstly, this paper gives the difference method to solve its

7、 numerical solution. in the process of introducing this method, we construct differential format of the boundary value problems in the first step. then we demonstrate the convergence of the boundary value problem. finally, we improve the accuracy for the difference format constructed in first step b

8、y the four-order differential format secondly, this paper gives method of taylor expansion to solve its numerical solution. in this method, we first transform the boundary value problems into fredholm integral equation, and then can get a group of linear equations with unknowns to the approximate so

9、lution, the first order derivative of the approximate solution and the second derivative of the approximate solution after mathematical treatment, and can solve it in crammer rule. thirdly, we write an algorithm program by using engineering mathematical software and make above two methods realized o

10、n the computer. finally, this paper gives a specific example and solves it with above two methods separately. this paper also analyzes the feasibility for their accuracy.keywords: numerical solutions; differential format; the convergence of solutions; matlab languagei2008屆數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范類(lèi)）專(zhuān)業(yè)畢業(yè)論文0 引言當(dāng)前，常微

11、分方程的定解問(wèn)題已經(jīng)有很多重要結(jié)果，如解的存在性定理.在很多典型的常微分方程的解法上也有較大突破，同時(shí)也涌現(xiàn)出了一批較為經(jīng)典的解法，如降階法、積分變換法、變易常數(shù)法、特征方程法等方法.盡管如此，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中還存在著迄今為止還難以解出其解析解的微分方程，這就使得微分方程領(lǐng)域必然會(huì)產(chǎn)生一個(gè)新的微分方程分支微分方程數(shù)值解法.對(duì)于較為簡(jiǎn)單的常微分方程，只需利用經(jīng)典解法即可解出其解析解，邊值問(wèn)題也是如此.往往在實(shí)際工程中抽象出來(lái)的微分方程，其邊值問(wèn)題是相當(dāng)復(fù)雜的，所以用求其解析解的方法來(lái)計(jì)算微分方程的邊值問(wèn)題往往是不適宜的，有時(shí)甚至是很難辦到的.實(shí)際上，對(duì)于解微分方程，我們所要獲取的或感興趣的，往往只是

12、一個(gè)或幾個(gè)特定點(diǎn)上的數(shù)據(jù)，并且既使有的方程存在解析解，也并不意味著其一定能夠表達(dá)成初等函數(shù)形式，如多項(xiàng)式函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)以及它們的有限組合形式.在利用數(shù)值計(jì)算方法理論的基礎(chǔ)上，再輔之計(jì)算機(jī)若能很好的解決現(xiàn)實(shí)工程數(shù)學(xué)中的許多常微分方程的邊值問(wèn)題，這是非常好的.本文主要論述二階線性常微分方程邊值問(wèn)題數(shù)值解的兩種解法：差分法和taylor展開(kāi)法.考慮二階線性常微分方程的邊值問(wèn)題 (1) 1 差分法1.1 差分格式的構(gòu)造對(duì)于邊值問(wèn)題(1)將區(qū)間進(jìn)等距劃分，分點(diǎn)為：其中 稱(chēng)與為邊界點(diǎn)，稱(chēng)為內(nèi)部節(jié)點(diǎn).在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上將用差商近似表示.這里要求有相同的截?cái)嗾`差，以保證精度協(xié)調(diào).對(duì)于

13、內(nèi)部節(jié)點(diǎn)，二階導(dǎo)數(shù)用二階中心差商表示，得，(2)一階導(dǎo)數(shù)用一階中心差商表示，得 ， (3)假設(shè)，則；于是方程(1)的差分方程： ， (4)其中，.稱(chēng)(4)為(1)的中心差分格式.1.2 差分格式(4)的收斂性作適當(dāng)變換可以消除線性方程(1)中的一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng).事實(shí)上，可令，再作，將之代入(1)得所以，不妨僅就缺少一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的方程來(lái)討論.對(duì)于邊值問(wèn)題： (5)這里假定，其對(duì)應(yīng)的差分問(wèn)題是： (6)下面討論差分問(wèn)題(6)的可解性.由于(6)式是關(guān)于變量的線性方程組，要證明它的解存在唯一，只要證明對(duì)應(yīng)的齊次方程組只有零解.為此，引進(jìn)文獻(xiàn)5的極值原理：引理1(極值原理) 對(duì)于一組不全相等的數(shù)，記其中 如果

14、，則的正的最大值只能是或；如果，則的負(fù)的最小值只能是或.證明 用反證法 考察的情形，設(shè)是正的最大值，即，且和中至少有一個(gè)小于，此時(shí)有:由于，故由上式推出，此與原假設(shè)矛盾.此外，的情形可類(lèi)似地進(jìn)行討論，證畢.利用引理1的結(jié)論有：定理1 差分問(wèn)題(6)的解存在并且是唯一的.證明 只要證明對(duì)應(yīng)的其次方程組只有零解，由于這里，由極值原理知，的正的最大值和負(fù)的最小值只能是或，而按邊界條件，故所有全為零，證畢.下面運(yùn)用極值原理論證差分方法的收斂性并估計(jì)誤差.定理2 設(shè)是差分問(wèn)題(6)的解，而是邊值問(wèn)題(6)的解在節(jié)點(diǎn)處的值.則截?cái)嗾`差有估計(jì)式： (7)式中 證明 由taylor展開(kāi)式，易得 (8)將(8)

15、與(6)相減，知誤差滿足 (9)式中的一般不知道的，討論下列差分問(wèn)題 (9-1)式中.首先證明(9)和(9-1)兩個(gè)差分問(wèn)題的解存在下列關(guān)系： (10)事實(shí)上，由于，故有又 利用引理1知，即(10) 式成立.我們進(jìn)一步考察 (11)這里，又，故由引理1（注意時(shí)就是），知，即，于是有 然而是容易求出的. 事實(shí)上，可以先求解差分問(wèn)題(9)所對(duì)應(yīng)的邊值問(wèn)題得 容易驗(yàn)證是差分問(wèn)題(11)的解，注意到在點(diǎn)達(dá)到最大值因此有估計(jì)式(7)，證畢.根據(jù)估計(jì)式(7)知，當(dāng)時(shí)有，這表明差分問(wèn)題(6)是收斂的.又因?yàn)?4)式是含有個(gè)未知數(shù)的線性方程組，方程的個(gè)數(shù)，要使方程組(4)有唯一解，還需要有兩個(gè)邊值條件，它們和

16、(4)一起構(gòu)成三對(duì)角方程組.通過(guò)分解，采用追趕法即可解出(4)(見(jiàn)3.1)1.3 差分格式(4)的改進(jìn)從1.2的討論可以得知，在1.1構(gòu)造的差分格式是直接的中心差分格式，其截?cái)嗾`差是即有二階精度.基于中心差分格式的分析，直接利用二階微分的四階緊致差分公式，我們得到了數(shù)值求解二階線性常微分方程邊值問(wèn)題的一種四階精度的差分格式.1.3.1 改進(jìn)后的差分格式的推導(dǎo)為了便于推導(dǎo)，可將方程(1)改寫(xiě)為 (12)為了使格式具有更高得精度，利用11中的四階差分公式 (13)其中，為二階中心差分算子 (14)可以表示、及等.將(13)代入(12)得: (15)即 (16)而(2)即為 (17)聯(lián)立(16)(1

17、7)知 (18)即 (19)顯然要使(19)具有四階精度，必須對(duì)也進(jìn)行四階離散，于是利用taylor公式知 (20)又由(12)可得 (21)于是有 (22)再將(2)、(3)、(21)及(22)代入(19)，經(jīng)整理并略去高階項(xiàng)可得 (23)其中 (24) (25) (26) (27)故差分方程(23)即為所要推導(dǎo)的四階精度格式，其截?cái)嗾`差為.1.3.2 差分格式(23)穩(wěn)定性分析現(xiàn)對(duì)改進(jìn)后的差分格式(23)進(jìn)行穩(wěn)定性分析.首先引用文獻(xiàn)12對(duì)差分方程的穩(wěn)定性的定義.定義1(差分算子的穩(wěn)定性定義) 如果對(duì)于充分小的網(wǎng)格步長(zhǎng)，線性差分算子對(duì)任何離散函數(shù)均存在不依賴(lài)于的正常數(shù)，使得 (28)則稱(chēng)差分

18、算子是穩(wěn)定的. 為了論證差分格式(23)的穩(wěn)定性，先引入文獻(xiàn)13的一個(gè)引理.引理2 假設(shè)是正型差分算子，則有 (29)定理3 設(shè)是由(23)定義的差分算子，即 (30)其中，由(24)(26)確定，如果假定，并且有 ， (31) ， (32)成立，則有(30)確定的差分算子是穩(wěn)定的.證明 由于在條件(31)和(32)下滿足 (33)所以，由(30)所確定的差分算子是正型的.根據(jù)引理2可以得知，存在不依賴(lài)于的正常數(shù)，使得 (34)其中，.若令，則由(34)知 (35)則由差分算子穩(wěn)定型的定義1得，差分算子是穩(wěn)定的. 證畢.定理3表明查分方程(23)的格式是穩(wěn)定的，且在條件(31)和(32)滿足的

19、前提下，是對(duì)角占優(yōu)的.因此，它與邊值條件構(gòu)成的三對(duì)角方程組也可采用追趕法進(jìn)行求解.2 taylor展式法2.1 一個(gè)fredholm積分方程的推導(dǎo)在這里可以假設(shè)、在上均連續(xù)可微.為了方便計(jì)算，現(xiàn)給出一類(lèi)新函數(shù)的定義:定義2 函數(shù) (36)其中可以為或.由定義2知 (37)現(xiàn)對(duì)方程(1)兩邊同時(shí)從到積分兩次，并應(yīng)用邊值條件和分部積分整理得 (38)其中；方程(38)含有未知的常數(shù)，可應(yīng)用(1)中的第二個(gè)邊值條件就能消除，最后導(dǎo)出下面的fredholm積分方程： (39)其中；2.2 taylor展開(kāi)解法設(shè)未知函數(shù)在上階連續(xù)可微，為了解出方程(39)，我們可以將未知函數(shù)用 taylor公式在處展開(kāi)

20、得： (40)其中為余項(xiàng)，即設(shè)為在上的最大值，于是得余項(xiàng)有界，即 (41)特別地，若未知函數(shù)是一個(gè)次數(shù)不超過(guò)的多項(xiàng)式，則.實(shí)際上，如果在上有任意階的導(dǎo)數(shù)，只要充分大，余項(xiàng)可以忽略不計(jì)，為方便起見(jiàn)，本文此處僅考慮二階的taylor展開(kāi)式(更高階的解法類(lèi)似于二階)，即 (42)現(xiàn)把(42)代入(39)得 (43)其中 在方程(39)兩邊對(duì)求導(dǎo)得 (44)其中 現(xiàn)將(42)代入(44)得 (45)其中 所以，現(xiàn)在方程(1)、(43)以及(45)恰好構(gòu)成一個(gè)關(guān)于、和的線性方程組，應(yīng)用crammer法則即可解出(1)的近似解 (46)其中 , 由于(46)是利用taylor二階展開(kāi)得到的，所以(46)稱(chēng)

21、為(1)的二階近似解.如果解是二次多項(xiàng)式，易知二階近似解退化成精確解，推而廣之，相應(yīng)的階近似解對(duì)次多項(xiàng)式也是精確的.3 數(shù)值解的算法3.1 追趕法3.1.1追趕法的理論及其穩(wěn)定性三對(duì)角線方程組的一般表示方法 (47)其中為三對(duì)角矩陣，為階列向量，即 ， 并且滿足 (48)設(shè)為滿足(48)的階三對(duì)角陣，則有唯一三角分解，其中為下三角陣，為單位上三角陣，即有 (49)由矩陣乘法， 得 1）； 2）3）于是，得到解(1)的追趕法計(jì)算公式 (1) 分解計(jì)算公式： (50)(2) 求解遞推公式： (51)(3) 求解遞推公式： (52)現(xiàn)將計(jì)算及的過(guò)程稱(chēng)為追的過(guò)程，計(jì)算方程組解的過(guò)程稱(chēng)為趕的過(guò)程，該算法

22、稱(chēng)為追趕法.定理4 對(duì)三對(duì)角線方程組(47)，其中滿足(48)式，則由追趕法計(jì)算公式得到滿足：(1) (2) ，(3) 分析 (1)要證，只要證，而此式中含有，因此用歸納法證明.(2)、(3)只要用三角不等式即可證得.但值得注意的是，條件(48)是充分的，但條件并非必要的，三對(duì)角線上不能有零元素，條件太苛刻，于是條件可以作適當(dāng)改變，使追趕法仍可行 ，如改為：證明 (1)顯然現(xiàn)歸納法假設(shè)，下證: 事實(shí)上，則，(2) 因?yàn)?故 再有 ，(3) 由于 所以 ，.證畢由定理4說(shuō)明追趕法計(jì)算公式中不會(huì)出現(xiàn)中間結(jié)果數(shù)量級(jí)巨大增長(zhǎng)和相應(yīng)的舍入誤差的嚴(yán)重累積，即追趕法計(jì)算公式對(duì)于舍入誤差是穩(wěn)定的.3.1.2

23、差分格式(23)的算法步驟1) 由1的討論可以得知，由差分格式(23)以及邊界條件構(gòu)成的方程組 (53)是滿足追趕法的條件(48)的.其中，這里，由(24)(27)確定2) 根據(jù)(50)的遞推公式 (54)可以解出3) 根據(jù)(51)的遞推公式 (55)可以解出4) 根據(jù)(52)的遞推公式 (56)即可解出 (57) 故(57)即為二階線性常微分方程邊值問(wèn)題(1)之差分格式(23)的數(shù)值解.3.2 taylor展開(kāi)法的算法步驟由(46)式知，要求，只需求出與，而完全由和以及及其導(dǎo)數(shù)確定，因?yàn)槭怯?1)唯一確定的，所以，以下步驟主要圍繞求以及及其導(dǎo)數(shù)來(lái)進(jìn)行.1) 確定及其導(dǎo)數(shù)由(39)知 (58)

24、所以要確定，首先得要確定，由的定義知 (59)則，根據(jù)(59)作兩次迭代即可求出，將之代入(58)即可求出，從而解出.2) 確定由的定義知; (60)其中和分別見(jiàn)(39)和(44)式.所以，根據(jù)(60)以及(39)、(44)就可以確定.3）確定近似解在1)和2)的基礎(chǔ)上，由(46)即可確定二階線性常微分方程邊值問(wèn)題(1)的近似解.值得說(shuō)明的是，以上步驟盡管較為清晰，但計(jì)算是相當(dāng)繁瑣的，尤其是幾個(gè)定積分，所以針對(duì)幾個(gè)復(fù)雜的定積分，可以適當(dāng)采用數(shù)學(xué)軟件mathematica5.0進(jìn)行處理.4 兩種數(shù)值解法的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)4.1差分格式(23)的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)步驟根據(jù)3.1.3的算法可以得到以下計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)的

25、步驟：1) 利用數(shù)學(xué)軟件mathematica5.0計(jì)算由(24)(27)確定的；2) 在matlab中建立一個(gè)名為chase.m的文件，如下：function y=chase (a,b,c,g) %定義函數(shù)chasen=length(b);printf(追趕法n);if n-1=length(a)for i=n-1:-1:1a(i+1)=a(i);end end %將a設(shè)置為n維向量 c(1)=c(1)/b(1); f(1)=f(1)/b(1);for i=2:n-1b(i)=b(i)-a(i)*c(i-1);c(i)=c(i)/b(i);g(i)=(g(i)-a(i)*g(i-1)/b(i

26、);endg(n)=(g(n)-a(n)*g(n-1)/(b(n)-a(n)*c(n-1);for i=n-1:-1:1g(i)=g(i)-c(i)*g(i+1);endy=f;或function g = chase(a,g)n,n = size(a);printf(追趕法n);l = tril(a);u = triu(a,1) + eye(n,n);l(1,1) = a(1,1);for k = 1:n-1 l(k+1,k) = a(k+1,k); u(k,k+1) = a(k,k+1)/l(k,k); l(k+1,k+1) = a(k+1,k+1) - a(k+1,k)*u(k,k+1);

27、enddisp(l);disp(u);b(1) = a(1,1);for k = 2:n a(k) = a(k,k-1); b(k) = a(k,k); c(k-1) = a(k-1,k); b(k-1) = u(k-1,k);endz(1) = g(1)/b(1);for k = 2:n z(k) = (g(k)-a(k)*z(k-1)/(b(k)-a(k)*b(k-1);enddisp(z);y(n) = z(n);for k = n-1:-1:1 y(k) = z(k) - b(k)*y(k+1);endf = y; 3) 求解線性方程組(53)，在matlab中編寫(xiě)以上的chase.m

28、的m文件，依次輸入數(shù)據(jù)如下即可： a=; a=.； b=.; c=.; g=.; y=chase (a,b,c,g)其中a=中輸入(53)中的元素，a=.中輸入，b=.中輸入，c=.中輸入，g=.中輸入.4.2 taylor展式法的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)步驟基于3.2的算法步驟，現(xiàn)給出更為具體的計(jì)算機(jī)操作步驟：1) 計(jì)算及其導(dǎo)數(shù)首先計(jì)算：因?yàn)椋?(61)再直接在mathematica5.0的編輯欄中輸入即可算出；然后由(58)式，直接在mathematica5.0中輸入，即為；最后在mathematica5.0輸入d,，即可得到.2) 計(jì)算由(60)式 (62) 同理 (63) (64) (65) (

29、66) (67)所以，直接分別將(62)(67)輸入mathematica5.0中運(yùn)行后即可得到3）計(jì)算近似解先計(jì)算，在mathematica5.0中分別輸入和，即可算出. 再由(46)式，可以算出(1)的近似解.5 實(shí)例分析例 考慮下列邊值問(wèn)題 (68)顯然，問(wèn)題(68)的解析解為.下面分別對(duì)使用差分法和taylor展開(kāi)法解邊值問(wèn)題(68)進(jìn)行誤差分析.5.1差分法的誤差分析在(68)式中，分別取步長(zhǎng)，則由4.1的算法步驟，可以計(jì)算出改進(jìn)后的差分格式(23)的最大誤差以及收斂階. 結(jié)果見(jiàn)表1：tab.1 maximum error for problem (68) in differenti

30、al format (23)改進(jìn)后的差分格式(23)1/101291/208.044.001/301.594.001/400.504.005.2 taylor展式法的誤差分析根據(jù)算法4.2可以解出(1)的近似解(由于其表達(dá)式過(guò)于冗長(zhǎng)，這里不便列出)，此處只對(duì)所求結(jié)果與(1)的解析解在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處值進(jìn)行對(duì)比分析，并且分析最大誤差.同樣對(duì)區(qū)間進(jìn)行40等分，只在分點(diǎn)處考慮問(wèn)題，結(jié)果見(jiàn)表2：tab.2 maximum error for problem (68) in taylor expansion method022021/401.61199981.61198850.00001131/402.0222

31、3252.02223280.000000322/401.57681861.57682560.00000702/402.03895942.03895990.000000523/401.54368521.54370250.00001273/402.02025412.01622120.000000624/401.51310181.51320350.00000174/402.05622742.05622120.000006225/401.48556251.48560210.00006045/402.05622742.05622120.000006226/401.46155031.46155690.00

32、000666/402.05284082.05283090.000009127/401.44153441.44186950.00001517/402.04388642.04385260.000033828/401.42596751.42502310.00004448/402.03041982.03045630.000037529/401.41528311.41585940.00002379/402.01272872.01271650.000011230/401.40989321.40979850.000005310/401.99113221.99118950.000057331/401.4102

33、8621.41025610.000030111/401.96597871.96597590.000002632/401.41652391.41684910.000425212/401.93764411.93762340.000020733/401.42924061.42958470.000344113/401.90652921.90655920.000030034/401.44864031.44856930.000070114/401.87305801.87302680.000031235/401.47499581.47498940.000006415/401.83767481.8375990

34、0.000075836/401.50854661.50853620.000000516/401.80084171.80082350.000018237/401.54949831.54949760.000000717/401.76303581.76309860.000062838/401.59802131.59802420.000002918/401.72474671.72478540.000038739/401.65424991.65424910.000000819/401.68647331.68652310.000079811.71828181.7182818020/401.64872131

35、.64869850.00007720.00042525.3 5.1與5.2結(jié)果的對(duì)比分析由表1容易得知，當(dāng)設(shè)定步長(zhǎng)，改進(jìn)后的差分格式在問(wèn)題(62)的最大誤差為，其收斂階為4.00，說(shuō)明該方法應(yīng)用于問(wèn)題(1)是相當(dāng)適宜的.由表2數(shù)據(jù)對(duì)比分析得知，用taylor展開(kāi)法來(lái)解邊值問(wèn)題(62)，所得結(jié)果還是比較理想的.所得近似解在各節(jié)點(diǎn)處的值與解析解在相應(yīng)節(jié)點(diǎn)處的值比較吻合.當(dāng)然，如果(42)為更高階的taylor展式，所得結(jié)果將更加精確，這說(shuō)明用該法來(lái)解決二階線性常微分方程邊值問(wèn)題是較為可行的.但通過(guò)對(duì)表1和表2綜合對(duì)比不難發(fā)現(xiàn)，用改進(jìn)后的差分格式(23)更能得到較為精確的數(shù)值解.致謝本論文是在指導(dǎo)老師查中偉教授的悉心指導(dǎo)下完成的.指導(dǎo)老師淵博的專(zhuān)業(yè)知識(shí)，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，精益求精的工作作風(fēng)，誨人不倦的高尚師德，嚴(yán)以律己、寬以待人的崇高風(fēng)范，樸實(shí)無(wú)華、平易近人的人格魅力對(duì)我影響深遠(yuǎn).不僅使我樹(shù)立了遠(yuǎn)大的學(xué)術(shù)目標(biāo)、掌握了基本的研究方法，還使我明白了許多待人接物與為人處世的道理.本論文從選題到完成，每一步都是在指導(dǎo)老師的指導(dǎo)下完成的，傾注了指導(dǎo)老師大量的心血.在此，謹(jǐn)向指導(dǎo)老師表示崇高的敬意和衷心