三角函數(shù)和差化積記憶方法與巧記口訣

1、三角函數(shù)和差化積記憶方法與巧記口訣和差化積記憶口訣 1：正和正在先，sin +sin =2sin( + )/2cos( - )/2正差正后遷，sin -sin =2cos( + )/2sin( - )/2余和一色余，cos +cos =2cos( + )/2cos( - )/2余差翻了天，cos -cos =-2sin( + )/2sin( - )/2（前提是角度( + )/2 在前，( - )/2 在后的標(biāo)準(zhǔn)形式）和差化積記憶口訣 2：正加正，正在前：sin +sin =2sin( + )/2cos( - )/2余加余，余并肩 ：cos +cos =2cos( + )/2cos( - )/2

2、正減正，余在前：sin -sin =2cos( + )/2sin( - )/2余減余，負(fù)正弦，cos -cos =-2sin( + )/2sin( - )/2和差化積：有相關(guān)的口訣 正加正，正在前，余加余，余并肩 正減正，余在前，余減余，負(fù)正弦 反之亦然注意事項(xiàng)在應(yīng)用和差化積時(shí)，必須是一次同名三角函數(shù)方可實(shí)行。若是異名，必須用誘導(dǎo)公式化為同名；若是高次函數(shù)，必須用降冪公式降為一次口訣正加正，正在前，余加余，余并肩正減正，余在前，余減余，負(fù)正弦 反之亦然。生動(dòng)的口訣 3：（和差化積）帥+帥=帥哥1帥-帥=哥帥哥+哥=哥哥哥-哥=負(fù)嫂嫂反之亦然。語文老師教的口訣 4：口口之和仍口口 cos +co

3、s =2cos( + )/2cos( - )/2賽賽之和賽口留 sin +sin =2sin( + )/2cos( - )/2口口之差負(fù)賽賽 cos -cos =-2sin( + )/2sin( - )/2賽賽之差口賽收 sin -sin =2cos( + )/2sin( - )/2（前提是角度( + )/2 在前，( - )/2 在后的標(biāo)準(zhǔn)形式） ：語文老師教的口訣 5：正弦加正弦，正弦在前面，sin +sin =2sin( + )/2cos( - )/2正弦減正弦，余弦在前面，sin -sin =2cos( + )/2sin( - )/2余弦加余弦，余弦全部見，cos +cos =2cos

4、( + )/2cos( - )/2余弦減余弦，余弦（負(fù)）不想見，cos -cos =-2sin( + )/2sin( - )/2記憶方法和差化積公式的形式比較復(fù)雜，記憶中以下幾個(gè)方面是難點(diǎn)，下面指出了各自的簡(jiǎn)單記憶方法。如何 只記兩個(gè)公式甚至一個(gè)我們可以只記上面四個(gè)公式的第一個(gè)和第三個(gè)。而第二個(gè)公式中的-sin =sin（ + ）， 也就是 sin -sin =sin +sin（ + ），這就可以用第一個(gè)公式解決。同理第四個(gè)公式中，cos -cos =cos +cos（ + ），這就可以用第三個(gè)公式解決。如果對(duì)誘導(dǎo)公式足夠熟悉，可以在運(yùn)算時(shí)把 cos 全部轉(zhuǎn)化為 sin，那樣就只記住第一個(gè)公式

5、就行了。用的時(shí)候想得起一兩個(gè)就行了。結(jié)果乘以 2 這一點(diǎn)最簡(jiǎn) 單的記憶方法是通過三角函數(shù)的值域判斷。sin 和 cos 的值域都是-1,1，其積的值域也應(yīng)該是-1,1，而和 差的值域卻是-2,2，因此乘以 2 是必須的。也可以通過其證明來記憶，因?yàn)檎归_兩角和差公式后，未抵消的 兩項(xiàng)相同而造成有系數(shù) 2，如：cos（ - ）-cos（ + ）=(cos cos +sin sin ）-(cos cos -sin sin ）=2sin sin 故最后需要乘以 2。只有同名三角函數(shù)能和差化積無論是正弦函數(shù) 還是余弦函數(shù)，都只有同名三角函數(shù)的和差能夠化為乘積。這一點(diǎn)主要是根據(jù)證明記憶，因?yàn)槿绻皇峭?/p>

6、 角函數(shù)，兩角和差公式展開后乘積項(xiàng)的形式都不同，就不會(huì)出現(xiàn)相抵消和相同的項(xiàng)，也就無法化簡(jiǎn)下去了。乘 積項(xiàng)中的角要除以 2 在和差化積公式的證明中，必須先把 和 表示成兩角和差的形式，才能夠展開。熟知 要使兩個(gè)角的和、差分別等于 和 ，這兩個(gè)角應(yīng)該是（ + ）/2 和（ - ）/2，也就是乘積項(xiàng)中角的形 式。注意和差化積和積化和差的公式中都有一個(gè)“除以 2”，但位置不同；而只有和差化積公式中有“乘以 2”。 使用哪兩種三角函數(shù)的積這一點(diǎn)較好的記憶方法是拆分成兩點(diǎn)，一是是否同名乘積，二是“半差角”（ - ） /2 的三角函數(shù)名。是否同名乘積，仍然要根據(jù)證明記憶。注意兩角和差公式中，余弦的展開中含有

7、兩對(duì)同名三 角函數(shù)的乘積，正弦的展開則是兩對(duì)異名三角函數(shù)的乘積。所以，余弦的和差化作同名三角函數(shù)的乘積；正弦 的和差化作異名三角函數(shù)的乘積。（ - ）/2 的三角函數(shù)名規(guī)律為：和化為積時(shí)，以 cos（ - ）/2 的形式 出現(xiàn)；反之，以 sin（ - ）/2 的形式出現(xiàn)。由函數(shù)的奇偶性記憶這一點(diǎn)是最便捷的。如果要使和化為積，那 么 和 調(diào)換位置對(duì)結(jié)果沒有影響，也就是若把（ - ）/2 替換為（ - ）/2，結(jié)果應(yīng)當(dāng)是一樣的，從而 （ - ）/2 的形式是 cos（ - ）/2；另一種情況可以類似說明。余弦-余弦差公式中的順序相反/負(fù)號(hào)這是 一個(gè)特殊情況，完全可以死記下來。當(dāng)然，也有其他方法可以幫助這種情況的判定，如（0， 內(nèi)余弦函數(shù)的 單調(diào)性。因?yàn)檫@個(gè)區(qū)間內(nèi)余弦函數(shù)是單